第七章圆轴的扭转课件.ppt

7.1 工程中的扭转问题工程中的扭转问题 在在第第五五章章中中我我们们已已经经讨讨论论了了杆杆件件受受轴轴向向载载荷荷作作用用时时，，杆杆件件发发生生轴轴向向拉拉伸伸或或压压缩缩变变形形，，杆杆件件的的横横截截面面上上产产生生拉拉或或压压的的轴轴力力，，横横截截面面上上的的点点受受到到轴轴向向的的正正应应力力在在这这一一章章中中我我们们将将讨讨论论另另一一类类基基本本变变形形—扭扭转转变变形形当当一一根根直直杆杆受受到到绕绕杆杆的的轴轴线线转转动动的的力力偶偶作作用用时时，，杆杆会会发发生生扭扭曲曲，，即即杆杆的的截截面面发发生生绕绕轴轴线线转转动动的的扭扭转转变变形形例例如如当当你你要要拧拧紧紧一一个个木木螺螺丝丝时时(见见图图7-1a)，，你你在在螺螺丝丝批批的的把把手手上上作作用用了了一一个个力力偶偶(见见图图7-1b)，，在在螺螺丝丝批批的的另另一一端端则则受受到到木木螺螺丝丝对对它它的的反反力力偶偶作作用用，，螺螺丝丝批批发发生生扭扭转转变变形形又又例例如如图图7.2的的掘掘土土机机械械中中的的螺螺旋旋钻钻的的空空心心圆圆轴轴和和图图7.3的的手手枪枪钻钻的的麻麻花钻头都发生扭转变形。

花钻头都发生扭转变形 在在工工程程中中有有许许多多轴轴类类构构件件，，截截面面大大多多是是圆圆形形截截面面，，有有些些是是实实心心圆圆轴轴，，也也有有空空心心圆圆轴轴当当受受到到绕绕轴轴线线转转动动的的力力偶偶作作用用时时，，截截面面将将绕绕轴轴线线转动，截面之间发生相对转动，即产生扭转变形，如转动，截面之间发生相对转动，即产生扭转变形，如图图7.4所示返回7.2外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图一、一、 外力偶矩外力偶矩 在工程中，圆轴经常用来传递力偶所做的功例如自行车的车在工程中，圆轴经常用来传递力偶所做的功例如自行车的车轴，汽车的驱动轴和车床的齿轮轴等而功的大小取决于作用在轴上轴，汽车的驱动轴和车床的齿轮轴等而功的大小取决于作用在轴上力偶的矩和轴的转速现在来考虑一根用马达驱动的轴，如力偶的矩和轴的转速现在来考虑一根用马达驱动的轴，如图图7.5所示 如果轴匀速转动，转速是如果轴匀速转动，转速是n(r/m)，传递的力偶矩是，传递的力偶矩是M，马达的，马达的功率是功率是P(kW)则轴的转动角速度是。

则轴的转动角速度是下一页返回7.2外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图传递力偶的功率与马达的功率相等，即传递力偶的功率与马达的功率相等，即 由此，已知轴的转动速度和输入或输出的功率，就可以换算出由此，已知轴的转动速度和输入或输出的功率，就可以换算出作用在轴上的外力偶矩，换算公式是作用在轴上的外力偶矩，换算公式是下一页上一页返回7.2外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图二、二、 扭矩扭矩 如如图图7.6a所示的圆轴，两端受到一对大小相等、转向相反的外力所示的圆轴，两端受到一对大小相等、转向相反的外力偶作用，力偶矩是偶作用，力偶矩是M，并处于平衡状态为了求出轴的内力，在轴内，并处于平衡状态为了求出轴的内力，在轴内的任意一个横截面的任意一个横截面m-m处将轴切开，分成两个部分，它们的受力分析处将轴切开，分成两个部分，它们的受力分析分别如分别如图图7.6b和和7.6c所示截出的两个部分仍然保持平衡状态，所以所示截出的两个部分仍然保持平衡状态，所以截面上的内力必定是一个力偶，称之为扭矩左右两截面上的扭矩是截面上的内力必定是一个力偶，称之为扭矩。

左右两截面上的扭矩是一对作用和反作用力，它们的大小一定相等而转向相反扭矩的大小一对作用和反作用力，它们的大小一定相等而转向相反扭矩的大小和实际转向可以通过两部分的平衡方程得到和实际转向可以通过两部分的平衡方程得到下一页上一页返回7.2外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图三、三、 扭矩图扭矩图 求出轴内任意一个截面上的扭矩以后，就可以用图线来表示扭求出轴内任意一个截面上的扭矩以后，就可以用图线来表示扭矩与截面位置之间的关系，这个图线称为扭矩图矩与截面位置之间的关系，这个图线称为扭矩图图图7.6d就是轴就是轴7.6a的扭矩图从图中可以看出，在两个集中力偶作用之间的截面上，扭的扭矩图从图中可以看出，在两个集中力偶作用之间的截面上，扭矩是一个常量矩是一个常量上一页返回7.3圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形一、一、 纯扭转纯扭转 考虑一根等截面圆轴，两端受到一对力偶作用，如考虑一根等截面圆轴，两端受到一对力偶作用，如图图7.7a所示轴内扭矩是一常量此时圆轴所发生的扭转变形称为纯扭转在小变轴内扭矩是一常量此时圆轴所发生的扭转变形称为纯扭转。

在小变形的条件下，由对称性知，轴的横截面在绕轴线转动的过程中仍保持形的条件下，由对称性知，轴的横截面在绕轴线转动的过程中仍保持为平面，它的形状还是圆，半径仍是直线，轴的长度和半径的大小都为平面，它的形状还是圆，半径仍是直线，轴的长度和半径的大小都保持不变左右两端截面绕轴线相对转过一个角度保持不变左右两端截面绕轴线相对转过一个角度 ，称为扭转角称为扭转角假设左端面转过的角度是假设左端面转过的角度是0，则右端面转过角度就是，则右端面转过角度就是 ，轴内任一横截，轴内任一横截面的扭转角用面的扭转角用  (x)表示下一页返回7.3圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形二、切应变和扭曲率二、切应变和扭曲率 在纯扭转的圆轴内用两个横截面截出长度为在纯扭转的圆轴内用两个横截面截出长度为dx的微段，如的微段，如图图7.7b所示两截面绕轴线相对转过的角度是所示两截面绕轴线相对转过的角度是d ，两条母线，两条母线ad和和bc分别倾分别倾斜了一个相同的角度矩形斜了一个相同的角度矩形abcd变形成平行四边形变形成平行四边形abc′d′，，ab与与ad的的夹角从夹角从90°减小了一个角度减小了一个角度 max，这个角度的改变称为切应变。

在小，这个角度的改变称为切应变在小变形的条件下，由图示的几何关系得到变形的条件下，由图示的几何关系得到 在纯扭转的情况下，可以用轴两端截面的相对转角在纯扭转的情况下，可以用轴两端截面的相对转角 除以轴的长除以轴的长度度l来表示，即来表示，即下一页上一页返回7.3圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形由此可以得到圆轴外表面的切应变的表达式由此可以得到圆轴外表面的切应变的表达式 根据类似的分析可以得到圆轴内部的切应变，见根据类似的分析可以得到圆轴内部的切应变，见图图7.7c所示在dx的微段内截出半径为的微段内截出半径为 的圆柱体，因为半径仍保持直线，所以其表的圆柱体，因为半径仍保持直线，所以其表面的切应变是面的切应变是上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力一、一、 纯剪切纯剪切 在小变形的前提下，圆轴扭转时横截面始终保持为平面，而且在小变形的前提下，圆轴扭转时横截面始终保持为平面，而且圆截面的形状、大小不变，半径仍为直线，截面之间的距离也不变圆截面的形状、大小不变，半径仍为直线，截面之间的距离也不变。

所以在横截面上没有正应力，而切应力与过这点的半径垂直，朝向与所以在横截面上没有正应力，而切应力与过这点的半径垂直，朝向与截面上的扭矩转向相一致在截面上的扭矩转向相一致在图图7.8纯扭转的圆轴中取一个微体，它的纯扭转的圆轴中取一个微体，它的边长分别是边长分别是dx、、dy和和 见图图7.8b所示 在微体的左右侧面上各有一个相等的剪力在微体的左右侧面上各有一个相等的剪力dy，它们的方向相，它们的方向相反，组成一个力偶，其力偶矩是反，组成一个力偶，其力偶矩是dydx因为微体处于平衡状态，所因为微体处于平衡状态，所以在微体的顶面和底面上必定存在切应力，上下两个面上的剪力必然以在微体的顶面和底面上必定存在切应力，上下两个面上的剪力必然也要组成一个反力偶，反力偶矩是也要组成一个反力偶，反力偶矩是 ’ dxdy，与上述的力偶相平衡，即，与上述的力偶相平衡，即下一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力 上面的表达式表示微体的两个正交面上如果有切应力的话，则上面的表达式表示微体的两个正交面上如果有切应力的话，则切应力的数值相等，方向与两个正交面的交线垂直，共同指向或共同切应力的数值相等，方向与两个正交面的交线垂直，共同指向或共同背离交线。

这就是切应力互等定理上面微体的四个侧面上只有切应背离交线这就是切应力互等定理上面微体的四个侧面上只有切应力没有正应力，这种应力状态称为纯剪切力没有正应力，这种应力状态称为纯剪切二、二、 剪切胡克定律剪切胡克定律 发生纯剪切的微体由原来的正六面体变形成平行六面体，见图发生纯剪切的微体由原来的正六面体变形成平行六面体，见图7.8c原来互相正交的棱边由于变形发生了一个角度的改变，就是切原来互相正交的棱边由于变形发生了一个角度的改变，就是切应变应变 对于线弹性的材料，切应力与切应变成正比关系，即对于线弹性的材料，切应力与切应变成正比关系，即下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力 表达式中的比例常数表达式中的比例常数G称为切变弹性模量，它与拉压弹性模量称为切变弹性模量，它与拉压弹性模量E一样是反映材料特性的弹性常数上面的关系式称为剪切胡克定律一样是反映材料特性的弹性常数上面的关系式称为剪切胡克定律对于各向同性材料，拉压弹性模量对于各向同性材料，拉压弹性模量E、切变弹性模量、切变弹性模量G和泊松比和泊松比 之间之间存在如下关系：存在如下关系： 可以得到可以得到下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力 由此可见，圆截面上点的切应力分布与该点的半径成正比，如由此可见，圆截面上点的切应力分布与该点的半径成正比，如图图7.8d所示。

显然，截面上最大切应力位于圆截面的外边缘上，其大小所示显然，截面上最大切应力位于圆截面的外边缘上，其大小是：是： 由切应力互等定理可知，圆轴的纵向截面上只有切应力，分布由切应力互等定理可知，圆轴的纵向截面上只有切应力，分布如如图图7.9所示下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力三、三、 扭转的切应力公式扭转的切应力公式 在知道了圆截面上的切应力分布后，现在来分析切应力与扭矩在知道了圆截面上的切应力分布后，现在来分析切应力与扭矩之间的关系见之间的关系见图图7.10 在半径为在半径为 的圆周处取一个微面积的圆周处取一个微面积dA，上面作用微剪力，上面作用微剪力dA，，它对圆心它对圆心O的微力矩是的微力矩是 dA，所有这些微力矩的和等于截面上的扭矩，，所有这些微力矩的和等于截面上的扭矩，即即 将公式将公式(7-9)代入上式得代入上式得下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力令上式中的积分为令上式中的积分为IP，它仅与截面的几何尺寸有关，称为极惯性矩，即，它仅与截面的几何尺寸有关，称为极惯性矩，即由此可以得到由此可以得到把上式代入到把上式代入到(7-9)式中，就得到切应力计算公式式中，就得到切应力计算公式下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力显然，横截面上的最大切应力是：显然，横截面上的最大切应力是： 式中，式中，IP/R项也是一个仅与截面有关的量，称为抗扭截面系数，项也是一个仅与截面有关的量，称为抗扭截面系数，用用Wt表示，即表示，即下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力所以，最大切应力计算公式又可以写成：所以，最大切应力计算公式又可以写成：四、四、 极惯性矩和抗扭截面系数的计算极惯性矩和抗扭截面系数的计算直接用积分就可以求出圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数。

见直接用积分就可以求出圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数见图图7.10取微面积取微面积dA= d d ，代入到式，代入到式(7-11)中，得到极惯性矩，即中，得到极惯性矩，即下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力把上式代入到式把上式代入到式(7-14)中得到抗扭截面系数：中得到抗扭截面系数：如果是空心圆截面，如如果是空心圆截面，如图图7.11所示用相同的的方法可以求出极惯性矩和抗扭截面系数：用相同的的方法可以求出极惯性矩和抗扭截面系数：下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力和和其中，其中， 是内径与外径之比，即是内径与外径之比，即空心圆截面上的切应力分布如图空心圆截面上的切应力分布如图7.12所示上一页返回7.5扭转时的强度和刚度问题扭转时的强度和刚度问题一、圆轴的扭转失效一、圆轴的扭转失效 通过扭转试验发现，不同材料的圆轴在扭转破坏时，断口的形通过扭转试验发现，不同材料的圆轴在扭转破坏时，断口的形状也不一样塑性材料在扭转时，当外力偶矩逐渐增大时，材料首先状也不一样塑性材料在扭转时，当外力偶矩逐渐增大时，材料首先屈服，这时在圆试件的表面出现纵向和横向的滑移线，横截面上的最屈服，这时在圆试件的表面出现纵向和横向的滑移线，横截面上的最大切应力称为扭转屈服应力。

当外力偶矩增大到某个数值时，试件就大切应力称为扭转屈服应力当外力偶矩增大到某个数值时，试件就在某一横截面处发生剪断，如在某一横截面处发生剪断，如图图7.13a所示，这时破坏截面上的最大切所示，这时破坏截面上的最大切应力称为扭转强度极限而当脆性材料在扭转时，扭转变形很小，没应力称为扭转强度极限而当脆性材料在扭转时，扭转变形很小，没有明显的屈服阶段，最后发生约有明显的屈服阶段，最后发生约45°的螺旋面的断裂破坏，如的螺旋面的断裂破坏，如图图7.13b所示扭转的屈服应力和强度极限称为扭转的极限应力，用所示扭转的屈服应力和强度极限称为扭转的极限应力，用 u表示下一页返回7.5扭转时的强度和刚度问题扭转时的强度和刚度问题二、二、 强度条件和强度计算强度条件和强度计算 从扭转试验得到了扭转的极限应力，再考虑一定的安全裕度，从扭转试验得到了扭转的极限应力，再考虑一定的安全裕度，即将扭转极限应力除以一个安全系数，就得到扭转的许用切应力：即将扭转极限应力除以一个安全系数，就得到扭转的许用切应力： 这个许用切应力是扭转的设计应力，即圆轴内的最大切应力不这个许用切应力是扭转的设计应力，即圆轴内的最大切应力不能超过许用切应力。

能超过许用切应力 对于等截面圆轴，各个截面的抗扭截面系数相等，所以圆轴的对于等截面圆轴，各个截面的抗扭截面系数相等，所以圆轴的最大切应力将发生在扭矩数值最大的截面上，强度条件就是最大切应力将发生在扭矩数值最大的截面上，强度条件就是下一页上一页返回7.5扭转时的强度和刚度问题扭转时的强度和刚度问题 而对于变截面圆轴，则要综合考虑扭矩的数值和抗扭截面系数，而对于变截面圆轴，则要综合考虑扭矩的数值和抗扭截面系数，所以强度条件是所以强度条件是三、三、 刚度条件和刚度计算刚度条件和刚度计算在纯扭转的等截面圆轴中，从扭曲率的公式在纯扭转的等截面圆轴中，从扭曲率的公式(7-12)可以得到可以得到下一页上一页返回7.5扭转时的强度和刚度问题扭转时的强度和刚度问题 它表示圆轴中相距它表示圆轴中相距dx的两个横截面之间的相对转角，所以长为的两个横截面之间的相对转角，所以长为l的两个端截面之间的扭转角可以积分上式得到：的两个端截面之间的扭转角可以积分上式得到： 因为在纯扭转中，扭矩因为在纯扭转中，扭矩T和扭转刚度和扭转刚度GIP是常量，所以上式可以简是常量，所以上式可以简化成化成下一页上一页返回7.5扭转时的强度和刚度问题扭转时的强度和刚度问题 如果是阶梯形圆轴并且扭矩是分段常量，则式如果是阶梯形圆轴并且扭矩是分段常量，则式(7-12)的积分可的积分可以写成分段求和的形式，即圆轴两端面之间的扭转角是以写成分段求和的形式，即圆轴两端面之间的扭转角是 在工程上，对于发生扭转变形的圆轴，除了要考虑圆轴不发生在工程上，对于发生扭转变形的圆轴，除了要考虑圆轴不发生破坏的强度条件之外，还要注意扭转变形问题，这样才能满足工程机破坏的强度条件之外，还要注意扭转变形问题，这样才能满足工程机械的精度等工程要求。

所以用扭曲率作为衡量扭转变形的程度，它不械的精度等工程要求所以用扭曲率作为衡量扭转变形的程度，它不能超过规定的许用值，即要满足扭转变形的刚度条件能超过规定的许用值，即要满足扭转变形的刚度条件 对于扭矩是常量的等截面圆轴，扭曲率最大值一定发生在扭矩对于扭矩是常量的等截面圆轴，扭曲率最大值一定发生在扭矩最大的截面处，所以，刚度条件可以写成最大的截面处，所以，刚度条件可以写成下一页上一页返回7.5扭转时的强度和刚度问题扭转时的强度和刚度问题上式中，扭曲率的单位是上式中，扭曲率的单位是rad/m如果使用如果使用°/m单位，则上式可以写成单位，则上式可以写成对于扭矩是分段常量的阶梯形截面圆轴，其刚度条件是对于扭矩是分段常量的阶梯形截面圆轴，其刚度条件是或者写成或者写成上一页返回图图7.1 返回图图7.2返回图图7.3返回图图7.4bab’bbRbb’rMbMb图7.4返回图图7.5返回图图7.6返回图图7.6返回图图7.7返回图图7.7返回图图7.7返回图图7.8返回图图7.8返回图图7.9返回图图7.10dAOT返回图图7.10dAOT返回图图7.11返回图图7.12返回图图7.13返回。