4.5矩协方差矩阵.ppt

4.5.1. 4.5.1. 矩、偏态、峰态矩、偏态、峰态定义定义4.6 设设X,Y是两个随机变量是两个随机变量（（1）若）若存在，则称它为存在，则称它为X的的k阶原点阶原点矩矩，记为，记为（（2）若）若存在，则称它为存在，则称它为X的的k阶中心矩阶中心矩，记为，记为（（3）若）若存在，存在，则称它为则称它为k+l阶混合中心矩阶混合中心矩1由定义可知，由定义可知，X的数学期望的数学期望E(X)就是就是X的一阶原的一阶原点矩，方差点矩，方差D(X)是是X的二阶中心矩，而的二阶中心矩，而(X，，Y)的的协方差协方差cov(X,Y)是二阶混合中心矩是二阶混合中心矩2例例1 设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布中心矩中心矩求它的求它的解解已知，已知，因此因此令令则则此广义积分绝对此广义积分绝对 收敛当k为奇数时为奇数时当当k为偶数时，令为偶数时，令则则3特别，当特别，当k=4时时 不难知道，如果随机变量的概率分布关于期望值不难知道，如果随机变量的概率分布关于期望值是对称的，则它的一切奇数阶中心矩都等于零是对称的，则它的一切奇数阶中心矩都等于零 4四阶中心矩可以描述随机变量分布的尖峭程度，通四阶中心矩可以描述随机变量分布的尖峭程度，通常用常用 来度量分布的尖峭程度，称来度量分布的尖峭程度，称它为它为峰态系数峰态系数，简称为，简称为峰态峰态。

正态分布的偏态和峰正态分布的偏态和峰态都等于零态都等于零一般地，奇数阶中心矩可以描述随机变量分布一般地，奇数阶中心矩可以描述随机变量分布的非对称性通常用的非对称性通常用 来度量随机来度量随机变量分布的非对称性，称它为变量分布的非对称性，称它为偏态系数偏态系数，简称，简称为为偏态偏态54.5.2. 协方差矩阵协方差矩阵定义定义4.7 设设 是是n维随机变量，若维随机变量，若存在，记存在，记则称矩阵则称矩阵Σ为为n维随机变量维随机变量X的协方差矩阵的协方差矩阵6 显然，协方差矩阵是一个对称矩阵，而且，它是显然，协方差矩阵是一个对称矩阵，而且，它是半正定矩阵，当半正定矩阵，当σi>0(i=1,2,…,n)时它是正定矩阵时它是正定矩阵对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y)(X,Y)的协方差矩阵为的协方差矩阵为7例例2 设设试求其协方差矩阵试求其协方差矩阵解解 已经求得已经求得 于是于是8例例3 设设解解 由协方差的定义可知由协方差的定义可知 9。