多元函数的极值与最值.ppt

第六节第六节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值. . 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. . 1(1)(2)(3)例例1 1例２例２例３例３2播放播放3极值的求法极值的求法（称（称驻点驻点）） 驻点驻点极值点极值点注意注意：：定理定理1 1（必要条件）（必要条件） 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？12定理定理2 2（充分条件）（充分条件）负定负定正定正定13例例4 4解解无无极极值极极小小值- -5极极大大值31无无极极值驻点驻点14二元函数的最值二元函数的最值 若根据若根据实际问题, ,目目标函数有最大函数有最大值( (或最小或最小值),),而在定而在定义区域区域内部内部有有唯一唯一的极大的极大( (小小) )值点点, ,则可以断定可以断定该极大极大( (小小) )值点即点即为最大最大( (小小) )值点点. . 设生生产某种商品需原料某种商品需原料A和和B，，设A的的单价价为2 2，数量，数量为x；；而而B 的的单价价为1 1，数量，数量为y，，而而产量量为 例例5 5解解且商品售价且商品售价为5,5,求最大利求最大利润. . 利利润函数函数为 15令令解得解得唯一唯一驻点点 唯一唯一驻点点为极为极大大值点点，，即为即为最大最大值点点，，最大利润最大利润为 16例例6 6解解17令令18解解例例7 7总利润为总利润为 19令令解得解得20 用用铁皮做一个有盖的皮做一个有盖的长方形水箱方形水箱, ,要求容要求容积为V, ,问怎么做用料最省？怎么做用料最省？ 二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法 实际问题中中, ,目目标函数的自函数的自变量除了受到定量除了受到定义域域的限制外的限制外, , 往往往往还受到一些附加条件的受到一些附加条件的约束束, ,这类极极值问题称称条件极值条件极值问题. . 例例8 8解解 即表面即表面积最小最小. . 代入目代入目标函数函数, ,化化为无条件极无条件极值问题：： xyz21内部唯一内部唯一驻点点, ,且由且由实际问题S有最大有最大值, ,故做成立方故做成立方体表面体表面积最小最小. . 这种做法的缺点：种做法的缺点： 1.1.变量之量之间的平等关系和的平等关系和对称性被破坏；称性被破坏； 2.2.有有时隐函数函数显化显化困困难甚至不可能甚至不可能. . 22拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数令令若这样的点唯一若这样的点唯一, ,由实际问题由实际问题, ,可直接确定此即所求的点可直接确定此即所求的点. .23则构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数为 令令24 用用铁皮做一个有盖的皮做一个有盖的长方形水箱方形水箱, ,要求容要求容积为V, ,问怎么做用料最省？怎么做用料最省？ 例例8 8解解由由实际问题, ,即即为最小最小值点点. . xyz25 在实际问题中在实际问题中, ,经常要求某多元函数在已知区经常要求某多元函数在已知区域域D内的最大值和最小值内的最大值和最小值. .根据实际情况根据实际情况, ,我们往往我们往往可以判断最大值或最小值在区域可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若的内部达到，若函数在函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值点是最大值点或最小值点. . 26例例9 9解解解得唯一解得唯一驻点点 即即做成做成正三角形正三角形时面面积最大最大. . 27三角形中三角形中, ,以正三角形面以正三角形面积为最大最大: : 四四边形中形中, ,以正方形面以正方形面积为最大：最大： 28解解例例1010先求函数在先求函数在D内的驻点，内的驻点， 解方程组解方程组 29为最小值为最小值.30例例1111解解31由由由由实际问题，此即最佳分配方案，此即最佳分配方案. . 32解法解法1例例1212因驻点唯一因驻点唯一，，且由问题的实际含义可知必有最大利润，且由问题的实际含义可知必有最大利润， 33因驻点唯一因驻点唯一，，且由问题的实际含义可知必有最大利润，且由问题的实际含义可知必有最大利润， 解法解法2例例121234练习：练习：P317 习题八习题八35附录、最小二乘法附录、最小二乘法36例例 价格与供给量的观察数据见下表：价格与供给量的观察数据见下表：x (元元) 2 3 4 5 6 810 12 14 16y (吨吨) 15 20 25 30 35 45 60 80 80 110散点图散点图由图可以看出，由图可以看出，x 与与 y 之间存在一定的相关关系，之间存在一定的相关关系，且这种关系是线性关系且这种关系是线性关系.37达到最小达到最小. .上述估计上述估计a, ,b的方法称为的方法称为最小二乘法最小二乘法. .LSE (Least Square Estimation)求求线性经验公式线性经验公式( (回归直线方程回归直线方程) )使使38—— —— 称为称为正规方程组正规方程组其中其中39系数行列式系数行列式所以方程组有唯一解所以方程组有唯一解40记记则则显然回归直线经过散点图显然回归直线经过散点图的几何中心的几何中心41例例 价格与供给量的观察数据见下表：价格与供给量的观察数据见下表：x (元元) 2 3 4 5 6 810 12 14 16y (吨吨)15 20 25 30 35 45 60 80 80 110求求 y 对对 x 的回归方程的回归方程. .解解42所以所求回归方程为所以所求回归方程为43。