五猴分桃类型题简易通解公式及推导.doc

“五猴分桃”类型题简易通解公式及推导 “五猴分桃”的前身是“水手分椰子”这是一个非常有名的趣味数学难题,于1926年首先刊登在美国的邮报上剧说，最早是由伟大物理学家狄拉克提出来的, 这一貌似简单的问题曾困扰住了他，为了获得简便的计算方法，他把问题提供给当时的一些数学家,但没有得到满意的结果1979年，“诺贝尔"物理学奖获得者李政道博士在“中国科技大学少年班”讲学时，特意提到此题；此后，研究该题的简易计算方法，迅速风靡国内 曾对“五水手分椰子”的广泛流传, 起过重要作用的, 著名现代数理逻辑学家怀德海, 曾用高阶差分方程理论的通解和特解的关系，对“水手分椰子”一题, 给出过一个答案为(-4)的巧妙特解近十多年来，在后来者的不断努力下，一些比较简便的方法也逐步涌现但严格的来说：目前所取得的成果,其本上还是仅限于“五猴分桃”这样一个具体的题目上，离全面彻底而又简捷地求解所有这种类型的题目，还存在着一定的距离 本人曾于1979年, 在月刊《中国青年》看到(五猴分桃)一题, 并用不定方程求得其解当时,本人觉得就题论题意义己不大于是通过五、六天的努力, 终于演算出，能求解所有这种类题型的完整、简捷的“通解公式”(影响答案的各困素可以任意取值, 并可非常简易的求解，详见下面的计算公式和例题)：但是，由于当时自己在乡下, 信息闭塞,不知道这个“通解公式”有何意义。

一幌三十多年又过去了，前段时间, 因经常上上网,于是惊呀发现:寻找“五猴分桃”类型题的简易计算方法，竟是一个具有深刻背景的，已研论了二、三十年的热门数学话题；而且至今仍未找到完美解决方法于是自己边回想、边演算，终于又重新推导出了“五猴分桃”类型题的简易“通解公式”现将其发表如下，与大家共同分享 “水手分椰子”类型题完整而又简易的通解公式： y=an－db/c y－被分的某东西的总个数, a－每次分的总份数(一般情况下，是总人数)， n－总共分的次数， c－分a份后拿走的份数， b－每次分a份后的余数，d－每次分a份拿走c份后剩下再分的份数，注；当b/c不为自然数时，则此时该题无解, 也即y无解其推导过程如下: 设，最后一个人看到的某物数是: ax+b (x为最后一次分a份后每份的数)那么，前一个人看到的某物数为: (xa+b)a/d+b=xa2/d+ba/d+b 再前一个人看到的某物数为: (bxa2/d+ab/d+b)=xa3/d2+b(a/d)2+ba/d+b 同样有，再前一个人看到的某物数为 xa4/d3+b(a/d)3+b(a/d)2+ba/d+b： 再前一个人看到的某物数为: y= xa5/d4+b(a/d)4+b(a/d)3+b(a/d)2+ba/d+b = [xa5+(ba4+ dba3+ d2ba2+ d3ba+ d4b)]/d4 根据等比数例递推公式并加以整理后有：y={xan+{an-1[1-(d/a)n/(1-d/a)]}b}/dn-1 ={xan+[a(n-1[1-(d/a)n]ba/c}/d(n-1) ={xan+[a(n-1)-（a(n-1)dn/an)]ad/c}/d(n-1) =[xan+(an-dn)b/c]/d(n-1) =[(xan+anb/c)-dnb/c]/d(n-1) =(xan+anb/c)/d(n-1)-db/cy=an(x+b/c)/d(n-1)-db/c上式中的a(a/d)^(n-1)部分,若出现(a/d)有公约数时不得约分，否则a和d原有的定义就不存在了，同时也无法解题。

故上式应进一步写成： y=an[(x+b/c)/d(n-1)]-db/c 从上式可看出：若b/c不为自然数时，则 (x+b/c)/d^(n-1) 不为整数,故下式通解公式此时也无解；若b/c为自然数, 则 (x+b/c)d^(n-1) 必可取得最小自然数1, 或1的任意整倍数通常在计算时，为了简单, 一般取最小自然数1, 则上述方程的演算和推导最后可写成下述简易通解公式： y=an-db/c 现在用上述“通解公式”来求解, 本人在今年四月份的博客中(博客地址 例一,在《九猴分桃》中： a=9, n=7, b=8, d=7, c=2 根据上述“通解公式”有：y= 97－8×7/2=4782969－28=4782941，（这也是第1个猴子看到的桃子数量）下面接着验算：第2个猴子看到的桃子数量为： 4782941－8÷9×7=3720059， 第3个猴子看到的桃子数量为： 3720059－8÷9×7= 2893373， 第4个猴子看到的桃子数量为： 2893373－8÷9×7= 2250395，同样有，第5个猴子看到的桃子数量为： 1750301， 第6个猴子看到的桃子数量为： 1361339， 第7个猴子看到的桃子数量为：1058813， 又如,《十六水手分椰子》中 a=16, n=11, b=12, d=13, c=3 根据通解公式有： y=1611－12×13/3=17592186044364。

同样，可得《二十三海盗分珠宝》的解为：y= 2315－18×21/2= 2315－189=2666352354391245418为精简篇幅，后两题不再验算,在《五猴分桃》中 因 b=1, c=1， n=5, ：d=4 故y=a5-d=3121，由此也可看出:《五猴分桃》也是这种类型题目中最简单的题目之一 以上题目，大家可以根据题意,，(或者按公式的定义, 自己随意出题)而得到的答案，逐题进行验证；同时你也就自然能够出许许多多的比“水手分椰子”难得多的题目了 引用本文中的公式及公式的推导请注明来源, 否则依法追究侵权责任 本文作者：湖南省祁阳县陈小刚 2012年 4月 16日。