2.2.2 第2课时.docx

第2课时　对数函数及其性质的应用[学习目标]　1.进一步加深理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质及其应用.知识点一　对数型复合函数的单调性(1)设y＝logaf(x)(a>0且a≠1)，首先应求使f(x)>0的x的范围，即函数的定义域.(2)在定义域内考虑u＝f(x)与y＝logau的单调性，然后根据复合函数单调性规律“同增异减”来确定复合函数的单调性，所谓“同增异减”即内、外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内、外层函数单调性相反时，复合函数为减函数.知识点二　对数型函数的奇偶性对数函数本身没有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶性，如y＝log2|x|就是偶函数.证明这类函数具有奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义，并结合有关对数的运算性质.题型一　对数值的大小比较例1　比较下列各组中两个值的大小：(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1).解　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9log21＝0，log0.32log0.32.(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；当01时，logaπ>loga3.14；当00，解得x<.设t＝3－2x，x∈(－∞，).∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，∴函数y＝log0.3(3－2x)在(－∞，)上是增函数.反思与感悟　1.求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)>0，先求定义域.2.对于复合函数的单调性判断要遵循“同增异减”的原则.跟踪训练2　求函数y＝log2(x2－5x＋6)的单调区间.解　由y＝x2－5x＋6的图象可知，函数y＝log2(x2－5x＋6)的定义域为(－∞，2)∪(3，＋∞)，令u＝x2－5x＋6，可知u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数，而y＝log2u在(0，＋∞)上为增函数，故原函数的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2).题型三　对数型复合函数的值域或最值例3　求y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值.解　因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，即－1≥logx≥－2.设t＝logx，则－2≤t≤－1，所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.反思与感悟　1.这类问题一般通过换元法转化为一次函数或二次函数的最值问题.2.注意换元时新元的范围.跟踪训练3　已知实数x满足4x－10·2x＋16≤0，求函数y＝(log3x)2－log3＋2的值域.解　不等式4x－10·2x＋16≤0可化为(2x)2－10·2x＋16≤0，即(2x－2)(2x－8)≤0.从而有2≤2x≤8，即1≤x≤3.所以0≤log3x≤1.由于函数y＝(log3x)2－log3＋2可化为y＝(log3x)2－log3x＋2＝(log3x－)2＋，当log3x＝时，ymin＝；当log3x＝1时，ymax＝.所以，所求函数的值域为[，].题型四　对数型函数的综合应用例4　已知函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1).(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性.解　(1)要使此函数有意义，则有或解得x＞1或x＜－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).(2)f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x).又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，∴f(x)为奇函数.f(x)＝loga＝loga(1＋)，函数u＝1＋ 在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减.所以当a＞1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；当0＜a＜1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增.反思与感悟　1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称.2.求函数的单调区间有两种思路：(1)易得到单调区间的，可用定义法来求证；(2)利用复合函数的单调性求得单调区间.跟踪训练4　已知函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1，m≠1)是奇函数.(1)求实数m的值；(2)探究函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性.解　(1)由已知条件得f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立.∴loga＋loga＝0，即·＝1，∴m2x2－1＝x2－1对定义域中的x均成立.∴m2＝1，即m＝1(舍去)或m＝－1.(2)由(1)得f(x)＝loga.设t＝＝＝1＋，∴当x1＞x2＞1时，t1－t2＝－＝＜0，∴t1＜t2.当a＞1时，logat1＜logat2，即f(x1)＜f(x2)，∴当a＞1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数.同理当0＜a＜1时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数.对数型复合函数定义域为R与值域为R区分不清致误例5　已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1).(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数的值域为R，求实数a的取值范围.解　(1)若f(x)的定义域为R，则关于x的不等式ax2＋2x＋1>0的解集为R，结合二次函数图象可得解得a>1.(2)若函数f(x)的值域为R，则ax2＋2x＋1可取一切正实数，结合函数图象可得a＝0或解得0≤a≤1.纠错心得　解这类问题容易将定义域为R与值域为R搞混淆，解题关键在于正确转化题意.规律技巧　若函数y＝logaf(x)的定义域为R，只需真数大于零恒成立；若函数y＝logaf(x)的值域为R，需f(x)取遍一切正数，在解题时，当最高次项系数带字母时，需注意分情况讨论.跟踪训练5　若函数y＝lg(ax2＋ax＋1)的定义域为R，求实数a的取值范围.解　当a＝0时，y＝lg 1，符合题意；当a≠0时，由题意得得0