第十五章薄板的振动问题(徐芝纶第四版).doc

第十五章 薄板的 振动问 题第一节薄板的自由振动第二节US边简支板的自由振动[H] S] E[H] S] E第三节两对边简支板的自由振动[H] S] E[H] S] E形薄板的自由振动[H] S] E[H] S] E第五节 用差分法求自然频率 第六节 用能量法求自然频率第七节薄板的受迫振动第五章薄板的振动问题第一节薄板的自由振动关于薄板的振动问题，这里将•只讨论薄板在 垂直于中面方向的所谓横向振动，因为这是工程 实际中的重要问题薄板在平行于中面方向的所谓纵向 振动，由于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难以处理，所以不加讨论首先来讨论薄板的自由 振动O单自由度振动的例子 [H] S] E薄板自由振动的一舟殳问题： 在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板， 受到干扰力 的作用而偏离这一位置，当 干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动1) 试求薄板振动的频率，特别是最低频 率2) 设已知薄板的初始条件，即已知初挠 度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度当然，如果求得薄板在任一瞬日寸的挠度, 就易求得薄板在该瞬时的内力设薄板在平衡位置的挠度为叫=we(xf y), 这时，薄板所受的横向 静荷为q = q(x9 y)o 按照薄板 的弹性曲面微分方程，我们有:DV4 叫=q设薄板在振动过程中的任一瞬时啲挠度为w, =We(xf y), 则薄板每单位面积上在该瞬时所受的 弹性力，将与横向荷载q及惯性力⑷成平衡，即DV4wt =q + qi注意薄板的加速度是 -2o wtdt2Bl 3 E因而每单位面积上的惯1生力a2wtq、=-m——dt2则前式可以改写为其中加为薄板每单位面积内 的质量（包括薄板本身 的质量和随薄板振动的质量）,DV4wr = q + qx = q-m将上式与下式相减DV4 叫=q得到DV4(wz-W)=-m^Le dt2由于W©不随日寸间改变，所以上式可以改写成为DV4(wz - we)=H] aj eH] aj e在以下的分析中，为了简便，我们把薄板的挠 度不从平面位置起，而从平衡位置量起。

于是薄板 在任一瞬时的挠度为W = W -W * 而上式成为这就是薄板自 由振动的微分方程H] aj e现在来试求微分方程的如下形式的解答oo co叫=^(Ak coscDkt+Bk sin69kt)Wk(x, y)k=\ k=\在这里，薄板上每一点（兀，y）的挠度，被表示成为 无数多个简谐振动下的挠度相叠加， 而每一个简谐 振动的频率是少斤，另一方面\薄板在每一瞬时f的 挠度，则被表示成为无数多种振形下的挠度相叠加, 而每一种振形下的挠度是由振形函数W&x, y）表示 的为了求出各种振形下的振形函数%, 以及与之 相应的频率①我们取w = (Acos创 + BsiiW)W(兀 y)代入自 由振动微分方程Z9V vp = —m ar2然后消去因子(Acose/十Bsinef), 得出所谓振形微 分方程▽驻―业w = 0D[K 3 E如果可以由这一微分方程 求得的 满足边界条件的 非零解，即可由相应的关系式（对任意的一点（兀刃 都成立） d V4WCD — m W求得相应的频率①自由振动的频率，称为自然频率或完全决定于薄板的有特性，而与夕卜来因素无关实际上，只有当薄板每单位面积内的振动质 量为常量时，才有可能求得函数形式的解答。

这 时，命a）2m 4=r贝!J振形微分方程v4w £Lmw=oD简化为常系数微分方程v4w - z4vr = o现在就可能比较简便地求得W的满足边界条件的. 函数形式的非零解，从而求得相应的Y值，然后再用式CO^YYl 4D =7求出相应的频率H] 3] E4各求 出 的另卩些振形 函 数及相 应的 频率取为“斤及 co”代入表达式oo S叫=^2(Ak coscokt + Bk sincokt}Wk (x, y)k=\ k=\及叭就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数4加（w）=o = w°（x」）设初始条件为则由上式得co工 w°（x』）k=\工城畋％(兀丿)“0(兀刃◎ CSJ 3 E于是可见，为了求得4 及B , 须将已知的9 m m9初挠度及初速度仏展为 W 的级数，这在数学处0 0 m 9理上是上匕较困难的因 此，只有在特殊简单的情况下，才有可能 求得薄板自由振动的完整解答， 即任一瞬时的挠 度在绝大多数的情况下，只可能求得各种振形 的振形函数及相应的频率但是，这也就可以解 决工程上的主要问题了第二节US边简支的矩形薄板的自由振动当矩形薄板的边均为简支边时,可以较简单地得出自由振动的完整解答。

取振形函数为TT7 ・ k7UX ・ YlTiyW = sin sin a b其中k及“为整数，可以满足边界条件代入振形 微分方程V4W - z4W = 0得到4 ・ k7ux . n7U\> 门-y sin sin—- = 0a b[K 3 E为了这一条件在薄板中面上的所有各点都育2 满足，电就是在兀和y取任意值时都育皂满足，必须 有—宀0得到/4=7T4[H] 3J E[H] 3J E得出求自然频率的公式CD1P22命£及〃取不同的整数值，可以求信相应于不同振形 的自然频率CD -711[H] 3J E[H] 3J E当薄板以这 _ 频率振动时，振形函数为TT7 ・ k7CX ・ YlTiy% = sin vsin Vk7ix ・ n7ry——sin-a b而薄板的挠度为w =(4? cos coknt + Bkn sin coknt) sin[H] 3J E-x当p = 〃 = l时，得到薄板的最低自然频率=7U1% =亡与少匕相应，薄板振动的振形函数为TJZ ・刃‘・兀yWn = sin ——sin — a b而薄板在兀方向和y方向都只有一个正半弦波最大挠度发生在薄板的中央(x = a/2f y = b/2')o回■ [E当k = 2而1时，自然频率为相应的振形函数为TT7 ・ 271X ・ 7TVW?l = sin sin —a b薄板在无方向有两个正弦半波，而在y方向只有一个 正弦半波。

对称轴兀=a/ 2是一根节线（挠度为零的 线，亦即在薄板振动日寸保持静止的线）O 振形如图 所示，图中 的有阴 线部分及空 白 部分表示相反方向 的挠度C[H] S] E薄板的'皂挠度为一 ££ （饥—+ 九 sin必sin 乎sin 罟为了求得4川及须将已知的初挠度w°及初速 度勺展为W川的级数co 00Wo=2L2L Cknk=\ n=\.k7rx . n7rysin sin a b00 sk=\ n=\H] [◄] E— 4 rb ・ k7rx . n7vy . .C-=^JoJo^sin^sm^dxd^4 p rb ・ kwc .—— vn sin sinab^ J ay根据初始条件为(w)“ = w°(s)'Qw、\ 丿 f=o= v0(x9y)w = H九k=\ n=lkn%cos® / H———sin cohlt) sin%k7ix . n7iy sm——a b当矩形薄板的边均为简支边时,可以较简单地得出自由振动的完整解答H] [◄] E第三节两对边简支的矢巨形薄板的自由振动取振形函数为W = Yk sink7DCH] 3] EH] 3] E其中人是待定的y的函数W可 以满足该两简支边的边界条件。

将其代入振形微分方程v4w - z4vr = o得出常微分方程H] 3] E(kF-r2 丫* =o丿回ai bd4 Yk lk2ju2 ^Ykdy4 a2 dy2它的特征方程是=04 2k27T2 9r 厂+a而这个代数方程的四个根是k27T2 2—+ XaH] 3] EH] 3] E在大多数的情况下，y2>^27i2/h2, 而上面所示的H] 3] EH] 3] E上述四个根成为土 a及土 ip, 而微分方程的解 可写为Yk = C{ chcty + C2 shay + C3 cosfty + C4 sinPy从而得振形函数的表达式W =(G chay + C^shocy + C3 cos fy + C4 sin fiy) sin a在少数的情况下，尸 ＜以兀2人2, 而上面所示 的四个根渚B是实根，取正实数“JV ak27T2ak27T2 21 2 2k 7i CDCTmF [R] a EH] 3] Ekjcx从而得振形函数的表达式W = (Cj chocy + C^shay + C3^ch /3y y + C4y sh 0' j)sin振型函数应满足边界条件不论在哪一种情况下，都可由y = 0及y = b处Z1S的四个边界条件得出C］至C4的一组四个齐次线‘I生方程。

相应于薄板的任何振动，振形函数“必须具 有某一个非零解，因而系数q至q不能都等零 于是可以命上述齐次线性方程组的 系数行列 式等于零，从而得到一个计算自然频率的方程例如，设y = 0的一边为简支边，而y = b的一边为则有如下的(W)y = ° = 0个边界条件（w）g =°将W的表达式代入(y2>k2n2/a2\ 得到C］至C\的齐次 线性方程组,q+c2 =0a2C}-fl2=0chabQ +sha/?C2 +cos/^?chaZ?C3 +sin jSbchabC^ = 0 ashabQ +acha/?C9 -0sin/3bC3 + /3cos/3bCA = 0[ffl ■ E命这一方程组的系数行列式等于零，展开以后，进 行一些简化，最后可得出thab th 0b =0 ab 0b上列方程可以改写为thbJX +加2龙2/^2 thZ?-^//2 -m27r2 /a2 °b^/2 +m27V2/a2 -m27r2/a2求得护的实根，即可求得自然频率（D2^ = r J—用如上方法求得的最低自然频率，可以表示 成为依赖于边长比值a/ b算得的系数k值，并以表 来表示这样进行计算，虽然可以求得自然频率的精 确值，但代数运算和数值计算都是比较繁的。

因 此，在工程实践中计算耒巨形板的自振频率，特另JJ 是最低自然频率，不论边界条件如何，都宜用差 分法或能量法。