概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三节 连续型随机变量函数的密度函数,复习:,变限积分的求导公式,若,a,为常数,则,若,b,为常数?,1,根据分布函数,的定义,一.一维随机变量函数的密度函数,目标:,设,X,为一个连续型随机变量，其概率密度函数为,f,(,x,),y,=,g,(,x,),为一个连续函数(分段严格单调)，求随机变量,Y,=,g,(,X,),的密度函数 .,基本方法(分布函数求导法),分2个步骤:,(1)求,Y,的分布函数,(2)对 求导，,2,1.是严格单调且可导的函数.,1).定理3.1.设 而 是严格单调且且处处可导的,设 是,g,的反函数,则 是连续型随机变量,其密度函数为,其中,其实就是变限积分求导,3,证明,4,推论.,如果,Y,=,aX,+,b,则,Y,的密度函数为,特别的,对于正态分布 ,设,我们有 更一般的,则,5,解,先求分布函数,F,Y,(,y,)设随机变量,X,服从正态分布,求,的概率密度,当 时，,所以，,请同学自己用分布函数求导法证明!,6,当 时，,所以，,7,解,体积 的分布函数为,例,设球的半径,X,的概率密度为,试求体积的概率密度。

所以体积的,概率密度为,严格单调递增函数,8,所以体积的,概率密度为,即,代入,f,(,x,).,9,练习,设圆的半径,X,服从区间(1,2)上的均匀分布，求圆面积的分布密度函数答案：,10,例题1,此类问题的基本做法:先确定Y的取值范围,其密度函数在此范围外的取值为零,对此范围内用公式法或者分布函数求导法,最后写出函数.,以下练习:,11,练习题:,12,定理3.2,若随机变量,X,和,随机变量,Y,=,g,(,X,),的密度函数分别为,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),当,g,(,x,),在不相重叠的区间,I,1,，,I,2,，,I,k,上,是严格单调,函数且可导，则,其中 为 在,I,i,上的反函数,2.分段严格单调可导函数,最好不要套用定理,还是由”分布函数求导法”来求解!,13,例,设,X,N,（0，1），,其概率密度为,：,则,概率密度函数为,：,此时称,Y,服从自由度为1的 -分布,记作,结论：若 ,则,14,解,因此对于,首先注意到,则,有,对,不是单调的，但却,是分段单调的是单调下降的，,是单调上升的，,1).公式法,(自己看),15,2).分布函数求导法:,因此对,首先,当 时,有,对其求导,所以,16,若 结果怎样?,17,例3.15(3).设,X,的密度函数,求 的密度函数.,解.因为 所以只要考虑,当 时,求导,得,18,当 时,求导,得,故,19,解题步骤:,20,设,是二维连续型随机变量,其联合分布密度为,则 是一维的连续型随机变量?,其分布函数为,是二元连续函数，,其分布密度函数为,二.多维随机变量函数的密度函数,基本步骤,(分布函数求导法),21,1).如果(,X,Y,)的联合分布密度函数为,f,(,x,y,),，则,Z,=,X,+,Y,的分布密度函数为,或,特别地，当,X,Y,相互独立时，有,卷积公式,或,1.和的分布,22,证明.设(,X,Y,)的密度函数为,f,(,x,y,),则,Z=X+Y,的分布函数为,所以,对,z,求导,令,对,f(x,y),沿着,x+y=z,积分,对于相互独立的,X,Y,则,23,例3.16 如果,X,与,Y,相互独立,记住结论,证明过程感兴趣自己看.,进一步,24,例3.17,如果 在小于0上取0值,则积分都是类似的,卷积的积分限限制到(0,z,).,25,当 时,解,当 时,所以,练习题.,X,Y,相互独立,且都服从参数为 的指数分布,求,Z=X+Y,的密度函数.,26,27,28,2.,例3.18 设,X,Y,相互独立,N,(0,1),求,Z,的密度函数.,例3.14 自由度为1的 分布,例3.18自由度为2的 分布.如果随机变量是,n,个相互独立的标准正态分布的平方和,则其是自由度为,n,的 分布.,29,3.,若(,X,Y,)的密度函数为,f,(,x,y,),则,Z,的密度函数为,沿着,yz=x,对,y,积分.,30,4.极大值和极小值的分布,设 相互独立,令,希望得到 的分布.,31,若为同分布,则,而,而,32,两个非同分布独立随机变量情形:,33,其它类型,34,例,设二维随机变量（,X,Y,）的概率密度为,求随机变量,Z,=,X,+2,Y,的密度函数.,解,所求分布函数为,分布密度函数为,35,练习题,36,37,。