数列最值问题的反思与总结.doc

等差数列中的最值问题引例：【2008宁夏 海南17】已知数列{an }是一个等差数列，且a2=1，a5=-5.求数列{an}前n项和Sn的最大值.题型特征：求 Sn最值/n为何值时， Sn有最值/数列不等式恒成立问题解决方法.法一：从 Sn的形式入手，从函数角度看， Sn可以看作是不连续的关于n的二次函数式，Sn=An2 + Bn,通过配方或借助二次函数对称轴处取值去解决法二：求导注意求导时要新令f (x) 出来，再求 f (x)，因为Sn不连续，不能直接求导Sn若求最值，看 f (x)， f (x)的图象是一次函数，令 f (x)=0，若 f (x)的斜率小于0，则此处有最大值（“左正右负即左增右减”）若 f (x)的斜率大于0，则此处有最小值（“左负右正即左减右增”）法三：通项公式法也叫邻项变号法，一个意思，其实质是找数列正负转折项即，若数列 {an }是等差数列，求其前n项和的最值时，①，a1> 0，d<0时，an 0，且a n+1 0，则此时Sn有最大值②，a1 <0，d>0时，an 0，且 an+1 0，则此时Sn有最小值解出相应的n与Sn即可法四：前n项公式法①.若 Sn取最大值，则Sn Sn-1， Sn Sn+1，n2，n N* ②若 Sn取最小值，则Sn Sn-1， Sn Sn+1，n 2，n N* 分别解之，即可。

解题过程中需要注意的几个情况：（1）“等差数列中，当且仅当n=m时，Sn取最小值”这种类型的题目中这句话关键信息有三点：①d>0 .②等差数列{an }不存在值为0的项.③am是最后一个负数此时，{an }大致的排列方式：负、负、负……负、正、正、正……，所以如果说“当且仅当n=m时，Sn取最小值”，此时用通项法或者前n项和公式法时，不取“=”号如果说没有强调当且仅当，只是说 数列{an }存在最小值，那么大致的排列方式会是：负、负、负……负、零、正、正、正……此时用通项法或者前n项和公式法时，要取“=”号2）同样的，“等差数列中，当且仅当n=m时，Sn取最大值”这种类型的题目中这句话关键信息有三点：①d<0 .②等差数列{an }不存在值为0的项.③am是最后一个正数此时，{an }大致的排列方式：正、正、正……正、负、负、负……，所以如果说“当且仅当n=m时，Sn取最大值”，此时用通项法或者前n项和公式法时，不取“=”号如果说没有强调当且仅当，只是说 数列{an }存在最大值，那么大致的排列方式会是：正、正、正……正、零、负、负、负……此时用通项法或者前n项和公式法时，要取“=”号。

番外：遇到“非差非比”数列与函数、不等式结合的最值问题1) 求数列{an }前n项的最值和Sn的最值三个思路，①研究an= f (n)项的情况解决（通项）②直接从Sn的形式入手解决前n项和）③求导2) 求数列{an }项的最值，类似地，①研究an= f (n)项的情况解决（通项）②利用数列离散的特点，考察an a n-1 ，an a n+1 ，n2，n N*情况或an a n-1 ，an a n+1 ，n 2，n N*，即可判断出{an }的项的最值情况③求导，同上3) 数列不等式恒成立问题①分参（参变分离）转化为数列最值问题求解②分类讨论解决③求导。