列方程解应用题古代数学问题.doc

例：今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何？分析：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35 个头，从下面数，有 94 只脚问鸡和兔各有几只？等量关系：1.鸡的头数+兔的头数=352.鸡的脚数+兔的脚数=94解：（方程方法）设鸡有 x 只，则兔有(35-x)只，根据题意列方程得：2x+4(35-x)=94解这个方程，得 x=2335-x=35-23=12（只）答：鸡有 23 只，兔有 12 只.课堂练习：1.巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧；三百六十四只碗，看看用尽不差争；三人共食一碗饭，四人共吃一碗羮；引导出古代数学问题，激发学生的思维分别从头和脚的角度考虑解决方法利用算术和方程两种方法解题，让学生进请问先生明算者，算来寺内几多僧？分析：山林中有一个古寺，寺里共有 364 个碗，平均三个僧人共用一个碗吃饭，四个僧人共用一个碗喝汤，试问寺中有多少个僧人？等量关系：吃饭用的碗+喝汤用的碗=364解：设寺中有 x 个僧人，根据题意列方程，得364解这个方程，得 x=624答：寺中有 624 个僧人2.今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价几何?分析：几个人一起去购买物品，如果每人出 8 钱，则剩余 3 钱；如果每人出 7 钱，则差 4 钱。

问有多少人，物品的价格是多少？解：设有 x 人，根据题意列方程，得行比较并从中体会方程的简洁性 8x-3=7x+4解这个方程，得 x=78x-3=8 7-3=53（钱）答：有 7 人，物品的价格是 53 钱.3.今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万,问善田、恶田各几何？分析：用 300 钱可以买 1 亩良田,用 500 钱可以买 7 亩薄田.现在用 10000 钱买了 1 顷土地,问良田、薄田各买了多少亩？等量关系：买良田用的钱+买薄田用的钱=10000解：良田买了 x 亩，则薄田买了(100-x)亩，根据题意列方程，得300x+ (100-x）=10000750解这个方程，得 x=12.5100-x=100-12.5=87.5(亩)答：良田买了 12.5 亩，薄田买了 87.5 亩.逐渐培养学生通过理解分析题意找到等量关系，讲练结合有助于学生理解问题课堂小结谈谈你上完这节课的感受补充练习分钱时人二而多三，人三而少二，问人几何、钱几何？分析：每人分 2 钱，就多出 3 钱，若每人分 3 钱，还缺 2 钱，问一共有多少人，有多少钱？解：设一共有 x 人，根据题意列方程，得2x+3=3x-2解这个方程，得 x=52x+3=2 5+3=13(钱)答：一共有 5 人，有 13 钱.我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高 2 丈，粗 3 尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕 7 周到达树顶（如图） ，请问这根藤条有多长（注：枯树可以看成圆柱；树粗 3 尺，指的是：圆柱底面周长为 3 尺，1 丈=10 尺） ．本题是一道古代数学题，由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按图的方法，转化为平面图形来解决．解答： 解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得，AB2=BC2+AC2，因为 BC=20，AC=3×7=21，所以 AB2=202+212=841，所以 AB=29，所以这根藤条有 29 尺．原文解法：术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。

凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得 」先做一个 5 和 7 的公倍数，且要除 3 余 1 的，得到 70； 然后做一个 3 和 7 的公倍数，且要除 5 余 1 的，得到 21； 最后做一个 3 和 5 的公倍数，且要除 7 余 1 的，得到 15； 然后按题目中余数的大小将上面的数字倍大再相加：70*2+21*3+15*2=233 233 其实已经满足条件了，但是一般我们是要最小的，怎么办呢？很简单，减3、5、7 的最小公倍数 105 直到得出最小整数为止：233-105*2=23有 100 个和尚分 100 只馒头，正好分完如果大和尚一人分 3 只，小和尚 3 人分一只，试问大、小和尚各有几人？ --------------------------------------------------------------------------------本问题的解法甚多，最普通、最常规的办法当然是列出一个方程来求解，这很容易做到，但其流弊是一般化、程式化，对开发智力不利 现在介绍一种别开生面的“编组法”《直指算法统宗》里的话是：“置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。

所谓“实”便是“被除数”，“法”便是“除数”其办法是： 100÷（3+1）=25，100-25=75 这是一种“编组法”，由于大和尚一人分 3 只馒头，小和尚 3 人分一只馒头合并计算，即是：4 个和尚吃 4 只馒头这样，100 个和尚正好编成 25 组，而每一组中恰好有 1 个大和尚，所以人们立即可算出大和尚有 25 人，从而可知小和尚有 75 人一群猴子分两队， 高高兴兴做游戏． 八分之一再平方， 蹦蹦跳跳进树林． 其余十二高声喊， 充满欢乐的气氛 告我总数是多少， 两队猴子在一起． 我们设猴子的总数是 x，显然全体猴子分成两个部分，不难列出方程 (x/8)2+12=x 解这个方程，得 x1=48，x2=16．经检验，这两个根都符合题意，所以猴子的总数是 48 或 16．井绳一根，三折入井底余一尺，四折入井底差一尺绳长几何；井深几何？有意君留解 绳子长 7 尺,井深 2 尺李白无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗（斗为古代盛酒器皿） ，三遇店和花，喝完壶中酒试问壶中原有多少酒？（题意说明：“三遇店和花”是指先遇店，后遇花，并重复三次 ） 题里壶中原有酒量是要求的，并告诉了壶中酒的变化及最后结果--三遍成倍添（乘以 2）定量减（减肥斗）而光。

求解这个问题，一般以变化后的结果出发，利用乘与除、加与减的互逆关系，逐步逆推还原"三遇店和花，喝光壶中酒"，可见三遇花时壶中有酒巴斗，则三遇店时有酒巴 1÷2 斗，那么，二遇花时有酒1÷2+1 斗，二遇店有酒（1÷2+1）÷2 斗，于是一遇花时有酒（1÷2+1）÷2+1斗，一遇店时有酒，即壶中原有酒的计算式为 [（1÷2+1）÷2+1] ÷2=7/8（斗） 故壶中原有 7/8 斗酒第二种解法代数法:设李白酒壶中原有酒为 x 斗,根据题意列得方程 [(2x-1)×2-1]×2-1=0. 化简此方程得 8x=7. 今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半莞生日自倍问几何日而长等？解法是：到第 2 天末，蒲长为 3 + 1.5 = 4.5，莞长为 1 + 2 = 3，4.5 > 3，不足 4.5 - 3 = 1.5 尺；到第 3 天末，蒲长为 4.5 + 0.75 = 5.25，莞长为 3 + 4 = 7，5.25 < 7，有余7 - 5.25 = 1.75 尺于是知道是在第三天初到第三天末之间生长到同一长度的，这期间它们生长速度分别为 0.75 尺/天，4 尺/天于是用它们长度的差除以速度的差得到追齐的时间：1.5 / (4 - 0.75) = 6/13 天或1.75 / (4 - 0.75) = 7/13 天于是所用总时间为2 + 6/13 天也就等于3 - 7/13 天。