有意思的逻辑题.doc

第1章 数学趣题解析1.决定了泊松一生道路的数学趣题泊松（Poisson S.-D,B.,1781.6.21~1840.4.25）法国数学家，曾任过欧洲许多国家科学院的院士，在积分理论、微分方程、概率论、级数理论等方面都有过较大的贡献据说泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏：某人有12品脱啤酒一瓶（品脱是英容量单位，1品脱=0.568升），想从中倒出6品脱但是他没有6品脱的容器，只有一个8品脱的容器和一个5品脱的容器怎样的倒法才能使8品脱的容器中恰好装入6品脱啤酒？ 分析与解答这个数学游戏有两种不同的解法，如下面的两个表所示第一种解法：12124499116808330866500503350第二种解法： 1212408833111166808804480116500440511050下面几个题目与泊松青年时代研究过的题目类型相同2.装牛奶冰冰是个小馋猫有一天晚上，他在梦中来到一个奇妙的地方，这里的花草树木都是冰淇淋或巧克力做的，小河里淌的是牛奶他正想喝牛奶，可发现没带杯子这时突然出现了两个圆柱形的容器，一个容量是3升，另一个容量是10升，前者的高度正好是后者的一半它们是用高硬度不渗透的材料制成的，重量很沉，但其厚度薄到可以忽略不计。

冰冰把其中的一个容器装满牛奶，然后结合使用另一个容器，量出了恰好1升牛奶在这个过程中，冰冰没有再用容器从河中装过牛奶，原来装回的牛奶始终都在容器中，没有失去一滴想想看，冰冰是如何量出这1升牛奶的？ 分析与解答用小容器装满3升牛奶；把这3升牛奶全部倒入大容器中；把空的小容器口朝上放进大容器的底部；这时，大容器中的牛奶溢过小容器的口而再流入小容器；这样流入小容器中的牛奶正好是1升由条件已经知道小容器的高度是大容器的一半，而大容器一半的容量是5升，当小容器放入大容器中后，大容器中围绕着小容器的环形部分的容量是2升，多出的1升就流入小容器之中3.怎样斟酒也许，还没有一个难题像这道题那样激起这么多的欢乐，这是泰巴旅店老板哈利·裴莱提出的他一路上陪着一伙朝圣者，有一次他把同伴一齐叫来，说：“我可敬的老爷们，现在轮到我来启迪一下你们的心智我给你们讲一个难题，它会使你们大伤脑筋但是我想你们最后会发现，它很简单请看，这儿放着一桶绝妙的伦敦白啤酒我手里拿着两个大盅，一个能盛5品脱，另一个能盛3品脱请你们说说看，我怎样斟酒，使得每个盅里都恰好有1品脱？”回答这个问题，不允许使用任何别的容器或设备，也不许在盅子上做记号。

 分析与解答由索维尔克小旅店“泰巴”快乐的东家提出的难题，比其他朝圣者的难题更通俗我看，我的老爷们，”他扬声说，“太妙啦，我的小小诡计把你们的头脑弄糊涂了要在这两个盅子里都斟上1品脱酒，不许用其他任何容器帮助，这对我来说是毫不困难的于是，泰巴旅店的老板开始向朝圣者们解释，怎样完成这最初认为简直不能解决的问题他立刻把两个盅子都斟满，然后将龙头开着让桶里剩下的啤酒都流到地板上（对于这种做法，同伴们坚决提出抗议但机智的老板说，他确切地知道原来桶内的啤酒量比8品脱多不了多少请注意，流尽的啤酒量不影响本题的解）他再把龙头关上，并将3品脱盅子内的酒全部倒回桶中，接着把大盅的酒往小盅倒掉3品脱，并把这3品脱酒倒回桶中，他又把大盅剩下的2品脱酒倒往小盅，把桶里的酒注满大盅（5品脱），这样，桶里只剩1品脱他再把大盅的酒注满小盅（只能倒出1品脱），让同伴们喝完小盅里的酒，然后从大盅往小盅倒3品脱，大盅里剩下1品脱，又喝完小盅的酒，最后把桶里剩的1品脱酒注人小盅内这样朝圣者们怀着极大的惊讶与赞叹之情，发现在每个盅子里现在都是一品脱啤酒4.称球问题称球问题是最经典的一道趣味数学题目，经常出现于各种智力游戏及智力测试中，最常见的题目如下所示：12个球中，有一个重量与其他的11个不同，但不知道是重还是轻。

给你一个天平，只许称3次把这个不标准的球找出来，应该怎么称呢？ 分析与解答首先强调说明两点：（1）不规则的球不知是轻还是重，一共12个球，因此最后必定是24种可能2）任何时候如果天平相等，那么天平上的球都是标准球，可以作为后续参考球如果天平不相等，下次称的时候将其中的一部分球交换位置天平保持不变，那么交换的球都是标准球，反之如果天平发生变化则不标准球就在交换的球之中为了使读者查看方便，12个球用1~12（数字）进行标识，其中已确定是标准球的号码加括号注明： 第一次{1+2+3+4}比较{5+6+7+8}如果相等，第二次{9+10}比较{（1）+11}如果相等，证明是12球不规则，第三次和任意球比较，12或者重或者轻两种可能如果{9+10}>{（1）+11}第三次9比较10，如果9>10并且{9+10}>{（1）+11}证明是9重同理如果9<10，证明是10重同理如果9=10，证明是11轻如果{9+10}<{（1）+11}第三次9比较10，如果9>10并且{9+10}<{（1）+11}，证明是10轻如果9<10，证明是9轻如果9=10，证明是11重至此刚好8种可能；如果{1+2+3+4}>{5+6+7+8}第二次{1+2+5}比较{3+6+（9）}（关键把其中3，5球的位置交换）如果相等，证明1，2，3，5，6为规则球，不规则球在4，7，8中（见说明2）第三次7比较8，如果7=8并且{1+2+3+4}>{5+6+7+8}证明是4重如果7<8，证明是7轻如果7>8，证明是8轻如果{1+2+5}>{3+6+（9）}证明3，5，4，7，8为规则球，不规则球在1，2，6中第三次1比较2，如果1=2并且{1+2+5}>{3+6+（9）}证明是6轻如果1>2，证明是1重如果1<2，证明是2重如果{1+2+5}<{3+6+（9）}证明不规则球在3，5中（因为位置变化天平变化）第三次随便比较1与3，如果1=3，证明是5轻如果1<3，证明是3重1>3不可能，因为已经有第一次{1+2+3+4}>{5+6+7+8}这样刚好也是8种可能。

同样道理，{1+2+3+4}<{5+6+7+8}时处理方法同上，也会有8种不重复的可能性，最终刚好是24种可能同样还是称球的问题，如果12个球你解决了，接着再考虑一下如何解决13个球吧，条件完全相同，13个球中有一个非标准球，仍然是称3次找出来，13个球是称3次的极限了 分析与解答有了称12个球的经验，下面就解释得稍微简单一些了，分组方式为4，4，5 第一次仍然为{1+2+3+4}比较{5+6+7+8}如果相等，第二次{9+10+11}比较{（1）+（2）+（3）}如果相等证明不标准球是12或者13第三次比较1和12，如果1>12，证明是12轻如果1<12，证明是12重如果1=12，证明不标准球是13如果{9+10+11}>{（1）+（2）+（3）}，则说明不标准球在9，10，11中且为重第三次9比较10，如果9=10，证明是11重如果9<10，证明是10重如果9>10，证明是9重如果{9+10+11}<{（1）+（2）+（3）}，则说明不标准球在9，10，11中且为轻第三次9比较10，如果9=10，证明是11轻如果9<10，证明是9轻如果9>10，证明是10轻如果{1+2+3+4}>{5+6+7+8}第二次{1+2+3+5}比较{4+（9）+（10）+（11）}如果相等，证明不规则球在6，7，8中且为轻第三次6比较7 如果6=7证明是8轻如果6<7，证明是6轻如果6>7，证明是7轻如果{1+2+3+5}>{4+（9）+（10）+（11）}证明不规则球在1，2，3中且为重第三次1比较2，如果1=2证明是3重如果1>2，证明是1重如果1<2，证明是2重如果{1+2+3+5}<{4+（9）+（10）+（11）}证明不规则球在4，5中（因为位置变化天平变化）第三次1比较4即可，如果1=4证明是5轻如果1<4证明是4重1>4的情况不成立同样{1+2+3+4}<{5+6+7+8}可以分析得出，合计8+8+9=25种可能。

5.只许称一次一袋一袋的洗衣粉堆成10堆，9堆洗衣粉是合格产品，每袋1斤惟独有一堆份量不足，每袋只有9两从外形上看，看不出哪一堆是9两的用台称一堆一堆去称吧，称的次数比较多有人找到一个办法，只称了一次，就找到了9两的那一堆这是个什么办法呢？如果有40堆洗衣粉，其中有一堆是9两一袋的，那么要称几次才能找出这一堆？ 分析与解答此题需利用乘法口诀的特点一个数乘以9，乘积中的个位数，没有相同的数：0´9=0，1´9=9，2´9=18，3´9=27，4´9=36，5´9=45，6´9=54，7´9=63，8´9=72，9´9=81称洗衣粉就要用到这个特点将10堆洗衣粉编上号码：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10从第1堆取一袋洗衣粉，从第2堆取两袋，从第3堆取三袋，……，从第9堆取九袋，第10堆不取把取出来的洗衣粉用秤称一下，只注意总重量几斤几两的两数，如果是3两，就知道第7堆是9两一袋如果有40堆，就要称3次第一次先从20堆中每堆中取出一袋一起称如果重量是20斤，说明9两的那堆在剩下的20堆中不然，就在这20堆中第二次再从包含9两一堆的20堆中选取1堆，每堆取一袋在台称上称从重量是否10斤，就可以确定9两一堆的在哪10堆中。

第三次，将包括9两一堆的10堆按照前面的办法称一次，就确定了哪一堆是9两的6.分月饼中秋节到了，班级里买回了一箱月饼准备分给同学们第1个同学取走了1块月饼和剩余月饼的1/9，第2个同学取走了2块月饼和剩余月饼的1/9，第3个同学取走了3块月饼和剩余月饼的1/9，第4个同学取走了4块月饼和剩余月饼的1/9，依次类推，把全部月饼一点不剩地分配给了全部同学请问班级共有多少个同学，共有多少块月饼？ 分析与解答此题需逆向思考最后一个同学取走的月饼数目应与全班的人数相同他前面一个同学取走全班人数减1块月饼和剩余月饼的1/9由此可知最后一个同学得到的是剩余月饼的8/9即，在最后一个同学取月饼的时候，剩余月饼应是8的倍数假设最后一个同学取走的是8块月饼那么，全班共有8个同学第7个同学取走7块月饼再加上剩余9块月饼的1/9共8块月饼第7、第8个同学一共取走16块月饼，这应该是第6个同学取走6块月饼后剩余月饼的8/9我们可以得到第6个同学取走6块月饼后剩余的月饼数为16/（8/9）=18第6个同学取走的月饼数为6+18/9＝8第5个同学取走5块月饼后剩余月饼的8/9为8+8+8=24块则第5个同学取走5块月饼后剩余的月饼数为24/（8/9）=27块。

第5个同学共取走5+27/9=8块月饼第4个同学取走4块月饼后剩余月饼的8/9为8+8+8+8 =32块则第4个同学取走4块月饼后剩余的月饼数为32/（8/9）=36块第4个同学共取走4+36/9=8块月饼第3个同学取走3块月饼后剩余月饼的8/9为8+8+8+8+ 8=40块则第3个同学取走3块月饼后剩余的月饼数为40/（8/9）=45块第3个同学共取走3＋45/9=8块月饼同样，第2、第1个同学也分别取走8块月饼综上所述，每个同学都取走8块月饼因此，共有8个同学，64块月饼7.分苹果小咪家里来了5位同学。