必修5第二章《数列》基础知识总结.doc

数列基础知识总结一、要点透视数列是高中代数的主要内容，同是数列与高等数学联系密切在内容上本章包括数列的概念、等差数列、等比数列的有关概念、性质、通项、前n项和等等差数列与等比数列是两个特殊数列，是本章的核心由于数列可以看成是正整数集或其子集上的函数，因此，要注意用函数的观点和方法研究数列二、知识复习（1） 有关概念：1°数列：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做数列的项2°数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式3°数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前n项，且任一项an与它的前一项an-1（或前n项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式4°若数列{an}的前n项和为Sn则 （2）等差与等比数列  等差数列等比数列  定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列即an-an-1=d，公差d可为正数、负数和零（A.P） 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列即，公比q是一个不等于零的常数。

G.P） 通项公式（来源：定义，迭加，迭代）（证明）(定义,迭乘，迭代）  中项 若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且2A=a+b若a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G2=aba, b是同号）  前n项和（倒序相加）（错位相减）     性质（1）（2）（3）若{an}为等差数列，则an，a2n，a3n也为等差数列（4）若{an}为等差数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等差数列（5）若{an}，{bn}都是等差数列，则{an+c}，{kan}，{an+bn}也是等差数列（其中k、c为任何常数）(1)（2）（3）若{an}为等比数列，则an，a2n，a3n也为等比数列4）若{an}为等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等比数列5）若{an}，{bn}都是等比数列，则{kan}（k≠0），也是等比数列    等价条件（1）（常数）{an}为等差数列（2）（k、b不同时为0的常数）{an}为等差数列（3）不同时为0的常数）为等差数列（4）为等差数列（1）（q≠0常数）{an}为等比数列2）常数）{an}为等比数列3）（）{an}为等比数列。

设元技巧三数等差：四数等差：三数等比：四数等比：联系真数等比，对数等差; 指数等差，幂值等比3）数列求和及数列实际问题1．数列求通项与和（1）求通项常用方法：观察，归纳，叠加，叠乘，数列前n项和Sn与通项an的关系式：an= 2）数列前n项和①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)；12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2；②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：、=－等⑤错位相减法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法 其中是等差数列， 是等比数列，记，则，… 例如：求这个数列的前n项和：⑥并项求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn⑦通项分解法 （4）数列有关结论1.由Sn求an，an={ 注意验证a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要单独列出。

一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式；2.等差数列 ；3.等比数列 4.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.5.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；或者由利用二次函数的性质来确定的值，进而求出前n项和最值6.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；7.等差数列中, am=an+ (n－m)d, ; 等比数列中，an=amqn-m; q=;8.当m+n=p+q（m、n、p、q∈N＊）时，对等差数列｛an｝有：am+an=ap+aq；对等比数列｛an｝有：aman=apaq；9.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}(k、b、a是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；10.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列；11.对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶—S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈N*）；12.若一阶线性递归数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、典型例题例1．数列中，，求该数列的通项公式。

解：由有： 故数列是以为公比的等比数列，且首项为 评注：一般地，形如为非零常数，，可变形为，其中，则是一个公比为的等比数列例2．设是首项为1的正项数列，且，则其的通项公式 解：， 即 是各项为正的数列，, 评注：本题先得到，再采用连乘，从而得到数列的通项当然，若将变形为，视为整体，则，，，…，，…构成一个常数列，故，例3．已知等差数列前三项为，4，，前n项和为，若(1)求a及k的值；(2)求解：(1)设等差数列为，则，，由已知有，，公差，代入得即 （舍去），(2) 由例4、设数列的前n项和，设，求证数列是等比数列解：当时，，当时，，，，而,数列是以为首项，为公比的等比数列习题1.已知数列的前n项和为,求数列的通项公式.2.已知，求及．3.已知， 求及．4.求和.5.数列1,3,5,7,…,(2n－1)+的前n项之和为Sn，则Sn等于( )(A)n2+1－ (B)2n2－n+1－(C)n2+1－ (D)n2－n+1－6.求和: .7.等差数列{a n}中，已知，，a n =33，则n为（ ）(A)48 (B)49 (C)50 (D)518. 在等比数列中,,则9.和的等比中项为( ) 10. 在等比数列中，，，求，11.在等比数列中,和是方程的两个根, 则( ) 12.已知等差数列满足,则有( ) 13. 已知数列的前项和，求证:数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式14. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差.15. 在等比数列，已知，，求.16.设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列{}的前n项和，求Tn.17.三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数.18. 在5和81之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，求这两个数的和.19. 设{an}是等差数列，，已知b1+b2+b3=，b1b2b3=，求等差数列的通项an.20. 已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取最大值的正整数n是( )(A)4或5 (B)5或6 (C)6或7 (D)8或9答案1. 当时，,当时，,经检验 时 也适合,∴2. 解：∵,∴ ,∴设 则是公差为1的等差数列,∴又∵ ,∴,∴,∴当时 ∴ ,3 解： 从而有∵,∴,, ,,∴,∴.4.解：∴5.A 6. 解:①② ①-②， 当时,∴;当时，7.C 8.192 9.C 10. 解： 另解：∵是与的等比中项，∴∴11.D 例12.C 13.解：,当时,,时亦满足∴ , ∴首项且 ∴成等差数列且公差为6、首项、通项公式为14. 解一：设首项为，公差为 则 解二： 由 15. 解：∵，∴16. 解题思路分析：法一：利用基本元素分析法设{an}首项为a1，公差为d，则∴ ∴ ∴ 此式为n的一次函数∴ {}为等差数列∴ 法二: {an}为等差数列,设Sn=An2+Bn∴ 解之得：∴，下略注：法二利用了等差数列前n项和的性质17.解：设原来三个数为 则必有 ①,② 由①： 代入②得：或 从而或13 ∴原来三个数为2,10,50或18.7019. 解题思路分析：∵ {an}为等差数列∴ {bn}为等比数列 ∴ b1b3=b22,∴ b23=,∴ b2=,∴ ,∴ 或 ∴ 或 ∵ , ∴ ,∴ an=2n-3 或 an=-2n+520. 。