高中数学必修四课件全册(人教A版)ppt.ppt

在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2024年9月3日高中数学必修四课件全册（人教A版）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么任意角的概念任意角的概念任意角的概念任意角的概念角的度量方法角的度量方法角的度量方法角的度量方法（角度制与弧度制）（角度制与弧度制）（角度制与弧度制）（角度制与弧度制）弧长公式与弧长公式与弧长公式与弧长公式与扇形面积公式扇形面积公式扇形面积公式扇形面积公式任意角的任意角的任意角的任意角的三角函数三角函数三角函数三角函数同角公式同角公式同角公式同角公式诱导公式诱导公式诱导公式诱导公式两角和与差的两角和与差的两角和与差的两角和与差的三角函数三角函数三角函数三角函数二倍角的二倍角的二倍角的二倍角的三角函数三角函数三角函数三角函数三角函数式的恒等变形三角函数式的恒等变形三角函数式的恒等变形三角函数式的恒等变形（化简、求值、证明）（化简、求值、证明）（化简、求值、证明）（化简、求值、证明）三角函数的三角函数的三角函数的三角函数的图形和性质图形和性质图形和性质图形和性质正弦型函数的图象正弦型函数的图象正弦型函数的图象正弦型函数的图象已知三角函数值，求角已知三角函数值，求角已知三角函数值，求角已知三角函数值，求角知识网络结构在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.1.角的概念的推广角的概念的推广（1）正角，负角和零角正角，负角和零角. .用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.（4）角在“到”范围内，指.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.一、基本概念：一、基本概念：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、任意角的三角函数1、、角的概念的推广角的概念的推广正角正角负角负角oxy的终边的终边零角零角在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、象限角：注注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：（角度制）（弧度制）例1、求在 到 （ ）范围内，与下列各角终边相同的角原点原点x轴的非负半轴轴的非负半轴一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 重合，角的始边 与 重合。

逆时针旋转为正，顺时针旋转为负角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1 1、终边相同的角与相等角的区别、终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同2 2、象限角、象间角与区间角的区别、象限角、象间角与区间角的区别3 3、角的终边落在、角的终边落在““射线上射线上””、、““直线上直线上””及及““互相互相垂直的两条直线上垂直的两条直线上””的一般表示式的一般表示式三、终边相同的角在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(1)与与   角角终边相同的角的集合终边相同的角的集合:1.几类特殊角的表示方法几类特殊角的表示方法 {  |  =2k + , k∈∈Z}. (2)象限角、象限界角象限角、象限界角( (轴线角轴线角) )①①象限角象限角第一象限角第一象限角: (2k < <2k + , k Z) 2  第二象限角第二象限角:(2k + < <2k + , k Z) 2  第三象限角第三象限角: (2k + < <2k + , k Z) 23 第四象限角第四象限角:2   (2k + < <2k +2 , k Z 或或 2k - - < <2k , k Z ) 23 一、角的基本概念一、角的基本概念在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么②②轴线角轴线角x 轴的非负半轴轴的非负半轴:  =k 360º(2k )(k Z); x 轴的非正半轴轴的非正半轴:  =k 360º+180º(2k + )(k Z); y 轴的非负半轴轴的非负半轴:  =k 360º+90º(2k + )(k Z); 2   y 轴的非正半轴轴的非正半轴:  =k 360º+270º(2k + ) 或或  =k 360º- -90º(2k - - )(k Z); 23 2  x 轴轴:  =k 180º(k )(k Z); y 轴轴:  =k 180º+90º(k + )(k Z); 2  坐标轴坐标轴:  =k 90º( )(k Z). 2k 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合：（2）、终边落在y轴上的角度集合：（3）、终边落在象限平分线上的角度集合：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么典型例题 各各各各个个个个象象象象限限限限的的的的半半半半角角角角范范范范围围围围可可可可以以以以用用用用下下下下图图图图记记记记忆忆忆忆，，，，图图图图中中中中的的的的ⅠⅠⅠⅠ、、、、ⅡⅡⅡⅡ、、、、ⅢⅢⅢⅢ、、、、ⅣⅣⅣⅣ分分分分别别别别指指指指第第第第一、二、三、四象限角的半角范围；一、二、三、四象限角的半角范围；一、二、三、四象限角的半角范围；一、二、三、四象限角的半角范围；例例1.1.若若αα是是第第三三象象限限的的角角，，问问α/2α/2是是哪哪个个象象限限的的角角?2α?2α是哪个象限的角是哪个象限的角? ? 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么C点评点评:本题先由本题先由α所在象限确定所在象限确定α/2所在象限所在象限,再再α/2的的余弦符号确定结论余弦符号确定结论.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：解：分针所转过的角度例例2 已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角 （1） （2）评析：评析： 在解选择题或填空题时，如求角所在象限，也可以不讨论k的几种情况，如图所示利用图形来判断.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么四、什么是1弧度的角？长度等于半径长的弧所对的圆心角OABrr2rOABr在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算. 应熟记一些特殊角的度数和弧度数. 在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制 （4）弧长公式和扇形面积公式. 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么度 弧度 02、角度与弧度的互化角度与弧度的互化特殊角的角度数与弧度数的对应表特殊角的角度数与弧度数的对应表在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 略解：解：例3．已知角和满足求角–的范围.解：例例4 4、、 已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？扇形面积最大值为625. 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例7.7.已已知知一一扇扇形形中中心心角角是是αα，，所所在在圆圆的的半半径径是是R. R. ①①若若αα＝＝60°60°，，R R＝＝10cm10cm，，求求扇扇形形的的弧弧长长及及该该弧弧所在的弓形面积所在的弓形面积. . ②②若若扇扇形形的的周周长长是是一一定定值值C C( (C C＞＞0)0)，，当当αα为为多多少少弧弧度度时时，，该该扇扇形形的的面面积积有有最最大大值值? ?并并求求出出这这一一最最大值大值? ? 指指指指导导导导: : : :扇扇扇扇形形形形的的的的弧弧弧弧长长长长和和和和面面面面积积积积计计计计算算算算公公公公式式式式都都都都有有有有角角角角度度度度制制制制和和和和弧弧弧弧度度度度制制制制两两两两种种种种给给给给出出出出的的的的方方方方式式式式，，，，但但但但其其其其中中中中用用用用弧弧弧弧度度度度制制制制给给给给出出出出的的的的形形形形式式式式不不不不仅仅仅仅易易易易记记记记，，，，而而而而且且且且好好好好用用用用. . . .在在在在使使使使用用用用时时时时，，，，先先先先要要要要将将将将问问问问题题题题中中中中涉涉涉涉及及及及到到到到的的的的角角角角度度度度换算为弧度换算为弧度换算为弧度换算为弧度. . . .     在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 解：（解：（1）设弧长为）设弧长为l，弓形面积为，弓形面积为S弓弓 （（2））扇形周扇形周长C=2R+l=2R+在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么正弦线：正弦线：正弦线：正弦线：余弦线：余弦线：余弦线：余弦线：正切线：正切线：正切线：正切线：（（（（2 2）当角）当角）当角）当角α α的终边在的终边在的终边在的终边在x x轴上时，正弦线，正切线变成一轴上时，正弦线，正切线变成一轴上时，正弦线，正切线变成一轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角个点；当角个点；当角个点；当角α α的终边在的终边在的终边在的终边在y y轴上时，余弦线变成一个点，正轴上时，余弦线变成一个点，正轴上时，余弦线变成一个点，正轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在切线不存在切线不存在切线不存在2.正弦线、余弦线、正切线正弦线、余弦线、正切线x xy yOOP PT TMMA A有向线段有向线段有向线段有向线段MPMP有向线段有向线段有向线段有向线段OMOM有向线段有向线段有向线段有向线段ATAT注意：（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 三角函数三角函数三角函数线三角函数线正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数正弦线正弦线MP 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 yx xO-1PMA(1,0)Tsin =MPcos =OMtan =AT注意：注意：三角三角函数线是函数线是有有向线段向线段！！余弦线余弦线OM正切线正切线AT在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 P POOMM P POOMM P POOMM P POOMMMPMP为角为角 的正弦线的正弦线, ,OMOM为角为角 的余弦线的余弦线为第二象限角时为第二象限角时 为第一象限角时为第一象限角时 为第三象限角时为第三象限角时 为第四象限角时为第四象限角时 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么10））函数函数y=lg sinx+ 的定义域是的定义域是（（A））（（A））{x|2kπ

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三角函数线的应用三角函数线的应用一、三角式的证明一、三角式的证明2、已知：角 为锐角， 试证：1、已知：角 为锐角， 试证：（1）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形圆心角是多少？扇形的的面积是多少？答：圆心角为π-2，面积是5、用单位圆证明sian α < α

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4.三角函数的符号三角函数的符号xyo0 1 -1 0 ++__1 0 0 -1 xyo++__不存在不存在 xyo0 0 不存在不存在 _+_+在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、任意角的三角函数定义一、任意角的三角函数定义xyo●P(x,y)r二、同角三角函数的基本关系式二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：商关系：平方关系：三角函数值的符号：三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦第一象限全为正，二正三切四余弦”在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么平方关系平方关系平方关系平方关系倒数关系倒数关系倒数关系倒数关系商式关系商式关系商式关系商式关系5.5.同角三角函数基本关系同角三角函数基本关系同角三角函数基本关系同角三角函数基本关系: :神奇的六边形神奇的六边形11在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（1）上述几个基本关系中，必须注意：①它们都是同一个角的三角函数，因此sin2+sin2 =1不一定成立；②这几个恒等式都是在所取的角使等式两边都有意义的前提下成立.（2）同角三角函数的基本关系常用于：①已知角的某个三角函数值，求角的其他三角函数值；②化简三角函数式；③证明三角恒等式同角三角函数基本关系注意事项同角三角函数基本关系注意事项:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、典型例题分析三、典型例题分析【【解题回顾解题回顾】已知三角函数值求同角的其它三角函数值是一个基】已知三角函数值求同角的其它三角函数值是一个基本题型，解答此问题过程中，通过基本关系式中正弦、余弦、正本题型，解答此问题过程中，通过基本关系式中正弦、余弦、正切之间的联系，必需开方且只需开方一次（有的题型根据已知条切之间的联系，必需开方且只需开方一次（有的题型根据已知条件可以尽量回避开方，使得问题轻松获解件可以尽量回避开方，使得问题轻松获解 ），根据），根据α角所在象限，角所在象限，确定正确定正负号的取舍号的取舍.当当给出的出的α的象限指定唯一，的象限指定唯一，则此此时一般有一一般有一解；当角解；当角α的象限没有定，可根据已知的函数的象限没有定，可根据已知的函数值的符号确定的符号确定α的象的象限，此时一般有二解（除轴上角外）；当已知的三角函数值符号限，此时一般有二解（除轴上角外）；当已知的三角函数值符号不确定，此时一般有四解（除轴上角不确定，此时一般有四解（除轴上角.外）外）.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例1：已知 是第三象限角，且 ，0求 。

四、主要题型解：应用：应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系；三角函数值的符号；同角三角函数的关系；在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2 2．已知．已知sinα=sinα=m m ( (|m||m|≤1) ≤1) ，求，求tanα. tanα. 方法指导：方法指导：方法指导：方法指导：此类例题的结果可分为以下三种情况此类例题的结果可分为以下三种情况此类例题的结果可分为以下三种情况此类例题的结果可分为以下三种情况. . . .(1)(1)(1)(1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解一解一解一解. . . .(2)(2)(2)(2)已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，有两解有两解有两解有两解. . . .(3)(3)(3)(3)已知角已知角已知角已知角αααα的三角函数值是用字母表示时，要分象限的三角函数值是用字母表示时，要分象限的三角函数值是用字母表示时，要分象限的三角函数值是用字母表示时，要分象限讨论讨论讨论讨论.α.α.α.α分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方关系的那个三角函数值符号，一般有四解关系的那个三角函数值符号，一般有四解关系的那个三角函数值符号，一般有四解关系的那个三角函数值符号，一般有四解. . . .在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么指指指指导导导导：：：：容容容容易易易易出出出出错错错错的的的的地地地地方方方方是是是是得得得得到到到到x x x x2 2 2 2＝＝＝＝3 3 3 3后后后后，，，，不不不不考考考考虑虑虑虑P P P P点点点点所所所所在在在在的的的的象象象象限限限限，，，，分分分分x x x x取取取取值值值值的的的的正正正正负负负负两两两两种种种种情情情情况况况况去去去去讨讨讨讨论论论论，，，，一一一一般般般般地地地地，，，，在在在在解解解解此此此此类类类类问问问问题题题题时时时时，，，，可可可可以以以以优优优优先先先先注注注注意意意意角角角角αααα所所所所在在在在的的的的象象象象限限限限，，，，对对对对最终结果作一个合理性的预测最终结果作一个合理性的预测最终结果作一个合理性的预测最终结果作一个合理性的预测例例4 4．设．设αα为第四象限角，其终边上的一个点是为第四象限角，其终边上的一个点是P(xP(x，， ) )，，且且cosαcosα＝＝ ，，求求sinαsinα和和tanα. tanα. 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么设设00900，对于任意一个，对于任意一个00到到3600的角的角  = ，， 当当[00，，900]1800- ，， 当当[900，，1800]1800+ ，当，当[1800，，2700]3600- ，当，当[2700，，3600]如何求非锐角的三角函数值呢？如何求非锐角的三角函数值呢？角角1800- ，， 1800+ ，， 3600- 的三角函数值与的三角函数值与 的三角函数值有何关系呢？的三角函数值有何关系呢？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么6.6.诱导公式诱导公式诱导公式诱导公式: :公式公式公式公式1 1 1 1 公式公式公式公式2 2：：：： 公式公式公式公式3 3：：：：公式公式公式公式4 4：：：：公式公式公式公式5 5：：：：奇变偶不变，奇变偶不变，符号看象限！符号看象限！（注意：把（注意：把 看作是锐角）看作是锐角）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么公式五：公式五：公式六：公式六：偶同奇余偶同奇余象限定号象限定号在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（K是奇数）（K是偶数）（K是奇数）（K是偶数）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么诱导公式总结：诱导公式总结：口诀：奇变偶不变，符号看象限口诀：奇变偶不变，符号看象限意义：意义：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数函数,一般按下面步骤进行一般按下面步骤进行:任意负角的三角函数任意正角的三角函数锐角三角函数 到 的角的三角函数用公式三或一用公式一用公式二或四在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么你记住了吗？你记住了吗？度弧度在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、典型例题分析三、典型例题分析【【解题回顾解题回顾】视】视sinα，，cos α等为等为“一次式一次式”，，sin2 α，，sin αcos α等为等为“二次式二次式”.象此题中的象此题中的“分式齐次式分式齐次式”、、“齐次二项式齐次二项式”是典型的是典型的条件求值，一般化为含条件求值，一般化为含tanα的式子的式子.要注重要注重数字数字“1”的代换，表面上看增加了运算，的代换，表面上看增加了运算，但同时它又可以将原表达式整体结构发生改变，给解决但同时它又可以将原表达式整体结构发生改变，给解决问题带来方面，故解题时，应给于足够的认识．问题带来方面，故解题时，应给于足够的认识．在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1、在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 若若 ，则，则 分析分析: : 从已知　　　　　　　从已知　　　　　　　 可求可求出　　　　出　　　　 同除以同除以 得得例例1：：原式可化为原式可化为（（04 湖南湖南)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例5 5，若，若tanA=tanA=　　　　, ,求求2sin2sin2 2A+sinA·cosA-A+sinA·cosA-3cos3cos2 2A A的值指导：指导：指导：指导：这是一个已知角这是一个已知角这是一个已知角这是一个已知角A A A A的三角函数值，求它的的三角函数值，求它的的三角函数值，求它的的三角函数值，求它的三角函数式的值观察其构成特征，可考虑利三角函数式的值观察其构成特征，可考虑利三角函数式的值观察其构成特征，可考虑利三角函数式的值观察其构成特征，可考虑利用用用用““““1”1”1”1”的恒等变形，把欲求值的三角函数式用的恒等变形，把欲求值的三角函数式用的恒等变形，把欲求值的三角函数式用的恒等变形，把欲求值的三角函数式用条件正切来表示即先变形，后代入计算条件正切来表示即先变形，后代入计算条件正切来表示即先变形，后代入计算条件正切来表示即先变形，后代入计算在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：解：例例5 5，若，若tanA=tanA=　　　　, ,求求2sin2sin2 2A+sinA·cosA-A+sinA·cosA-3cos3cos2 2A A的值。

的值在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么分析：分析：属属““给值求值给值求值””型型本例若借助题目条件的特殊性来整体考虑使本例若借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件应比较简单些用条件应比较简单些在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么将将齐齐齐齐在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例题与练习例题与练习例例4 化简化简练习练习1 求求sin(2n +2 /3)·cos(n +4 /3)的的值(n Z)2 化简化简 cos[(4n+1) /4+x]+ cos[(4n-1) /4-x]当当n为奇数时，原式为奇数时，原式=-2cos( /4+x)当当n为偶数时，原式为偶数时，原式=2cos( /4+x)当当n为偶数时，为偶数时，当当n为奇数时，为奇数时，在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么补充补充: 已知已知 (1)试判断试判断 的符号；的符号；(2)化简化简作业在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：由解：由的的终边在第二、三象限或在第二、三象限或y轴和和x轴的的负半半轴上；上； 又又 ，，∴ ∴ 角的终边在第二、四象限，角的终边在第二、四象限，从而从而 的终边在第二象限的终边在第二象限 （（1）易知）易知（（2）原式）原式=在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【解题回顾】★证等式常用方法：证等式常用方法：（（1）左边证明到右边或右边证明到左边（从繁到简为）左边证明到右边或右边证明到左边（从繁到简为原则）原则）（（2）两边向中间证）两边向中间证（（3）分析法）分析法；；（（4）用综合法）用综合法★ ★证等式的思路要灵活，根据等式两边式子结构特证等式的思路要灵活，根据等式两边式子结构特点，寻求思路点，寻求思路.三、典型例题分析三、典型例题分析在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、典型例题分析三、典型例题分析【【解题回顾解题回顾】根据目标式子无】根据目标式子无ββ的特点，的特点，采用消元思想，采用消元思想，三角平方关系式消元是一重要方法三角平方关系式消元是一重要方法. .在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么四、四、sinθsinθ＋＋cosθcosθ，， sinθcosθ sinθcosθ ，，sinθsinθ－－cosθcosθ 三个式子中，已知其中三个式子中，已知其中一个式子的值，可以求一个式子的值，可以求出其余两个式子的值出其余两个式子的值 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么O Oy yx xO Oy yx x在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例2、:已知三、典型例题分析三、典型例题分析求 的值.【【解题回顾】解题回顾】sinθ与与cosθ通过公式通过公式sin2θ+cos2θ=1形成对形成对立与统一的整体，立与统一的整体，它们它们的和的和sinθ+cosθ、差、差sinθ-cosθ、积、积sinθcosθ、、商商sinθ/cosθ(即即tanθ)密切相联，如密切相联，如(sinθ+cosθ））2=1+2 sinθcosθ，，在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例6 6，若，若 ，， 则则 指导指导:条件是正余弦的乘积，结论要求的是差，要想条件是正余弦的乘积，结论要求的是差，要想联系起来只有平方，需注意的是联系起来只有平方，需注意的是 ∈ ∈( , ) 即即=1-2×1/8 =3/4∴ ∴在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么小结：小结：解决解决““给值求角给值求角””型问题，关键是利用给定型问题，关键是利用给定的三角函数值或者首先求出该角的某一个三角函数的三角函数值或者首先求出该角的某一个三角函数值，在某个范围内求出具体的角。

值，在某个范围内求出具体的角练习：练习：设设两两两两时时在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么•例3 已知α是三角形的内角，且sinα+cosα= ，求tanα的值在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 解答下列问题：（1）若 在第四象限，判断 的符号；（2）若 ，试指出 所在的象限， 并用图形表示出的取值范围.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、三角函数图像和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义值域奇偶性对称中心RR[-1,1][-1,1]R奇奇奇奇偶偶在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么函数y=sinxy=cosxy=tanx最值对称轴周期性单调性无最值无最值无无2π2ππ在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么y=sinxy=cosxy=tanx定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性周期性周期性对称性对称性RRR[-1,1][-1,1]奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数增区间：增区间：增区间：增区间：增区间：增区间：减区间：减区间：减区间：减区间：对称中心：对称中心：对称中心：对称中心：对称中心：对称中心：对称轴：对称轴：对称轴：对称轴：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3、正切函数的图象与性质、正切函数的图象与性质y=tanx图图象象 xyo定义域定义域值域值域R奇偶性奇偶性 奇函数奇函数周期性周期性单调性单调性在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 正切函数的性质：正切函数的性质： 6、对称性：对称中心7、渐进线：、渐进线：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么四、三角函数的图象和性质四、三角函数的图象和性质图象y=sinxy=cosxxoy-11xy-11性质定义域RR值 域[-1，1][-1，1]周期性T=2T=2奇偶性奇函数偶函数单调性o1、正弦、余弦函数的图象与性质在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么．．y=sinxyx1-1/2/2 2 2 o3/23/2 ．．．．．．．． 五点作图法五点作图法  ．．/2/2 3/23/2 2 2 oyx y=cosx．．．．．．1-1对称点：对称点：(k ,0)对称轴：对称轴：x=k + 2对称轴：对称轴：x=k 对称点：对称点：(k + ,0) 2T/2k k∈∈Z Zk k∈∈Z ZT/2在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么y=3sin(2x+ ／／６６)的图像的一条对称轴方程是（的图像的一条对称轴方程是（ ））（（A））x=0 (B)x=  ／／６６ (C)x=-  ／／６６ （（D））x=  ／／3B解：解：令令X= 2x+ ／／６６,则则y=3sinX,由此可知由此可知y=3sinX的图像的的图像的对称轴方程为Ｘ＝对称轴方程为Ｘ＝k   +   /2 ，，k  Z 2x+ ／／６＝６＝k   +   /2 ，，k  Z，解得，解得x=k   /2+  ／／６６, k  Z\y=3sin(2x+ ／／６６)的图像的对称轴方程为：的图像的对称轴方程为：x=k   /2+  ／／６６, k  Z令令k=0得得x=  ／／６６在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1 1、作、作y=Asin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)图象的方法图象的方法2 2 2 2、、、、y=Asin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)关于关于关于关于 A A A A、、、、ωωωω、、、、φφφφ的三种变换的三种变换的三种变换的三种变换法一：五点法法一：五点法列表取值方法：是先对列表取值方法：是先对列表取值方法：是先对列表取值方法：是先对ωx+φωx+φωx+φωx+φ取取取取 0 0 0 0，，，，π/2π/2π/2π/2，，，，ππππ，，，，3π/23π/23π/23π/2，，，，2π2π2π2π法二：图象变换法法二：图象变换法（（1）振幅变换（对）振幅变换（对A））（（2）周期变换（对）周期变换（对ωω））（（3）相位变换（对）相位变换（对φφ））( (二二) y=Asin(ωx+φ)) y=Asin(ωx+φ)的相关问题的相关问题在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3 3、求、求y=Asin(ωx+φ)+K y=Asin(ωx+φ)+K 的解析式的方法的解析式的方法4 4、、y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象的对称中心的图象的对称中心和对称轴方程和对称轴方程在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2 2、函数、函数、函数、函数 的图象（的图象（的图象（的图象（A>0, >0 ) A>0, >0 ) 第一种变换第一种变换第一种变换第一种变换: : 图象向左图象向左图象向左图象向左( ) ( ) 或或或或向右向右向右向右( ) ( ) 平移平移平移平移 个单位个单位个单位个单位 横坐标伸长横坐标伸长横坐标伸长横坐标伸长( )( )或缩短或缩短或缩短或缩短( )( )到原来的到原来的到原来的到原来的 倍倍倍倍 纵坐标不变纵坐标不变纵坐标不变纵坐标不变纵坐标伸长纵坐标伸长纵坐标伸长纵坐标伸长(A>1 )(A>1 )或缩短或缩短或缩短或缩短( 01 )(A>1 )或缩短或缩短或缩短或缩短( 0

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么5、对于较复杂的解析式，先将其化为此形式：、对于较复杂的解析式，先将其化为此形式：并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、对称中心、对称轴；会判断奇偶性对称中心、对称轴；会判断奇偶性在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例3、不通过求值，比较、不通过求值，比较tan1350与与tan1380的大小解：∵900<1350<1380<2700又∵ y=tanx在x∈（900，2700）上是增函数 ∴ tan1350

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例4 函数函数y=cos(2x+ )图象的一条对称轴图象的一条对称轴方程为方程为_____A) x=- (B) x=- (C) x= (D) x=解：解：2x+ =k 2x=k - x= - k=0 x=- 选选B例例5 函数函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的图象的图象向左平移向左平移 个单位，再将图象上所有点的个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来横坐标扩大到原来2倍（纵坐标不变）得倍（纵坐标不变）得函数函数y=sinx图象则图象则ω=____ φ=____解：解：y=sin2x =sin2(x- )=sin(2x- ) ω=2 φ=-在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么６７在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么思路思路:函数函数y=sin2x+acos2x可化为可化为要使它的图象关于直线要使它的图象关于直线x= -π/8对称对称,则图象在该处则图象在该处必是处于波峰或波谷必是处于波峰或波谷.即函数在即函数在x=-π/8时取得最大、时取得最大、小值小值.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例9、、(98年年)关于函数关于函数 有有下列命题：下列命题：①① 的表达式可改写为的表达式可改写为②② 是以是以 为最小正周期的周期函数为最小正周期的周期函数③③ 的图象关于点的图象关于点 对称对称④④ 的图象关于直线的图象关于直线 对称对称其中正确的命题序号是其中正确的命题序号是①① ③③在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（（3）连线：）连线：用用“五点作图法五点作图法”作出作出 y=A sin ( x +  ) 在长度为一个周期闭区间上的图象　　在长度为一个周期闭区间上的图象　　(2) 描点：描点：（（1）列表：）列表：0- A0A0y0   x + x +    xy( ,0) ( ,A) ( ,0) ( ,- A) ( ,0)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(1)(1)由最大值点（或最小值点）定由最大值点（或最小值点）定A A (2)(2)由两个关键点（特殊点）定由两个关键点（特殊点）定   和和   给出函数给出函数 y=Asin(y=Asin( x+x+ ) ) (A>0 , (A>0 ,    >0)>0)的图象的图象求其解析式的一般方法：求其解析式的一般方法：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 6、已知下图是函数、已知下图是函数 的图象的图象(1)求求 的值；的值；(2)求函数图象的对称轴方程求函数图象的对称轴方程.O x21–1–2y⑴⑴（2）函数图象的对称轴方程为即即在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么设函数设函数（（1 1）求）求 ；；（（2 2）求函数）求函数 的单调递增区间；的单调递增区间；（（3 3）画出函数）画出函数 在区间在区间[0[0，，π]π] 上的图象上的图象. .图象的一条对称轴是直线图象的一条对称轴是直线例例3在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 解析解析: :（（1 1））图象的一条对称轴图象的一条对称轴,是是Oyx在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（（2 2）） 函数函数 的单调递增的单调递增区间为区间为在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么x xy yπo o-1-11 1x∈[0,π]x∈[0,π]（（3 3））在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 5 ) 函数 (A>0,>0)的一个周期内的图象如图，则有( )(A)(B)(C)(D)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么yx03- 3yx02-2- 4如图：根据函数如图：根据函数 y= A sin (y= A sin (   x + x +    ) ) (A>0 , (A>0 ,    >0) >0) 图象图象求它的解析式求它的解析式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么yx0-44如图：根据函数如图：根据函数y = A sin (y = A sin (   x + x +    ) ) (A>0 , (A>0 ,    >0) >0) 图象图象求它的解析式求它的解析式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么yx02-2如图：根据函数如图：根据函数y = A sin (y = A sin (   x + x +    ) ) (A>0 , (A>0 ,    >0) >0) 图象图象求它的解析式求它的解析式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么yx012如图：根据函数如图：根据函数y = 2 sin(y = 2 sin(   x + x +    ) ) ( (   >0) >0) 图象图象求它的解析式求它的解析式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么yx012如图：根据函数如图：根据函数y = 2 sin(y = 2 sin(   x + x +    ) ) ( (   >0) >0) 图象图象求它的解析式求它的解析式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么yx　　根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：　　根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足： 使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且包括锐角．包括锐角．4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做，叫做实数实数 a 的反正弦，记作的反正弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ，，且且 ．．的意义：的意义：首先首先 表示一个角，角的正弦值为表示一个角，角的正弦值为a ，即，即．角的范围是．角的范围是在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角练习：练习：（（1）） 表示什么意思？表示什么意思？表示表示 上正弦值等于上正弦值等于 的那个角，即角的那个角，即角 ，，故故（（2）若）若，则，则x= （（3）若）若，则，则x=在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角的意义：的意义：首先首先 表示一个角，角的余弦值为表示一个角，角的余弦值为a ，即，即．角的范围是．角的范围是 ．．　　根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：　　根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足： 使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且包括锐角．包括锐角．yx 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做，叫做实数实数 a 的反余弦，记作的反余弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ，，且且 ．．在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4、已知三角函数值求角、已知三角函数值求角y=sinx , 的反函数 y=arcsinx , y=cosx, 的反函数y=arccosx,y=tanx, 的反函数y=arctanx,⑵已知角已知角x ( )的三角函数值求的三角函数值求x的步骤的步骤①先确定x是第几象限角②若x 的三角函数值为正的，求出对应的锐角 ；若x的三角函数 值为负的，求出与其绝对值对应的锐角③根据x是第几象限角，求出x 若x为第二象限角，即得x= ；若x为第三象限角，即得 x= ；若x为第四象限角，即得x=④若 ，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍⑴反三角函数反三角函数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么已知三角函数值求角已知三角函数值求角x（仅限于[0，2 π]）的解题步骤： 1、如果函数值为正数，则求出对应的锐角x0；如果函数值为负数，则求出与其绝对值相对应的锐角x0 ；2、由函数值的符号决定角x可能的象限角；3、根据角x的可能的象限角得出[0，2 π]内对应的角：如果x是第二象限角，那么可以表示为π－ x0如果x是第三象限角，那么可以表示为π＋ x0如果x是第四象限角，那么可以表示为2π－ x0在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么说明说明说明说明: : : :三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视.(1)(1)(1)(1)判断角的象限判断角的象限判断角的象限判断角的象限；；；；(2)(2)(2)(2)求对应锐角；求对应锐角；求对应锐角；求对应锐角； 如果函数值为正数，则先求出对应的锐角如果函数值为正数，则先求出对应的锐角如果函数值为正数，则先求出对应的锐角如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x x1 1；；；； 如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x x1 1. .(3)(3)(3)(3)求出求出求出求出(0(0(0(0，，，，2 2 2 2ππππ) ) ) )内对应的角内对应的角内对应的角内对应的角；；；； 如果它是第二象限角，那么可表示为－如果它是第二象限角，那么可表示为－如果它是第二象限角，那么可表示为－如果它是第二象限角，那么可表示为－x x1 1＋＋＋＋π π；；；； 如果它是第三或第四象限角，则可表示为如果它是第三或第四象限角，则可表示为如果它是第三或第四象限角，则可表示为如果它是第三或第四象限角，则可表示为x x1 1＋＋＋＋π π或－或－或－或－x x1 1＋＋＋＋2 2π π. .(4)(4)(4)(4)求出一般解求出一般解求出一般解求出一般解 利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果写出结果. . （三）已知三角函数值求角（三）已知三角函数值求角”的基本步骤的基本步骤1、基本步骤、基本步骤在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2、表示角的一种方法、表示角的一种方法——反三角函数法反三角函数法1 1 1 1、反正弦：、反正弦：、反正弦：、反正弦：这时这时sin(arcsina)=a 2 2 2 2、反余弦：、反余弦：、反余弦：、反余弦：这时这时cos(arccosa)=a 这时这时tan(arctana)=a 3 3 3 3、反正切：、反正切：、反正切：、反正切：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、两角和与差的三角函数1 1、预备知识：两点间距离公式、预备知识：两点间距离公式xyo●●2 2、两角和与差的三角函数、两角和与差的三角函数注：公式的逆用注：公式的逆用 及变形的应用及变形的应用公式变形公式变形在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3 3、倍角公式、倍角公式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、知识点二、知识点（一）（一）两角和与两角和与差公式差公式 （二）（二）倍角倍角公式公式 ★公式 =1-cos2α 2cos2α=1+cos2α 1+cos2α=2cos2α 1-cos2α=2sin2αtanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)注意1、公式的变形如：注意2、公式成立的条件（使等式两边都有意义）.Cα±β：S α±β：C2α：S 2α：T2α：Tα±β：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3、倍角公式、倍角公式注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程特别注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程特别返回和角公式的一个重要变形和角公式的一个重要变形在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么其其 它它 公公 式式(1)1、半角公式2、万能公式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么十二、两角和与差的正弦、余弦、正切：注意： 、 的变形式变形式变形式变形式以及运用和差公式时要会拼角拼角拼角拼角如：要要要要熟熟熟熟悉悉悉悉公公公公式式式式逆逆逆逆用用用用！！！！在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么十三、一个化同角同函数名的常用方法：如：例7、求 的值十四、二倍角公式：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么降降幂幂（（扩扩角角））公公式式升升幂幂（（缩缩角角））公公式式和差化积公式：和差化积公式：积化和差公式：积化和差公式：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例4．化简：．化简： 解法1：从“角”入手，“复角”化为“单角”，利用“升幂公式”在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例4．化简：．化简： 解法2：从“幂”入手，利用“降幂公式”在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例4．化简：．化简： 解法3：从“名”入手，“异名化同名”在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例4．化简：．化简： 解法4：从“形”入手，利用“配方法”在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三角解题常规三角解题常规宏宏观观思思路路分析差异分析差异寻找联系寻找联系促进转化促进转化指角的、函数的、运算的差异指角的、函数的、运算的差异利用有关公式，建立差异间关系利用有关公式，建立差异间关系活用公式，差异转化，矛盾统一活用公式，差异转化，矛盾统一在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么微微观观直直觉觉1、以变角为主线，注意配凑和转化；、以变角为主线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见、见平方想降幂，见“1±cosα”想升幂；想升幂；6、见、见sin2α，想拆成，想拆成2sinαcosα；；7、见、见sinα±cosα或或9、见、见cosα·cosβ·cosθ····，先运用，先运用sinα+sinβ=pcosα+cosβ=q8、见、见a sinα+b cosα，想化为，想化为 的形式的形式若不行，则化和差若不行，则化和差10、见、见cosα+cos(α+β)+cos(α+2 β )…，， 想乘想乘 想两边平方或和差化积想两边平方或和差化积在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么•总结：•多种名称想切化弦；遇高次就降次消元；• asinA+bcosA提系数转换；•多角凑和差倍半可算；•难的问题隐含要显现；•任意变元可试特值算；•求值问题缩角是关键；•字母问题讨论想优先；•非特殊角问题想特角算；•周期问题化三个一再算；•适时联想联想是关键！在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【【解题回顾解题回顾】】找出非特殊角和特殊角之间找出非特殊角和特殊角之间的关系的关系,这种技巧在化简求值中经常用到，这种技巧在化简求值中经常用到，并且三角式变形有规律即坚持并且三角式变形有规律即坚持“四化四化”：：多角同角化多角同角化异名同名化异名同名化切割弦化切割弦化特值特角互化特值特角互化在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么公式体系的推导：公式体系的推导：首先利用两点间的距离公式推导首先利用两点间的距离公式推导 ，然后利用换元及等价转化等思想方法，以然后利用换元及等价转化等思想方法，以 为中心推为中心推导公式体系导公式体系在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么sin²α+cos²α=1在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二【述评】二【述评】1 1、变为主线，抓好训练。

变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、、变为主线，抓好训练变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、三角函数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数三角函数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数表达式的变换（综合）等比比皆是在训练中，强化变化意识是关键但题目不可以表达式的变换（综合）等比比皆是在训练中，强化变化意识是关键但题目不可以太难较特殊技巧的题目不做立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的太难较特殊技巧的题目不做立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律2 2、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算）、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算） 寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧）寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧） 分析综合（由因导果或执果索因）分析综合（由因导果或执果索因） 实现转化。

实现转化在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1、值域与最值问题①利用有界性②化二次函数型③运用合一变换④换元在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么十七、求值域问题求值域问题求值域问题求值域问题：主要是将式子化成同角度同函数名同角度同函数名同角度同函数名同角度同函数名的形式，再利用正弦函数与余弦函数的有界性有界性有界性有界性求解例10、求函数 的值域有时还要运用到 的关系在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2、对称性问题3、奇偶性与周期性问题注意绝对值的影响化为单一三角函数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4、单调性与单调区间复后函数单调性注意负号的处理在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么5、图像变换问题①相位变换、周期变换、振幅变换②求函数解析式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例4:已知函数已知函数 求：求：⑴⑴函数的最小正周期；函数的最小正周期；⑵⑵函数的单增区间；函数的单增区间；解：解：⑴⑴⑵⑵ 应用应用：化同一个角同一个函数：化同一个角同一个函数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例4:已知函数已知函数 求：求： ⑶⑶函数的最大值函数的最大值 及相应的及相应的x的值；的值； ⑷⑷函数的图象可以由函数函数的图象可以由函数 的图象经过怎的图象经过怎 样的变换得到。

样的变换得到解：解：⑶⑶⑷⑷图象向左平移图象向左平移 个单位个单位图象向上平移图象向上平移2个单位个单位 应用应用：化同一个角同一个函数：化同一个角同一个函数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例5：已知：已知解：解：应用：应用：化简求值化简求值在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例1 化简：解: ∵∴原式=在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么练习题练习题在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例2 (1)已知求证：(2)已知求(1)证明：∴∴化简得：∴∵在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(2) 已知求解:∵∴∵∴∵∴∴在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：应用：化简求值应用：化简求值例例5.5.已知已知在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么∵∴∴在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2、解:由两边平方得:①2由两边平方得:②2由①2+②2得:即所以由②2 － ①2得:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么练习 已知求解: ∵∴∵∴∴∴在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例15. （06陕西理17）已知函数f(x)＝ sin(2x－ )＋2sin2(x－ ) (x∈R)．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求使函数f(x)取最大值的x的集合． 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：f(x)＝ sin(2x－ )＋ 1－ cos2(x－ )＝ sin(2x－ ) － cos(2x－ ) ＋ 1＝ 2 sin(2x－ ) ＋ 1．函数f(x)的最小正周期T ＝. 使函数f(x)取最大值的x的集合为{x|x=k  ＋ ,k ∈ Z }． 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 2、已知函数、已知函数f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a(a∈∈R,a常数常数)1）求函数）求函数f(x)的最小正周期；的最小正周期；（（2）若）若x∈∈[- , ]时，时，f(x)的最大值为的最大值为1，求，求a的值解：（解：（1））f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a = sinx+cosx+a =2sin(x+ )+a ∴∴f(x)最小正周期最小正周期T=2（（2））x [- , ] ∴∴x+ ∈∈[- , ] ∴∴f(x)大大=2+a ∴∴a=-1在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例3、求函数、求函数 的值域的值域. 解：解：又∵-1≤sinx≤1∴原函数的值域为：变题：变题：已知函数已知函数 （（a为常为常数，且数，且a＜＜0），求该函数的最小值），求该函数的最小值. 当当-2≤ ＜＜0时，时，当当 ＜＜-2时，时，在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3、、函数函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(a∈∈R)：：（（1）求）求g(a)；；（（2）若）若g(a)= ，求，求a及此时及此时f(x)的最大值的最大值解：（解：（1））f(x)=2(cosx- )2- 2-2a-1 -1≤≤cosx≤≤1 ① ①当当-1≤≤ ≤≤1即即-2≤≤a≤≤2时时 f(x)小小=- 2-a-1②②当当 >1 即即a>2时时 f(x)小小=f(1)=1-4a③③当当 <-1 即即a<-2时时 f(x)小小=f(-1)=1在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（（2））a=-1 此时此时 f(x)=2(cosx+ )2+ f(x)大大=53、、函数函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(a∈∈R)：：（（1）求）求g(a)；；（（2）若）若g(a)= ，求，求a及此时及此时f(x)的最大值的最大值在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1、已知、已知a>0函数函数y=-acos2x- asin2x+2a+bx∈∈[0, ]，若函数的值域为，若函数的值域为[-5,1]，求常数，求常数a,b的值解：解： 3a+b=1 ∴∴ a=2 b=-5 b=-5在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3、、函数函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(a∈∈R)：：（（1）求）求g(a)；；（（2）若）若g(a)= ，求，求a及此时及此时f(x)的最大值的最大值。

解：（解：（1））f(x)=2(cosx- )2- 2-2a-1 -1≤≤cosx≤≤1 ① ①当当-1≤≤ ≤≤1即即-2≤≤a≤≤2时时 f(x)小小=- 2-a-1②②当当 >1 即即a>2时时 f(x)小小=f(1)=1-4a③③当当 <-1 即即a<-2时时 f(x)小小=f(-1)=1在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（（2））a=-1 此时此时 f(x)=2(cosx+ )2+ f(x)大大=53、、函数函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(a∈∈R)：：（（1）求）求g(a)；；（（2）若）若g(a)= ，求，求a及此时及此时f(x)的最大值的最大值在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例12.（2006年天津文9）已知函数f(x)＝asinx－bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x＝ 处取得最小值，则函数y＝f( －x)的对称中心坐标是____________． 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：由 (a－b)＝－ 化简得a＝－b．所以f(x)＝ asin(x＋ )，a＜0．从而f( －x)＝ asinx，其对称中心坐标为(k，0)，k∈Z.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么平平 面面 向向 量量 复复 习习向量的三种表示向量的三种表示表示表示运算运算向量加向量加法与减法法与减法向量的相关概念向量的相关概念实数与实数与向量向量 的积的积三三 角角 形形 法法 则则平行四边形法则平行四边形法则向量平行、向量平行、垂直的条件垂直的条件平面向量平面向量的基本定理的基本定理平平面面向向量量向量的数量积向量的数量积向量的应用向量的应用在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么几何表示 : 有向线段有向线段向量的表示字母表示 坐标表示 : (x，，y)若若 A(x1,y1), B(x2,y2)则则 AB = (x2 －－ x1 , y2 －－ y1)返回返回在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.向量的概念:2.向量的表示:3.零向量:4.单位向量:5.平行向量:6.相等向量:7.共线向量:既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量1.有向线段有向线段 2.字母字母 3.有向线段起点和终点字母有向线段起点和终点字母长度为零的向量长度为零的向量(零向量与任意向量都平零向量与任意向量都平行行长度为长度为1个单位的向量个单位的向量1.方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量2.零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量平行向量就是共线向量平行向量就是共线向量在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么向量的模（长度）向量的模（长度）1. 设设 a = ( x , y ),则则2. 若表示向量若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别的起点和终点的坐标分别 为为A A(x1,y1)、、B (x2,y2) ，则，则返回返回在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例1 1：思考下列问题：思考下列问题：：1 1、下列命题正确的是、下列命题正确的是（（1 1）共线向量都相等）共线向量都相等 （（2 2）单位向量都相等）单位向量都相等（（3 3）平行向量不一定是共线向量）平行向量不一定是共线向量（（4 4）零向量与任一向量平行）零向量与任一向量平行四、例题在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、第一层次一、第一层次知识回顾知识回顾：：1.向量的加法运算OAB三角形法则OABC平行四边形法则坐标运算设： 则 “首尾相接首尾连”在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2.向量的减法运算向量的减法运算1）减法法则减法法则：OAB2）坐标运算坐标运算 设： 则 设 则 思考：思考：若 非零向量 ，则它们的模相等且方向相同。

同样 若：“同始点尾尾相接,指向被减向量”一、第一层次一、第一层次知识回顾知识回顾：：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.向量的加法运算向量的加法运算ABC AB+BC=三角形法则三角形法则OABC OA+OB=平行四边形法则平行四边形法则坐标运算坐标运算:则则a + b =重要结论：重要结论：AB+BC+CA= 0设设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)( x1 + x2 , y1 + y2 )AC OC在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么实数实数λ与向量与向量 a 的积的积定义定义：：坐标运算：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！其实质就是向量的伸长或缩短！λ λa a是一个是一个是一个是一个向量向量.它的它的它的它的长度长度长度长度 | |λ λa a| =| =|λ| |a|；；它的它的它的它的方向方向方向方向(1) (1) 当当当当λ≥0λ≥0时时时时, ,λ λa a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向方向方向方向相同相同相同相同；；；；(2) (2) 当当当当λ λ＜＜＜＜0 0时时时时, ,λ λa a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向方向方向方向相反相反相反相反. .若若a a = (x , y), 则则λ λa a = λ (x , y)= (λ x , λ y)返回返回在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么•平面向量的数量积平面向量的数量积•（（1））a与与b的夹角的夹角： •（（2）向量夹角的范围）向量夹角的范围：• （（3）向量垂直）向量垂直：[00 ，，1800]abθ共同的起点共同的起点aOABbθOABOABOABOAB在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（（4）两个非零向量的数量积：）两个非零向量的数量积： 规定：规定：零向量与任一向量的数量积为0a · b = |a| |b| cosθ几何意义：几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积AabθBB1OBAθbB1aOθBb(B1)AaO若若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )则则a · b= x1 · x2 + y1 · y2在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么5、数量积的运算律：、数量积的运算律：⑴⑴交换律：交换律：⑵⑵对数乘的结合律：对数乘的结合律：⑶⑶分配律：分配律：注意：注意： 数量积不满足结合律数量积不满足结合律返回返回在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3.平面向量的数量积的性质平面向量的数量积的性质 (1)a⊥⊥b  a·b＝＝0(2)a·b＝＝±|a|·|b|(a与与b同向取正，反向取负同向取正，反向取负) (3)a·a＝＝|a|2 或或 |a|＝＝√a·a(4) (5)|a·b|≤|a||b| 4.平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示 (1)设设a＝＝(x1，，y1)，，b＝＝(x2，，y2)，，则则a·b＝＝x1x2+y1y2，，|a|2＝＝x21+y21，，|a|＝＝√x21+y21，，a⊥⊥b <=><=>x1x2+y1y2＝＝0 (2)(3)设设a起点起点(x1，，y1),终点终点(x2，，y2) 则则在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么5、重要定理和公式：、重要定理和公式：　　　　　　⑵⑵⑶⑶设设则则⑷⑷设两点设两点则则⑸⑸设设则则⑴⑴设非零向量设非零向量则　则　在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、平面向量之间关系向量平行向量平行(共线共线)条件的两种形式条件的两种形式:向量垂直条件的两种形式向量垂直条件的两种形式:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（（3）两个向量相等的条件是两个向量的）两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等坐标相等. 即即: 那么那么 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3、平面向量的坐标运算、平面向量的坐标运算—知识回忆知识回忆（（1））e1、、e2不共线，不共线，a=λ1e1+λ2e2 (存在一对存在一对实数实数λ1，λ2) (λ1，λ2唯一的唯一的)2））a=xi+yj (x,y)为为a的直角坐标，的直角坐标，a=(x,y)（（3））①①若若a=(x1,y1) b=(x2,y2)，， 则则a±b=(x1±x2,y1±y2) ② ② A(x1,y1) B(x2,y2) AB=(x2-x1,y2-y1) ③ ③若若a=(x,y)则则λa=(λx,λy) ④ ④ a=(x1,y1) b=(x2,y2)(b≠≠0) a∥∥b x1y2-x2y1=0知知识识回回忆忆典典例例分分析析例例5例例6回目录在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例题解这个方程组得k=-(1/3), λ=-(1/3),即当k=-(1/3)时， ka+b与a-3b平行，这时ka+b=-a/3+b.因为λ=-(1/3)<0,所以-a/3+b与a-3b反向 在本例中，也可以根据向量平行充分条件的坐标 形式，从(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,先解出 k=-(1/3)，然后再求λ注注注注在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2 设设a，，b是两个不共线向量是两个不共线向量AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、、B、、D共线则共线则k=_____(k∈∈R)解：解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb 2=2λ λ=-1 k=-λ k=-1 ∴∴k=-1∴知知识识回回忆忆典典例例分分析析例例2例例3例例42、实数与向量的积、实数与向量的积—典例分析典例分析-例例2本页结束回目录在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1．与平面几何的结合：．与平面几何的结合： ABDCABDC四边形四边形ABCD是菱形是菱形四边形四边形ABCD是矩形是矩形在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么ABCOABCDMABCOM外心外心重心重心重心重心在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第一层次第一层次例题分析例题分析类型四：三角形中的向量类型四：三角形中的向量问题问题重要结论：重要结论：ABCO在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第一层次第一层次例题分例题分析析类型四：三角形中的向量类型四：三角形中的向量问题问题在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么练习练习1：判断正误，并简述理由 √ ））( √ ））( √ ））( × ））( × ））( × ））在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么平平 面面 向向 量量 复复 习习2. 设设AB=2(a+5b)，，BC=  2a + 8b，，CD=3(a  b)，，求证：求证：A、、B、、D 三点共线三点共线 分析分析要证要证A、、B、、D三点共线，可证三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ解：解：∵∵BD=BC+CD=  2a + 8b+ 3(a  b)=a+5b∴∴AB=2 BD且且AB与与BD有公共点有公共点B∴∴ A、、B、、D 三点共线三点共线AB∥∥ BD。