（可编辑）勾股定理16种经典证明方法（精华版）.docx

百度文库 让每个人平等地提升自我-【证法 1】（课本的证明）a b b aa a ca bb c ba a c b cb b cc aa b a b做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 .从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等 . 即a 2 b24 1 ab c2 24 1 ab 2整理得a 2 b 2c2 .【证法 2】（邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1 ab2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上， B、F、C 三点在一条直线上， C、G、D三点在一条直线上 .∵ Rt Δ HAE ≌ Rt ΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠ AEH + ∠ AHE = 90 o,∴ ∠ AEH + ∠ BEF = 90 o.∴ ∠ HEF = 180 o― 90o= 90 o.2∴ 四边形 EFGH是一个边长为 c 的正方形 . 它的面积等于 c .∵ Rt Δ GDH≌ Rt ΔHAE,∴ ∠ HGD = ∠ EHA.∵ ∠ HGD + ∠ GHD = 90o,∴ ∠ EHA + ∠ GHD = 90o.又∵ ∠ GHE = 90o,∴ ∠ DHA = 90 o+ 90 o= 180 o.D b G a Ca c bcHFb c c a A a E b B2∴ ABCD是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于2a b .2a b 4∴1 ab2c . a 2 b 2c2 .∴【证法 3】（赵爽证明） D以 a、b 为直角边（ b>a）， 以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角1 c b三角形的面积等于ab2 . 把这四个直角三G F C角形拼成如图所示形状 .∵ Rt Δ DAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠ HDA = ∠ EAB.∵ ∠ HAD + ∠ HAD = 90 o，2∴ ∠ EAB + ∠ HAD = 90 o，∴ ABCD是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c .aA H EB1∵ EF = FG =GH =HE = b ― a ,∠ HEF = 90 o.∴ EFGH是一个边长为 b― a 的正方形，它的面积等于2b a .4∴∴ a 21 ab2b 222b a c.c2 .【证法 4】（ 1876 年美国总统 Garfield 证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上 .∵ Rt Δ EAD ≌ Rt ΔCBE,∴ ∠ ADE = ∠ BEC.1 ab2C. 把这两个直角三∵ ∠ AED + ∠ ADE = 90 o,∴ ∠ AED + ∠ BEC = 90 o.∴ ∠ DEC = 180 o― 90o= 90 o.∴ Δ DEC是一个等腰直角三角形，1 c2Da c c b它的面积等于 2 .A b E a B又∵ ∠ DAE = 90 o, ∠ EBC = 90 o,∴ AD∥ BC.1 2a b∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 2 .1 a∴ 2∴ a 22b 2b 2 c2 .1 ab21 c22 .【证法 5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形， 设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形， 使 D、E、F 在一条直线上 . 过 C 作 AC的延长线交 DF于点 P.∵ D 、E、F 在一条直线上 , 且 Rt Δ GEF ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠ EGF = ∠ BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90 °，∴ ∠ BED + ∠ GEF = 90 °，∴ ∠ BEG =180o― 90o= 90 o.又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG是一个边长为 c 的正方形 .∴ ∠ ABC + ∠ CBE = 90 o.∵ Rt Δ ABC ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠ ABC = ∠ EBD.∴ ∠ EBD + ∠ CBE = 90 o.即 ∠ CBD= 90o.又∵ ∠ BDE = 90 o，∠ BCP = 90 o， BC = BD = a .∴ BDPC是一个边长为 a 的正方形 .同理， HPFG是一个边长为 b 的正方形 .设多边形 GHCBE的面积为 S，则Fb aG c EPb bc C cba H a D aA c Ba 2 b 2S 2 1 ab,22c2 S 2∴ a 2 b 21 ab2 ,c2 .【证法 6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ b>a） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上 .过点 Q作 QP∥ BC，交 AC于点 P.过点 B 作 BM⊥ PQ，垂足为 M；再过点F 作 FN⊥ PQ，垂足为 N.∵ ∠ BCA = 90 o，QP∥ BC，∴ ∠ MPC = 90o，∵ BM⊥ PQ，∴ ∠ BMP = 90 o，∴ BCPM是一个矩形，即∠ MBC = 90o.∵ ∠ QBM + ∠ MBA = ∠ QBA = 90 o，∠ ABC + ∠ MBA = ∠ MBC = 90o，∴ ∠ QBM = ∠ ABC，又∵ ∠ BMP = 90o，∠ BCA = 90 o，BQ = BA = c ，∴ Rt Δ BMQ≌ Rt ΔBCA.同理可证 RtΔ QNF≌ Rt Δ AEF.从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明） .【证法 7】（欧几里得证明）Eb aF c APbc M cCNaQ c B做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结BF、CD. 过 C作 CL⊥ DE， 交 AB于点 M，交 DE于点L.∵ AF = AC ， AB = AD，∠ FAB = ∠GAD，∴ Δ FAB ≌ Δ GAD，1 a 2GHa C KF b∵ Δ FAB的面积等于 2 ， a bΔ GAD的面积等于矩形 ADLM的面积的一半，A M Bc∴ 矩形 ADLM的面积 =a 2 .同理可证，矩形 MLEB的面积 =∵ 正方形 ADEB的面积b 2 .= 矩形 ADLM的面积 + 矩形 MLEB的面积∴ c2 a 2 b 2 ，即 a 2 b 2 c 2 .【证法 8】（利用相似三角形性质证明）D L c E如图，在 RtΔ ABC中，设直角边 AC、 BC的长度分别为 a、b，斜边 AB的长为 c，过点 C作 CD⊥AB，垂足是 D.在Δ ADC和Δ ACB中， C∵ ∠ADC = ∠ACB = 90 o，∠ CAD = ∠ BAC， b∴ Δ ADC ∽ Δ ACB. aAD∶ AC = AC ∶AB，即 AC 2 AD ? AB .A D c B同理可证，Δ CDB ∽ Δ ACB，从而有BC 2BD ? AB .3∴AC 2BC 2AD DB? AB2 2 2ABab，即c 2 .【证法 9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a），斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 .把它们拼成如图所示的多边形 . 过 A 作 AF⊥ AC， AF 交 GT于 F， AF 交 DT于 R. 过 B 作 BP⊥ AF，垂足为 P. 过 D 作 DE 与 CB的延长线垂直，垂足为 E，DE交 AF于 H.∵ ∠ BAD = 90 o，∠ PAC = 90 o，∴ ∠ DAH = ∠ BAC.又∵ ∠ DHA = 90 o，∠ BCA = 90 o， AD = AB = c ，∴ Rt Δ DHA ≌ Rt ΔBCA.∴ DH = BC = a ， AH = AC = b .G a Dcb 9 2 1c由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt Δ APB ≌ Rt Δ BCA. 即 PB = CA = b ， AP= a，从而 PH = b ― a.∵ Rt Δ DGT ≌ Rt ΔBCA , Rt Δ DHA ≌ Rt ΔBCA.∴ Rt Δ DGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠ GDT = ∠HDA .又∵ ∠ DGT = 90 o，∠ DHF = 90 o，∠ GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠ HDA+ ∠TDH = 90 o，∴ DGFH是一个边长为 a 的正方形 .∴ GF = FH = a . TF⊥ AF， TF = GT ― GF = b ― a .F 8 R TcH P A3 4 5 6c bQ7E B a C∴ TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b― a，下底 BP= b，高 FP=a + （b― a） .用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为2c S1S2 S3S4 S5 ①1S8 S3 S4 b∵ 2b a ? ab a b2 1 ab= 2 ，S5 S8S3 S4∴S9 ，2b1 ab2S8 2b=S1 S8 . ②把②代入①，得2c S1S b 2S1 S8S8 S92b2= S22 2∴ a bS9 =2c .b 2 a 2 .【证法 10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（b>a），斜边的长为 c. 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、 G三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号（如图） .∵ ∠ TBE = ∠ ABH = 90 o，∴ ∠ TBH = ∠ ABE.又∵ ∠ BTH = ∠ B。