(人教版)2018年中考数学：拓展题型-二次函数综合题((有答案).doc

目目 录录 拓展题型拓展题型 二次函数综合题二次函数综合题1 拓展一拓展一 二次函数与线段和差问题二次函数与线段和差问题.1 拓展二拓展二 二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题.10 拓展三拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题二次函数与特殊四边形判定问题.23 拓展四 二次函数与特殊三角形判定问题.37 拓展题型 二次函数综合题 拓展一 二次函数与线段和差问题 针对演练针对演练 1. (2016 贺州 10 分)如图，矩形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上， 点 B 的坐标为(10，8)，沿直线 OD 折叠矩形，使点 A 正好落在 BC 上的 E 处， E 点坐标为(6，8)，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 O，A，E 三点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求 AD 的长； (3)点 P 是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD 的周长最小时，求点 P 的坐标． 第 1 题图 2. (2016 大连 12 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝x2＋ 与 y 轴相交于点 A，点 B 与点 O 关于点 A 对称． 1 4 (1)填空，点 B 的坐标是________； (2)过点 B 的直线 y＝kx＋b(其中 k＜0)与 x 轴相交于点 C，过点 C 作直线 l 平行于 y 轴，P 是直线 l 上一点，且 PB＝PC.求线段 PB 的长(用含 k 的式子表示)， 并判断点 P 是否在抛物线上，说明理由； (3)在(2)的条件下，若点 C 关于直线 BP 的对称点 C′恰好落在该抛物线的对 称轴上，求此时点 P 的坐标． 第 2 题图 3. 如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C， 点 O 为坐标原点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF＝2，EF＝3. (1)求抛物线的解析式； (2)连接 CB 交 EF 于点 M，再连接 AM 交 OC 于点 R，连接 AC，求△ACR 的周长； (3)设 G(4，－5)在该抛物线上，P 是 y 轴上一动点，过点 P 作 PH⊥EF 于点 H，连接 AP，GH，问 AP＋PH＋HG 是否有最小值？如果有，求出点 P 的坐标； 如果没有，请说明理由． 第 3 题图 备用图 【【答案答案】】 1．解：(1)∵四边形 OABC 是矩形，B(10，8)， ∴A(10，0). ……………………………………………………(1 分) 又∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(10，0)、E(6，8)和 O(0，0)， ∴，解得， 2 2 10100 668 0 abc abc c        1 3 10 3 0 a b c              ∴抛物线的解析式为 y＝－ x2＋x；……………………… (3 分) 1 3 10 3 (2)由题意可知：AD＝ED，BE＝10－6＝4，AB＝8，………(4 分) 设 AD 为 x，则 ED＝x，BD＝AB－AD＝8－x， 在 Rt△BDE 中，ED2＝EB2＋BD2， 即 x2＝42＋(8－x)2，………………………………………… (5 分) 解得 x＝5， 即 AD＝5；……………………………………………………(6 分) (3)由(2)可知，D 点的坐标是(10，5)， ∴△PAD 的周长 l＝PA＋PD＋AD＝PA＋PD＋5，…………(7 分) ∵抛物线的对称轴是线段 OA 的垂直平分线，点 P 是抛物线对称轴上的一 动点， ∴PO＝PA， ∵l＝PA＋PD＋5＝PO＋PD＋5， ∴当 PO＋PD 最小时，△PAD 的周长 l 最小， 即当点 P 移动到直线 OD 与抛物线对称轴的交点处时 PO＋PD 最小， ……………………………………………………………… (8 分) 设直线 OD 的解析式为 y＝kx， 将 D 点坐标(10，5)代入得： 5＝10k，解得 k＝ ， 1 2 ∴直线 OD 的解析式为 y＝ x，………………………………(9 分) 1 2 当 x＝5 时，y＝ ， 5 2 ∴P 点的坐标是(5， )．……………………………………(10 分) 5 2 2．解：(1)(0， )；…………………………………………… (2 分) 1 2 【解法提示】由 y＝x2＋ 得：A(0， )， 1 4 1 4 ∵点 B、O 关于点 A 对称， ∴B(0， )． 1 2 (2)∵直线 BC 过点 B(0， )， 1 2 ∴直线 BC 解析式为 y＝kx＋ ，………………………………(3 分) 1 2 ∴C(，0)， 1 2k  又∵P 是直线 l 上一点， ∴可设 P(，a)． 1 2k  如解图①，过点 P 作 PN⊥y 轴，垂足为 N，连接 PB， 第 2 题解图① 则在 Rt△PNB 中，由勾股定理得：PB2＝PN2＋NB2， ∵PB＝PC＝a， ∴a2＝()2＋(a－ )2，……………………………………(5 分) 1 2k  1 2 解得 a＝， 2 11 44k  ∴PB＝， 2 11 44k  ∴P 点坐标为(，)，……………………………(6 分) 1 2k  2 11 44k  当 x＝时，y＝， 1 2k  2 11 44k  ∴点 P 在抛物线上；…………………………………………(7 分) (3)如解图②，由 C′在 y 轴上，可知∠CBP＝∠C′BP， 第 2 题解图② ∵PB＝PC， ∴∠CBP＝∠PCB， ∵PC∥C′B， ∴∠PCB＝∠ABC， ∴∠C′B P＝∠CBP＝∠ABC＝60°， ∴△PBC 为等边三角形， ∵OB＝ ， 1 2 ∴BC＝1，OC＝， 3 2 ∴PC＝1， ∴P(，1)．…………………………………………………(12 分) 3 2 3．解：(1)∵四边形 OCEF 为矩形，且 OF＝2，EF＝3， ∴C(0，3)，E(2，3)， 将 C(0，3)，E(2，3)代入抛物线解析式 y＝－x2＋bx＋c 得， ，解得， 3 423 c bc      2 3 b c     ∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3； (2)由(1)得 y＝－x2＋2x＋3， 令 y＝0，得－x2＋2x＋3＝0， 解得 x1＝－1，x2＝3， ∴A(－1，0)，B(3，0)， ∴AO＝1，BO＝3， 又∵C(0，3)， ∴OC＝3， 在 Rt△AOC 中，由勾股定理，得 AC＝， 22 10AOOC ∵CO＝BO＝3，OF＝2， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AF＝3，BF＝1， ∴MF＝BF＝1， ∵RO∥MF， ∴△ARO∽△AMF， ∴， ROAO MFAF  ∴， 1 13 RO  解得 RO＝ ， 1 3 ∴CR＝3－ ＝ ， 1 3 8 3 在 Rt△AOR 中，AR＝， 22 110 1( ) 33  ∴△ACR 的周长为＋ ＋＝； 10 8 3 10 3 8＋4 10 3 (3)存在点 P，使得 AP＋PH＋HG 的值最小． 如解图，取 OF 中点 A′，连接 A′G 交直线 EF 的延长线于点 H，过点 H 作 HP′⊥y 轴于点 P，连接 AP， 此时，AP＋PH＋HG 的值最小， 第 3 题解图 设直线 A′G 的解析式为 y＝kx＋a， 将 A′(1，0)，G(4，－5)代入得， ， 0 45 ka ka      解得， 5 3 5 3 k a           ∴直线 A′G 的解析式为 y＝－ x＋ ， 5 3 5 3 令 x＝2，得 y＝－＋ ＝－ ， 10 3 5 3 5 3 ∴点 H 的坐标为(2，－ )， 5 3 ∴符合题意的点 P 的坐标为(0，－ )． 5 3 拓展二 二次函数与三角形面积问题 针对演练针对演练 1. (2016 永州 12 分)已知抛物线 y＝ax2＋bx－3 经过(－1，0)， (3，0)两点，与 y 轴交于点 C，直线 y＝kx 与抛物线交于 A，B 两点． (1)写出点 C 的坐标并求出此抛物线的解析式； (2)当原点 O 为线段 AB 的中点时，求 k 的值及 A，B 两点的坐标； (3)是否存在实数 k 使得△ABC 的面积为？若存在，求出 k 的值；若不 3 10 2 存在，请说明理由． 第 1 题图 2. (2015 攀枝花)如图，已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1，0)， B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与抛物线交于点 P、与直线 BC 相交于点 M，连接 PB. (1)求该抛物线的解析式； (2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D，使得△BCD 的面积最 大？若存在，求出 D 点坐标及△BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)在(1)中的抛物线上是否存在点 Q，使得△QMB 与△PMB 的面积相等？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 第 2 题图 3. (2015 桂林)如图，已知抛物线 y＝－ x2＋bx＋c 与坐标轴分别交于点 1 2 A(0，8)、B(8，0)和点 E，动点 C 从原点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度 移动，动点 D 从点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 C、D 同 时出发，当动点 D 到达原点 O 时，点 C、D 停止运动． (1)直接写出抛物线的解析式：____________________； (2)求△CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式；当 t 为何值时，△ CED 的面积最大？最大面积是多少？ (3)当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点 P(点 E 除外)，使△ PCD 的面积等于△CED 的最大面积，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请 说明理由． 第 3 题图 4. (2016 常州 10 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝x 与二 次函数 y＝x2＋bx 的图象相交于 O、A 两点，点 A(3，3)，点 M 为抛物线的顶 点． (1)求二次函数的表达式； (2)长度为 2的线段 PQ 段 OA(不包括端点)上滑动，分别过点 P、Q 2 作 x 轴的垂线交抛物线于点 P1、Q1，求四边形 P1P1面积的最大值； (3)直线 OA 上是否存在点 E，使得点 E 关于直线 MA 的对称点 F 满足 S△ AOF＝S△AOM？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 第 4 题图 【【答案答案】】 1．解：(1)令 x＝0，得 y＝－3， ∴C(0，－3)， 把(－1，0)和(3，0)代入 y＝ax2＋bx－3 中，得 ，解得， 30 9330 ab ab     1 2 a b      ∴抛物线的解析式为 y＝x2－2x－3；…………………………(3 分) (2)联立方程组， 2 23yxx ykx      解得，， 2 1 22 1 2416 2 2416 2 kkk x kkk kk y          2 2 22 2 2416 2 2416 2 kkk x kkk kk y          ∵O 是 AB 的中点， ∴x1＋x2＝0，即 22 24162416 0 22 kkkkkk  解得 k＝－2， ∴ 或， 1 1 3 2 3 x y         2 2 3 2 3 x y         ∴A(－，2)，B(，－2)；…………………………(7 分)； 3333 (3)不存在实数 k 使得△ABC 的。