《多元统计分析》.ppt

多元统计分析 .12第二章 均值向量和协方差阵的检验 目录 上页 下页 返回 结束 2.1 均值向量的检验2.2 协方差阵的检验2.3 形象分析2.4 有关检验的上机实现.*3第二章 均值向量和协方差阵的检验 目录 上页 下页 返回 结束 以做检验4第二章 均值向量和协方差阵的检验 目录 上页 下页 返回 结束 .*5 目录 上页 下页 返回 结束 2.1 均值向量的检验2.1.1 一个指标检验的回顾2.1.2 多元均值检验 2.1.3 两总体均值的比较 2.1.4 多总体均值的检验.*6 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.1 一个指标检验的回顾.*7 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.1 一个指标检验的回顾.*8 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.1 一个指标检验的回顾.*9 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.2 多元均值检验 .*10 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.2 多元均值检验 .*11 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.2 多元均值检验 .*12 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.2 多元均值检验 （）协方差阵已知 类似于（2.3）的统计量（注意（2.3）的形式）是可以证明，在假设 为真时，统计量 遵从自由度为p的 分布；事实上由1.5 .*13 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.2 多元均值检验 统计量 实质上是样本均值 与已知平均水平 之间的马氏距离的 倍，这个值越大，与 相等的可能性就越小，因而，在备择假设 成立时， 有变大的趋势，所以拒绝域应取为 值较大的右侧部分。

式中 是样本均值， 是样本容量 当给定显著性水平 后，由样本值可以算出 的值，当时，便拒绝零假设 ，说明均值不等于 ，其中 是自由度为P的 分布的分为点即.*14 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.2 多元均值检验 （）协方差阵未知 此时的无偏估计是 ，类似于式（2.3）的统计量是： 可以证明，统计量遵从参数为p,n-1,，的 分布，即 统计量 实际上也是样本均值 与已知均值向量 之间的马氏距离再乘以n(n-1)，这个值越大，与 相等的可能性就越小 .*15 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.2 多元均值检验 因而，在备择假设成立时， 的值有变大的趋势，所以拒绝域可取为 值较大的右侧部分因此，当给定显著性水平 后，由样本的数值可立即算出 值，当时，便拒绝零假设 分布的5%及1%的分位点已列成专表，由网上下载， 为 的上 分位点16 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.2 多元均值检验 由1.5，将 统计量乘上一个适当的常数后，便成为F 统计量，也可用F分布表获得零假设的拒绝域即关于 、 的合理性及推证见参考文献3 在实际工作中，一元检验与多元检验可以联合使用，多元的检验具有概括和全面考察的特点，而一元的检验容易发现各指标之间的关系和差异，能帮助我们找出存在差异的侧重面，提供了更多的统计分析信息。

17 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.3 两总体均值的比较 在许多实际问题中，往往要比较两个总体之间的平均水平有无差异例如，两所大学新生录取成绩是否有明显差异；研究职工工资总额的构成情况，若按国民经济行业分组，就是例如要研究工业与建筑业这两个行业之间，是否有明显的不同之处；同理，可按工业领导关系（中央、省、市、县属工业）分组；也可按工业行业分组组与组之间的工资总额构成有无显著差异，本质上就是两个总体的均值向量是否相等，这类问题，通常也称为两样本问题两总体均值比较的问题，又可分为两总体协方差阵相等与两总体协方差阵不等两种情形18 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.3 两总体均值的比较 1.协方差阵相等的情形进行检验与前面类似的统计量的形式是： 设 为来自p元正态总体 的容量为 的样本， 是来自p元正态总体 容量为 的样本，且两样本之间相互独立， 假定两总体协方差阵相等，但未知，现对假设 .*19 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.3 两总体均值的比较 .*20 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.3 两总体均值的比较 因为 的值与总体均值的马氏距离 成正比例，此值愈大，说明两总体的均值很接近的可能性就愈小，因而拒绝域可以取为 值较大的右侧区域，即当给定显著性水平 的值时，若时，拒绝 ，否则没有足够理由拒绝 。

21 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.3 两总体均值的比较 2.协方差阵不相等情形 设从两个总体 和 ，分别抽取容量为 和 的两个样本， ， 假定两总体协方差阵不相等，我们考虑对假设（2.9）作检验这是著名BehrensFisher问题长期以来，统计学家用许多方法试图解决这个问题当 与 相差较大时， 统计量的形式是： .*22 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.3 两总体均值的比较 式中， 的统计含义与前相同，再令.*23 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.3 两总体均值的比较 当假设（2.9）的 成立时，可以证明（见文献3) 近似遵从第一自由度为 、第二自由度为 的F分布，即.*24 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.4 多总体均值的检验 在许多实际问题中，我们要研究的总体往往不止两个例如，要对全国的工业行业的生产经营状况做一比较时，一个行业可以看成一个总体，此时要研究的总体就达几十甚至几百个之多这类问题的研究就需要多元方差分析的知识多元方差分析是一元方差分析的直接推广，为了易于理解多元方差分析的方法，我们先回顾一元的方差分析25 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.4 多总体均值的检验 假设r个总体的方差相等，要检验的假设就是.*26 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.4 多总体均值的检验这个检验的统计量与下列平方和密切相关.*27 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.4 多总体均值的检验.*28 目录 上页 下页 返回 结束 2.1.4 多总体均值的检验用类似于一元方差分析的办法，前面所述的三个平方和变成了矩阵，形式如下： 很显然W=B+E关于的检验可用Wilks 分布,再化为F分布,详细参考1.5节.*29 目录 上页 下页 返回 结束 2.2 协方差阵的检验2.2.1 检验2.2.2 检验.*30 目录 上页 下页 返回 结束 2.2 协方差阵的检验 上面讨论了多元正态分布均值的检验。

但这仅仅研究了问题的一个方面，倘若要进一步深究不同总体的平均水平（均值）波动的幅度，前面介绍的方法就无能为力了本节所介绍的协方差阵的检验可以解决该类问题.*31 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.1 检验是样本协方差阵，关于统计量M的推证过程见参考文献132 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.1 检验其中.*33 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.2 检验 上面讨论的检验 ，是帮助我们分析当前的波动幅度与过去的波动情形有无显著差异但在实际问题中，我们往往面临多个总体，需要了解这多个总体之间的波动幅度有无明显的差异例如在研究职工工资构成时，若按工业行业分组，就有采掘业、制造业、文化教育、金融保险等，不同行业间工资总额的构成存在波动，研究波动是否存在显著的差异，就是做行业间协方差阵相等性的检验用统计理论来描述就是：设有r个总体，从各个总体中抽取样品如下：.*34 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.2 检验.*35 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.2 检验 当 不大且 时,本书附表4中列出了M 的上 分位点;若 较大且 互不相当时,附表4中未列出它们对应的临界值,此时可用F分布去近似,M 近似遵从 ,记作 M (2.22).*36 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.2 检验其中.*37 目录 上页 下页 返回 结束 2.3 形象分析2.3.1 形象分析的基本思想2.3.2 形象分析的基本理论2.3.3 多个总体的形象分析 2.3.4 需要注意的问题. 上面我们论述了多个遵从多元正态分布的总体的均值比较问题，在实际研究中，人们常常需要对来自两正态总体的样本做更细致的分析。

比如，比较两总体各个指标之间变动的幅度是否相等，进一步，如果两总体各指标之间的变量幅度相等，比较两总体的均值是否相等，更进一步，当通过了两总体均值相等的假设之后，检验两总体各个指标的取值是否相等统计学家将对这类问题的解决方法归结为本节所讲的形象分析（Profile Analysis）形象分析广泛地用于实验设计数据的检验，同时，也可应用于其他领域对多个指标的比较研究本节主要讲述形象分析的基本思想，分析过程及用SPSS软件进行形象分析的方法38 目录 上页 下页 返回 结束 2.3 形象分析.*39 目录 上页 下页 返回 结束 2.3.1 形象分析的基本思想 形象（profile）又称轮廓图，是将总体样本的均值绘制到同一坐标轴里所得的折线图，每一个指标都表示为折线图上的一点，若总体有 个指标，则其形象即由坐标轴里 个点连接而成注意这里的 个指标必须是同类可比指标，否则不能画到一个坐标里面 形象分析即是将两（多）总体的形象绘制到同一坐标下，根据形象（轮廓图）的形状对总体的均值进行比较分析 设我们要对 A、B 两个多元正态总体（方差相等）的 个同类指标作比较，分别从两总体随机抽取 、 个样本，将样本均值作图得到如 图2-1所示的形象：.*40 目录 上页 下页 返回 结束 2.3.1 形象分析的基本思想 由上面的轮廓图可以清楚地看到，两总体的形象大体平行，也就是说， 个指标的变动幅度大致相等，是否如此还须得到统计检验才能下结论。

图2-1两总体的形象图.*41 目录 上页 下页 返回 结束 2.3.1 形象分析的基本思想 进一步，若两总体形象平行的假设被接受，我们还想知道两总体的形象是否重合，即两总体均值是否相等更进一步，若两总体均值相等，那么两总体的形象是否水平，即这 个指标之间是否有显著差异呢？形象分析就是针对这些问题，借助于方差分析的思想，依次提出两总体形象平行、重合、水平的假设，然后选择合适的统计量对这三个假设进行检验的分析42 目录 上页 下页 返回 结束 2.3.2 形象分析的基本理论 设 均值向量 ， ,均值向量 ,则针对上面的问题，相应的假设的形式与检验统计量如下所述：1.两总体形象平行的假设与检验统计量：(2.23).*43 目录 上页 下页 返回 结束 2.3.2 形象分析的基本理论 令C为如下 阶对照阵则上面的假设可写为：(2.24) 或者写为 ,这里 为各分量全为1的 维列向量 可以看作是两总体之间的平均差异44 目录 上页 下页 返回 结束 2.3.2 形象分析的基本理论 设从总体 中取得 个样本，从总体 中取得 个样本，令 、 、 及 分别代表两总体的样本均值向量及协方差阵，总体方差 的估计形式为： (2.25)则若： 拒绝 ，否则没有足够理由拒绝，认为两总体的形象平行，若假设 被接受，则我们可以继续对下面两个假设给予检验. .*45 目录 上页 下页 返回 结束 2.3.2 形象分析的基本理论 2.两总体的形象重合的假设与检验统计量 (2.26) 由前所述， 反映了两总体之间的平均差异程度，因此可以求出 的置信区间，若所求置信区间显著不包括0，则说明两总体均值有明显差异，即拒绝两总体形象重合的假设，反之，没有足够理由拒绝 ，认为两总体形象是重合的。

的极大似然估计为：(2.27).*46 目录 上页 下页 返回 结束 2.3.2 形象分析的基本理论 的置信区间：(2.28) 其中： 若0在上述置信区间内，则可以考虑接受，否则,拒绝47 目录 上页 下页 返回 结束 2.3.2 形象分析的基本理论 实际上，在通过了两总体形象平行的前提下，对两总体形象重合的假设检验有更简单的形式设假设 已经通过，则对于任意的 （ ）， 与 必居其一，于是，两总体形象重合，当且仅当 = 因此，检验两总体形象重合，等价于检验如下假设： (2.29)于是，将从。