线性空间与线性变换.doc

第一章 线性空间与线性变换知识要点：1、线性空间的概念和结构，基变换、过渡矩阵和向量的坐标变换2、线性子空间的概念，维数定理，直和与直和分解定理3、线性变换与其矩阵表示4、欧氏空间与酉空间，正交阵与酉阵，正交补与正交分解5、正交变换与其特征6、应用于小波变换的框架理论〔对偶框架，紧框架，基〕§1.1线性空间一、线性空间的概念 在诸如所有维实向量构成的集合等集合中，线性运算是研究向量性质的根本工具，它能从线性相关性和线性结构的角度研究向量、向量组之间的关系，这性代数课程中已得到充分展示对于更加一般的元素构成的集合，也可同样在其中引入“线性运算〞，进展集合性质和结构的研究通常具有某些运算工具的集合称为“空间〞定义1〔definition〕：设非空集合相对于数域具有封闭的加法和数乘运算，并且具有与任何元素之和仍为该元素的零元素，同时每个元素均具有与其之和为零元素的负元素假如中运算满足加法结合律与交换律、数乘结合律与分配律和乘1不变性，如此称为数域上的线性空间注1〔note〕：数域是指对加减乘除四如此运算封闭的数集，如有理数集、实数集和复数集等注2：易证零元素和负元素均是唯一的，零元素为，元素的负元素记为。

注3：任何线性空间必含有零元素，只含有零元素的线性空间称为零空间，记为 对于元素和数，与的和记为，与的数乘记为，称为与的线性运算或线性组合一个集合是否构成一个线性空间，主要是看所引入的线性运算是否具有封闭性例1〔example〕：数域上的维〔行或列，以后假如不加声明均指列〕向量空间 按维向量的线性运算，构成数域上的线性空间例2：中的子集，其中为上阶矩阵 按中的线性运算，非空子集是封闭的，从而构成数域上的线性空间例3：数域上的阶矩阵空间 按阶矩阵的线性运算，构成数域上的线性空间例4：数域上的多项式空间 按多项式的线性运算，构成数域上的线性空间例5：区间上的实值连续函数空间按函数的线性运算，构成数域上的线性空间例6：中子集，其中， 因为，所以时，，即数乘运算不满足封闭性，因而不构成数域上的线性空间例7：设，定义中的“加法〞和“数乘〞为：，，，如此为上的线性空间，其中中零元素为1，的负元素为 以上各例的完整证明留给读者完成二、线性空间的结构 由于线性空间中已建立了线性的运算工具，因此可类似于维向量空间中的做法，考察元素间的线性相关性和线性空间的结构。

为习惯起见，以后线性空间中元素仍称为向量定义2：设为数域上的线性空间中的一组向量，假如有中不全为零的一组数，使得，如此称线性相关，否如此称为线性无关 显然，假如使得成立的数只能全为0，如此向量组必是线性无关的由此可知，单个非零向量也是线性无关的定义3：设线性空间中有一组非零向量，满足：〔1〕线性无关；〔2〕中任一向量均可由线性表示如此称为的一组基，数称为的维数，记为注1：线性空间的基不是唯一的，但其维数是唯一确定的注2：线性空间的基可以理解为空间中的参照系，能将所有元素线性表示出来定理1：设为数域上线性空间的一组基，如此对于任何向量，存在唯一一组数，使得，从而证明：对于向量，假如有一组数，使得，如此由基的线性无关性可知，因此，向量在基下的线性表示是唯一的由基的定义可知，由线性运算的封闭性可知，对于任意，，从而注：集合称为线性空间的结构表示称为向量在基下的结构表达式 假如将记为，维向量称为在基下的坐标例8：为中的一组基，；为中的一组基，；为〔所有以中数为系数，次数不超过的多项式的集合〕中的一组基，；中任意有限个向量均为或中线性无关的向量组，因而或均不是有限维的线性空间 以上结论由读者自行证明。

例9：试证为线性空间中的一组基，并求矩阵在这组基下的坐标证明：设，如此 由此可得，因此，线性无关对于中的任意矩阵总有，因此，为中的一组基，并且矩阵在这组基下的坐标为注：假如令，可得 解之即得，从而矩阵在基下的坐标为三、基变换、过渡矩阵和坐标变换在实际问题中，某个参照系中的描述和分析较为复杂和困难时，往往需要建立新的参照系，使得原问题形式简化和分析简单就像转换观察角度后，问题的形式和性质可以变得更加简单明了因此，当线性空间的一组基被理解为空间中的一种参照系时，自然就存在基之间的转换定义4：设和为线性空间中的两组基，假如…………………如此矩阵称为从基到基的过渡矩阵 将上述基变换表达式简记为，称之为基变换公式定理2：线性空间基之间的过渡矩阵是可逆的证明：设从基到基的过渡矩阵为，如此对于任何列向量，时，必有由基的线性无关性，可得再由线性代数知识可知，过渡矩阵是可逆的推论：设为基到基的过渡矩阵，如此基到基的过渡矩阵为证明：设基到基的过渡矩阵为，如此由，可得比拟左、右对应项在基下表达式的系数，可得〔记为〕，即这说明到的过渡矩阵为注：由一组基和一个可逆矩阵，可构造出另一组基定理3：设向量在基和基下的坐标分别为和，为基到基的过渡矩阵，如此或。

证明：由与得，，从而或注：上述公式称为向量在不同基下的坐标变换公式例10：验证和 均为中的基，并求前一组基到后一组基的过渡矩阵，以与在后一组基下的坐标解：考察，即对任何数成立，如此由多项式理论可知因而是线性无关的，并构成的一组基 由与矩阵可逆知， 也构成的一组基，并且基到基的过渡矩阵为 由可得，在基下的坐标为注：也可先求出，再计算出例11：的两组基分别为，，试求基到基的过渡矩阵解：设，如此因此，四、线性子空间的概念 当一个集合包含一些特殊类型的元素时，研究其局部的性质是必不可少的，是对整体性质研究的一个补充，至少可以将整个集合分解成一些特殊的子集对于线性空间，那些保持着原有的线性运算封闭性的子集，有着重要的意义定义5：设是线性空间的非空子集，假如关于中的加法和数乘也构成线性空间，如此称是的一个线性子空间显然，零空间是任何线性空间的子空间例12：设是数域上线性空间中的一组向量，如此集合构成的子空间，称为由的生成子空间，记为 证明留给读者完成子空间判别定理：线性空间的非空子集为的子空间的充分必要条件是对中的线性运算封闭 从子空间的定义中很容易看出该定理是正确的。

根据上述判别定理，不难证明以下的结论1和结论2结论1：设、为线性空间的子空间，如此与的交也是的子空间，称为交空间结论2：设、为线性空间的子空间，如此与的和也是的子空间，称为和空间例13：设，，均为实矩阵，如此结论是显然成立的例14：设，，，求、与它们的一组基解：任取，如此，即解之得，，从而，由此可得，，为其一组基 任取，如此，因此由可知，为的一组基维数定理：设、为线性空间的子空间，如此证明：设，取的一组基，并将其分别扩展为和的基：； 以下证明是线性无关的，从而构成的一组基考察，由可知，右端属于可由线性表示，即有，整理后得到由的线性无关性可得，，从而再由的线性无关性可得，，从而向量组线性无关，并构成的一组基由此可得，，并且定义6：设、为线性空间的子空间，假如中每个向量的分解式(，)是唯一的，即，，时，总有，，如此称为与的直和，记为直和判别定理：设、为线性空间的子空间，如此证明：假如是直和，假设存在，如此，并且，由零向量分解式的唯一性可得，，这与假设矛盾，因此而假如，假设中向量的分解式不唯一，即存在，，使得由此可得，，从而，即，这与假设矛盾，因此是直和另由维数定理可知，注1：为直和的充要条件为某一向量〔包括0〕的分解式唯一。

这只要注意到如下事实：设向量的分解式是唯一的，并且0的分解式为，如此由此可得，，因而0的分解式是唯一的对于任意向量，假如，，，如此，并且，由0的分解唯一性的可得，，，即任意向量的分解也是唯一的注2：、的基合并在一起构成基的充分必要条件是为直和直和分解定理：设为线性空间的子空间，如此存在的子空间，使得证明：任取的一组基，将其扩展为的一组基令，如此因此为和的直和，并且注1：假如为的一组基，如此，但远远不能充满线性空间注2：直和分解的意义还在于将大规模的线性运算分解成较小规模线性运算的线性组合，这将大大加快线性运算的速度，傅立叶〔〕变换的快速计算就是建立在这种思想上的§1.2线性变换与其矩阵一、线性变换与其运算线性变换是线性运算和运算具有线性性的共性化的概念，其本质是像的线性运算与原像的线性运算可以互相转换如维向量的线性变换、函数的微分和积分运算均为线性变换定义1：设是数域上线性空间到〔或另一线性空间〕中的映射，假如对任何，，总成立着，，如此称是上线性变换例1：对于任意，，其中，如此为上的线性变换对于任意，，如此为上的线性变换对于任意，，如此为上的线性变换对于任意，，如此为到中的线性变换。

对于任意，，如此不构成上的线性变换以上结论由读者自证结论1：线性变换的加、减、乘、数乘和逆运算仍为线性变换，线性空间上所有线性变换的集合构成线性空间，记为 线性变换的研究与其他许多数学对象一样，常常是从运算性质、特殊区域上的表现、运算表达式等方面着手的二、象空间、核空间和不变子空间定义2：设是上线性变换，中所有向量在下的像构成的集合称为的像空间，中所有被变换成0的向量构成的集合称为的核空间注：的像空间和核空间均为的子空间定理1：设是上线性变换，如此证明：取的一组基，并将其扩X为的一组基，如此对于任何，，总有，从而考察，由的线性性可知，，从而，因此可由线性表示，即有再由的线性无关性可知，，从而线性无关，因此构成的一组基 由此可知，，从而定义3：设是线性空间上的线性变换，是的子空间，假如，如此称为的不变子空间例2：对于任意，设，如此是线性变换的不变子空间显然，是上的微分变换，也是一个线性变换由于多项式的导数必为低阶的多项式，因此是线性变换的不变子空间例3：对于任意，设，，如此是线性变换的不变子空间显然，为上的线性变换，是的特征子空间对于任何，，即，因而是线性变换的不变子空间注：不变子空间是线性变换的属性在定义空间上的反映，不变子空间中线性变换的性质独立于其它X围中的性质，因此寻找适宜的不变子空间是性质分析的重要内容。

结论2：设是上线性变换，如此，均为的不变子空间三、线性变换在基下的矩阵表示定义4：设为线性空间上的线性变换，假如的一组基在下的像为，如此称为在下的矩阵表示〔或为的变换矩阵〕，并将上述表达式记为注：不一定可逆，但可逆时也构成一组基结论3：设为线性空间上的线性变换，如此与是同构的〔isomorphic〕即中线性变换与中矩阵一一对应，并且保持对应的线性运算因此，中的基对应于中的基，两空间的维数一样这说明除符号形式不同外，从线性运算的角度看，与没区别可以认为，矩阵和线性变换本质一样，只是表现形式不同而已因此，在变换分析和代数运算两种根本方法之间就架起了沟通和转换的桥梁定理2：设和为线性空间中过渡矩阵为的两。