点到直线的距离公式的十三种证明方法.pdf

点到直线的距离公式的十三种证明方法湖北省鄂州市沼山中学 436061 余树林 袁新宝点到直线距离公式是一个很重要的公式, 然而 很多老师和学生更多的只是重视它的应用, 而对于公式本身的证明却未引起足够的重视, 尽管教材中提示大家/请研究一下如何用其他方法推导点到直 线的距离公式 0, 但依然不能引起广大师生的足够重视, 笔者以为: 对于一个公式的推导比运用这个公式来解决一些问题对我们的思维来讲更具有价值.下面笔者从不同角度来思考点到直线的距离问题, 得到多种用高中数学知识推导点到直线的距离公式的方法, 供各位同仁参考.已知点 P (x0, y0), 直线 l: Ax + By + C = 0(A、 B均不为 0), 求点 P 到直线 l的距离.(因为特殊直线 很容易求距离, 这里只讨论一般直线 )1 用定义法推导点到直线的距离公式图 1如图 1 , 点 P 到直线 l的距离 是点 P到直线 l的垂线段的长, 过点 P做直线 l的垂线为 lc , 垂足为Q, 由 l L lc可知 lc的斜率为B A.所以 lc 的方程: y- y0=B A(x- x0) 与 l联立方程组.解得交点Q(B2x 0- ABy0- AC A2+ B2,A2y 0- ABx0- BC A2+ B2)| PQ|2=(B2x 0- ABy0- AC A2+ B2-x0)2+(A2y 0- ABx0- BC A2+ B2- y0)2=(- A2x 0- ABy0- AC A2+ B2)2+(- B2y 0- ABx0- BC A2+ B2)2=A2(Ax0+ By0+ C)2+ B2(Ax0+ By0+ C)2(A2+ B2)2=(Ax0+ By0+ C)2A2+ B2所以 | PQ | =| Ax0+ By0+ C |A2+ B2.2 用设而不求法推导点到直线的距离公式图 2如图 2 , 过已知点 P (x0, y0)作已知直线 l : Ax+ By + C = 0的 垂线, 设垂足为 Q(x, y), 则y - y0 x - x0(-A B) = - 1Ax - By + C = 0, 化简得A (y - y0) - B (x - x0) = 0A (x - x0) + B (y - y0) = - (Ax0+ By0+ C )把上面两式相加得: (A2+ B2) [ (x - x0)2+ (y- y0)2] = (Ax0+ By0+ C)2,所 以d=(x - x0)2+ (y - y0)2=| Ax0+ By0+ C |A2+ B2.3 用目标函数法推导点到直线的距离公式点 P (x0, y0) 到直线 l: Ax + By + C = 0上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线 l的距离. 在 l 上取任意点M (x, y), 由两点的距离公式有 | PM |2= (x - x0)2+ (y - y0)2. 为了利用条件 Ax + By +C = 0 , 将上式变形一下, 配凑系数处理得:(A2+ B2) [ (x - x0)2+ (y - y0)2] =A2(x - x0)2+ B2(y - y0)2+ A2(y- y0)2+ B2(x- x0)2= [A (x - x0) + B (y - y0) ]2+ [A (y - y0) -B (x0- x0) ]2\ [A (x - x0) + B (y - y0) ]2= (Ax0+ By0+C )2所以(x - x0)2+ (y - y0)2\| Ax0+ By0+ C |A2+ B2.当且仅当 A (y- y0) - B (x- x0) = 0时取等号.所以最小值就是 d =| Ax0+ By0+ C |A2+ B2.4 用柯西不等式 (课本习题结论 )推导点到直线距20ZHONGXUESHUXUEZAZHI 中学数学杂志 2009年第 1期离公式旧教材 (人教版, 代数下册#必修 )第 15页习题 十五第 6题结论/求证: (a2+ b2) (c2+ d2) \ (ac+bd)2, 当且仅当 ad = bc, 即a c=b d时等号成立.0实为柯西不等式的最简形式, 用它可以非常方便地推出点到直线的距离公式.设M (x, y) 为直线 l: Ax + By + C = 0上任意一 点, 任意点 P (x0, y0) 到直线 l的距离为 d, 则:| PM| =(x - x0)2+ (y - y0)2,所 以| PM|2=(Ax - Ax0)2A2+(By - By0)2B2] (A2+ B2) | PM |2= (A2+ B2) [(Ax - Ax0)2A2+(By - By0)2B2]\ (Ax - Ax0+ By - By0)2= (- Ax0- By0-C )2所以 d = |PM |m in=| Ax0+ By0+ C |A2+ B2, 当且仅当A x - x0=B y - y0时等号成立.5 用解直角三角形法推导点到直线距离公式图 3 如图 3 , 设直线 l的倾斜角为 A , 过点 P作 y轴的平行线交 l于 G (x1, y1), 显然 x1= x0, 所以 y1= - Ax0+ C B.所以 |PG |= | y0+Ax0+ C B| = |Ax0+ By0+ C B|.易得 NGPH = A或 NGPH = 180b- A , 在两种情 况 下 都 有tan2NGPH=tan2A =A2B2,所 以cosNGPH =11+ tan2A=| B |A2+ B2,所以 d = | PH| = | PG | |cosNGPH| = | Ax0+ By0+ C B|#| B |A2+ B2=| Ax0+ By0+ C |A2+ B2.6 用三角形面积公式推导点到直线距离公式图 4两点间距离公式的推导过 程中, 使用降维思想构造直角三角形, 受此启示, 当A #B X 0时,如图 4 , 过点 P (x0, y0) 分别作平 行于 x 轴, y 轴的两条直线, 分别交直线 Ax + By + C = 0于点M (-By0+ C A, y0)、 N (x0, -Ax0+ C B), 则 | MP | = |x0+By0+ C A|, |NP | = | y0+Ax0+ C B|. 因为MP LNP, 所以 RtvMPN 中, 由直角三角形的面积公式得:1 2# |MP |# |NP | =1 2#|MN |#d, 所以 d = |PQ| =| PM | | PN || PM |2+ | PN |2=| Ax0+ By0+ C |A2+ B2.7 用向量法推导点到直线的距离公式由直线 l的方程 Ax + By + C = 0 , (A, B不能同 时为 0), 可得直线 l的法向量为 n = (A, B ), 过点P (x0, y0) 作直线 l的垂线, 垂足为H (xc , yc), 则向量PH = K n, 即 (xc- x0, yc- y0) = K(A, B), 所以 xc=x0+K A, yc -y0=K B,且|PH| =(xc- x0)2+ (yc- y0)2= | K|A2+ B2, 又因为点H (xc , yc) 在直线 l上, 所以就有: Axc+ Byc+ C =0 , 即 A (x0+ K A ) + B(y0+ K B ) + C = 0 ,所以 K(A2+ B2) = - (Ax0+ By0+ C), 又因为A, B 不同时为 0 , 所以 K=- (Ax0+ By0+ C) A2+ B2,所以 | PH| =(xc- x0)2+ (yc- y0)2=| K|A2+ B2= |- (Ax0+ By0+ C)A2+ B2|A2+ B2,即: d = | PH | =| Ax0+ By0+ C |A2+ B2.8 用向量射影公式推导点到直线的距离公式图 5如图 5 , 设 R (x, y) 是直线 l 上的任意一点, 直线 l的方向向量为 m = (- B, A ), 则直线 l的法向量为PQ = (A, B), PR = (x - x0, y - y0),所以 d =| PR# PQ | | PQ |=| A (x - x0) + B (y - y0) |A2+ B2=| Ax0+ By0+ C |A2+ B2.21中学数学杂志 2009年第 1期 ZHONGXUESHUXUEZAZHI 点评 向量是一种很好的工具, 用向量处理,既避开了分类讨论, 又体现了平面向量的工具性, 会 有事半功倍的效果.9 利用两条平行直线间的距离处处相等推导点到直线距离公式图 6如图 6 , 如果过点 P (x0, y0)作 l: Ax + By + C = 0的平行线 lc :Ax + By - Ax0- By0= 0 , 那么直线 lc上任意一点到 l的距离都等 于点 P 到直线 l的距离, 既然可以任意取点, 我们应设法使这个点到直线 l的距离容易求得, 选 取 直 线lc 与x 轴 的 交 点G (Ax0+ By0 A, 0), 过 G 作 l的垂线, 垂足为 H, 设 l与 x轴相交于点 F (-C A, 0), 容易求得 FG =Ax0+ By0+ C A, 角 A与直线 l的倾斜角 B相等或互补, 所以 tanA = ? tanB = ºA B, 所以| sinA|= |( ºA B)A12+ (ºA B)2| =| A |A2+ B2, 从而 d = | GH | = | FG | | sinA | = |Ax0+ By0+ C A|#| A |A2+ B2=| Ax0+ By0+ C |A2+ B2.10 从最简单最特殊的引理出发推导点到直线距 离公式引理 坐标原点到直线 l: Ax + By + C = 0的距离 h =| C |A2+ B2.图 7简证 如图 7 , 先从原点到直线的距离这一特 殊情形入手, 设直线 l与 x轴、 y轴分别交于点 E、 F,则点 E、 F 的坐标分别是 (-C A, 0)、 ( 0 , -C B), 由三角形面积 得:1 2EF # h =1 2OE # OF 得 h =| C |A2+ B2. 由平行直线系求出过点 P (x0, y0) 且与 l平行的直线 lc 的方程: Ax + By - Ax0- By0= 0 , 设直线 l和 lc分别与 x轴交于点 E、 G, 则点 E (-C A, 0)、G (Ax0+ By0 A, 0), 由 l M lc得d h=EG OE. 所以 d =EG OE# h =| Ax0+ By0+ C | | A |A| C | | A |#| C |A2+ B2=| Ax0+ By0+ C |A2+ B2.11 通过平移坐标系推导点到直线距离公式图 8如图 8 , 如果点 P (x0, y0) 是坐标原点就好了, 为此, 我们以点 P (x0, y0) 为原点建立直角坐标系 xc Oc yc , 并使坐标轴 xc , yc分 别与坐标轴 x, y平行. 设直线 l在新坐标系中记为 lc , 设任意点 G在新旧坐标系中的坐标分别是 (xc , yc)、 (x, y). 则由OG = OOc+ Oc G, 得 (x, y) =(x0, y0) + (xc , yc), 所以 x = x0+ xc , y = y0+ yc , 所以直线 l在新坐标系中的方程是: A (xc+ x0) + B(yc+ y0) + C = 0, 即Axc+ Byc+ Ax0+ By0+ C = 0. 点 Oc到直线 lc的距离就是点 P (x0, y0) 到直线 l的距离, 由引理可得: d =| Ax0+ By0+ C |A2+ B2.12 由直线与圆的位置关系推导点到直线距离公式图 9如图 9 , 当以点 P(x0, y0)为圆心的圆与直线 l : Ax + By + C = 0相切时, 圆的半径就是点 P (x0, y0)。