第一周任务：椭圆.docx

椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程第一定义到两定点F、F的距离之和等于常数2 a，即I MF I +1 MF 1— 2a ( 2a >1 FF 1)1 2 1 2 1 2第二定义MF s 八与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即卩 -e (0 < e < 1)d范围—a < x < a 且-b < y < b—b < x < b 且—a < y < a顶点A (-a,0 )、A (a,0 )1 2B(0,-b)、B (0, b)1 2A (0, —a)、A (0, a)1 2B (—b,0 )、B (b,0 )1 2轴长长轴的长—2 a 短轴的长—2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦占八、、八、、F (—c,0 )、F (c,0 )1 2F (0, —c )、F (0, c)1 2焦距离心率准线方程焦半径左焦半径：MF| = a + ex右焦半径：MF = a - ex下焦半径：MF = a + ey1 0上焦半径：MF| = a - ey焦点三角形面积通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HH'= ba（焦点）弦长公式A(x y ), B(x y )， AB = J1 + k21, 1 2, 2x 一 x =、/l + k2 J(x 一 x )2 一 4x x1 2 h 1 2 1 2、椭圆的定义平面内，与两个定点耳,F2的距离之和等于常数2a （2a> FF ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个12 1 2定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,用集合表示为拓展：当2a=2c时，点的轨迹是线段 当2a<2c时，电的轨迹是不存在（1）第一定义一一把椭圆从圆中分离椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异•它从圆中带来了中心和定长，但又 产生了 2个新的定点一一焦点.准确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论 的基础.【例1】若点M到两定点F1（0，-1），F2（0，1）的距离之和为2,则点M的轨迹是 （ ）A.椭圆 B .直线FF C .线段FF D.线段FF的中垂线.1 2 1 2 1 2【解析】注意到I件FJ = 2,且\MF\ + |MF| = 2,故点M只能段F£2上运动，即点M的轨迹就是线段FF，选C.1 2【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件，那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离 忽视这一点，就会错误地选A.（2）勾股数组一一椭圆方程的几何特征椭圆的长、短半轴a、b和半焦距c,满足厂二丁- ：：.在a、b、c三个参数中，只要已知或求出其中的任意两个，便可以求出第3个，继而写出椭圆方程和它的一切特征数值. 椭圆方程的标准式有明显的几何特征，这个几何特征就反映在这个勾股数 说到底是解这个勾股数组. C匕所谓解椭圆0），圆P过P(X,y)点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.A(-3,0)⑶0) X【例2】已知圆A : （x + 3）2 + y 2 = 100，圆A内一定点B （3,【解析】如图，设两圆内切于C,动点P (x, y), 则 A、P、C 共线.连 AC、PB,V |PA| + |PB| = |AC| = 1° 为定长，而A (-3, 0)，B(3，0)为定点，.••圆心P的 轨迹是椭圆.且a = 5, c = 3,「. b = 4 .所求轨迹方程为：x 2 y 2+ = 125 16(3) 第二定义一一椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程，那么椭圆的第二定义则给椭圆及其方程给出 了深刻的解释•根据这个解释，我们可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题【例3】已知椭圆x2 + y 2 = 1，能否在此椭圆位于y轴左侧部分上找一点P,使它到左准线的距离 4 3是它到两焦点F1，F2距离的比例中项.— 1【解析】由椭圆方程知：a = 2,b =勇,c =1,e = .椭圆的左准线为：l: x = -4.设存在椭圆上一点P (x, y)=厂2,则有:(x<0)符合所设条件•作PH丄1于H.令|PH I2 = I PF |・|PF In d 2 = rr 但是1 2 1 21 1r = ed = d, r = 2a 一 r = 4 ——d1 2 2 1 2125 =.・.d2 = -d •(4--dd = 8.又d = x + 4,「. x = 8-4 =-里2 ( 2 丿 5 5 :这与x e [-2,2]矛盾.故在椭圆左侧上不存在符合题设条件的点.•通法特法妙法(1) 解析法一一解析几何存在的理由解析法的实质是用代数的方法学习和研究几何.在解析几何的模式下，平面上任意一条曲线都唯一 对应着一个二元方程.反之，根据任意一个二元方程，都可以用描点法唯一地画出它所对应的曲线因此, 可以将几何问题转化为解方程、方程组或不等式.【例4】点P (x，y)在椭圆4x-2)2 + y2 = 4上，则f的最大值为 c.-护A.1B.-1【解析］设-=k n y = kxx(1)方程⑴表示过椭圆(x一2)+宁=1上一点P (x，y)y 和原点的直线•显然当直线在椭圆上方且与椭圆相切时，k =丄x最大•将方程（1）代入椭圆方程得：由于直线与椭圆相切，故方程（2）应有相等二实根•由A = 256 一 48 （4 + k2 ）= 0 n k2 = 3.vk>0,A取k =扌 ，选 D.【评注】直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根，因而可转化为其判别式 为零处理；同理，直线与曲线相交要求相应的判别式大于零，相离则要求这个判别式小于零（2）导数法一一把方程与函数链接由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算，所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算，又能达到 解题目的的好方法，导数法就是最为明显的一种.【例5】求证：过椭圆—+啟=1上一点M （x , y ）的切线方程为：F +护=1a 2 b 2 0 0 a 2 b 2【证明一】（解析法）设所求切线方程为：y-y° = k（x一x0），代入椭圆方程:二a2b2.化简得:b 2 x 2 + a 2 （kx - kx + y0 0•・•直线与椭圆相切，・•・方程（1）有相等二实根•其判别式△=0，即:4k2a4 (kx - y0 0化简得：k2 C2 - x2丿0-4a2 (k 2a2 + b2) (kx0 - y02kx y + b2 - y2 = 0 (2)0 0 0•.•点M (x ,y )在椭圆上，・•・b2x2 + a2y2 = a2b2，方程(2)之判别式0 0故方程（2）—x 2 )(b 2 — y 2 )= 4 x 2 y 2 — 4 C 2b 2 — b 2 x 2 — a 2 y 2 + x 2 y 2 )= 00 0 00 0 000亦有相等二实根，且其根为：x y0 0—a 2 - x 20b 2 x y b 2 x y0 0——=—— a 2b 2 - b 2x2 a 2 y 20 0b 2 x0 .则切线方程为:a2 y0b 2 xy-y =- 一(x-x丿.再化简即得: 0 a 2 y 00x 2 y 2【证明二】（导数法）对方程一 + —= 1两边取导数:a 2 b 22 x 2 y - y b 2 x r b 2 x+ = 0n y =- nk = - 0.则切线方程为：a 2 b2 a 2 y a 2 yy-y =-吆（x-x）.再化简即得：亍+誓=1.a 2 y 0 a 2 b 20【评注】（1）两种证法的繁简相差多大，一看便知（2） 这个切线方程的实际意义很大•在有关运算中直接引用这个公式是十分省事的.（3） 几何法一一为解析法寻根朔源减少解析计算的又一个重要手段，是在解题中充分运用平面几何知识【例6】（07.湖南文科.9题）设F,1其右准线上纵坐标为、■'3c（c为半焦距）的点’且1 Fi©曰F2P|，【解析】如图有P \a2J3c\,设右准线交x轴于H, I c 丿| FP 1=1 FF 1= 2c,且|PH| = j3c,故ZPF H = 60°2 1 2 I I 2FH2a 2=c, OH = — = 2c n e 2c选D.则椭圆的离心率是（x 2 y 2F2分别是椭圆ar+坯=1 （a >b >0）的左、右焦点,【例7】已知椭圆鼻+ y 2 = 1和圆C — a b + y 2 = 14( )总有公共点，则实数a的取值范围是【解析】如右图椭圆兰+ y 2 = 1的中心在原点,4且长、短半轴分别为a=2, b=1 ；圆6 - a上+ y2 = 1的圆心为C （a, 0）且半径R=1.显然，当圆C从椭圆左边与之相切右移到椭圆 右边与之相切时都有公共点.此时圆心的横坐标由-3增加到3,故a£ [-3,3〕，选C.在解析几何解体中引入平面几何知识包含两个重要方面，一是恰当地运用平面几何知识及其推理功 能，二是利用图形变换去进行数量的分析与计算.（4）转移法——将生疏向熟知化归做数学题如果题题都从最原始的地方起步，显然是劳神费力且违反数学原则的•不失时机地运用前 此运算成果就成为数学思想的本质特点•而转移法正是这一思想的具体体现.【例8】（06•全国一卷.20题）在平面直角坐标系xOy中，有一个以F （0,-点）和F （0, 2亍）为焦点,1 2离心率为丁的椭圆•设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C 上, C在点P处的切线与x,y轴的 交点分别为A,B且向量OM=OA+OB.试求点M的轨迹方程【分析】点P在已知轨迹（椭圆在第一象限的部分）上，是动点；点M在未知轨迹上，且随着点 P的运动而运动，是被动点.故本例是典型的国际已知轨迹求未知轨迹，适合用坐标转移法解之此外，过 椭圆上一点P的切线方程，可以直接运用例5的结论.【解析】椭圆的半焦距c = <3，离心率e = - = £,a 2长半轴a = 2,短半轴b=l.又椭圆的焦点在y轴上，故其设点P的坐标为(x0, y0)(x0, y0 0),那么苓+ x0 =1 (1)过点P的椭圆切线方程为： 翠+ XX = 1 (2)4 0在方程(2)中，令y=0，得x = 一，有AI— ,0x (x；再令x = 0,得y ，有BI 0, 土丿 y0 I y0丿设点M的坐标为(X, y).由OM=OA+OBn(xy ）=r 1 jr 4 ]r 1 4、—,0+0,——— , 1 x丿（y丿（x y丿0 ' 01x , 1 44，代入（1）： 一 + 一 =14 x 2 y 2y —0 yX =——X/. \ 04y =—yJ 0*.*x丘（01）, y w（0,2）,・：所求点m的轨迹方程是：—+ — —1（x 1，y 2）.0 0 x 2 y 2转移法求轨迹方程的基本步骤是：(1)在已知轨迹上任取一点M (x0。