2022版新教材数学人教B版选择性必修第一册学案-2.2.2-第2课时直线的两点式方程-含答案.docx

第2课时直线的两点式方程课标解读课标要求素养要求根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的方程的两种形式:两点式和截距式.1.数学抽象——能快速掌握直线的两点式方程和截距式方程.2.数学运算——能够应用直线的两点式与截距式方程解决有关问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一直线的两点式方程已知直线l过P1(x1,y1)与P2(x2,y2)两点,注意到P1P2=(x2-x1,y2-y1)是直线l的一个① 方向向量 .设P(x,y)为平面直角坐标系中一点,则P1P=(x—x,y-y1),P在直线l上的充要条件是P1P与P1P2 ② 共线 ,即(x-x1)(y2-y1)=(x2-x1)(y-y1) ,这就是直线l的方程.当x2-x1≠0且③ y2-y1≠0时,上式可以变形为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1,这种形式的直线方程由直线上的两点确定,称为直线的两点式方程.要点二直线的截距式方程xa+yb=1通常称为直线的截距式方程，需要特别注意的是，这只有直线在x轴与在y轴上的截距都存在且④ 不为0 时才成立.自主思考1.如何用点P1,(x1,y1)和P2(x2,y2)的坐标表示过此两点的所有的直线的方程?答案：提示(x-x1)(y2-y1)=(x2-x1)(y-y1) .2.能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示吗?答案：提示能.直线的截距式方程就是直线过(a,0),(0,b)两点的直线的两点式方程的简化形式.3.直线y=x在x轴和y轴上的截距均为0吗?答案：提示直线y=x与坐标轴的交点为(0,0),故在x轴和y轴上的截距均为0.名师点睛1.对直线的两点式方程的理解（1）两点式方程的应用前提是x1≠x2,且y1≠y2,即斜率不存在及斜率为0时不能用两点式方程.当x1=x2时,方程为x=x1 ;当y1=y2时,方程为y=y1．（2）对于两点式中的两点,只要是直线上的两个点即可,两点式方程与这两个点的顺序无关.2.直线的截距式方程的注意点（1）截距式方程应用的前提是直线在x轴和y轴上的截距存在且均不为0,当直线与x轴或y轴的正半轴平行时不能用截距式方程.（2）截距并非距离,其中a∈R,b∈R ,截距相等的情况包括截距为零的情况,此时不可用截距式方程来表示直线.互动探究·关键能力探究点一直线的两点式方程精讲精练例三角形的三个顶点分别为A(-5,0) ,B(3,-3) ,C(0,2) ,如图所示,求直线AB和直线AC的方程.答案：∵直线AB过A(-5,0),B(3,-3)两点,∴由两点式方程,得y-0-3-0=x-(-5)3-(-5) ,整理得y=-38x-158．∴直线AB的方程为y=-38x-158．∵直线AC过A(-5,0),C(0,2)两点,∴由两点式方程,得y-02-0=x-(-5)0-(-5) ,整理得y=25x+2．∴直线AC的方程为y=25x+2．解题感悟（1）当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件,若满足,即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下,也可以先用斜率公式求出斜率,再用点斜式求方程．（2）由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时,常会将字母或数字的顺序错位而导致错误,在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系．迁移应用1.已知A(1,2),B(-1,4),C(5,2)．（1）求线段AB的中点D的坐标;（2）求△ABC的边AB上的中线所在直线的方程．答案：（1）因为A(1,2),B(-1,4) ,所以线段AB的中点D的坐标为(1+(-1)2,2+42) ,即D的坐标为(0,3)．（2）△ABC的边AB上的中线即线段CD ,因为C(5,2),D(0,3)．所以线段CD所在直线的方程为y-32-3=x-05-0 ,即y=-15x+3 .探究点二直线的截距式方程精讲精练例求过点A(5,2) ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．答案：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时,方程为y=25x ;②当直线l在两坐标轴上的截距不为0时,可设方程为xa+y-a=1 ,又∵l过点A(5,2),∴5a+2-a=1解得a=3.∴l的方程为x3+y-3=1 ,即y=x-3 .综上所述,直线l的方程为y=25x或y=x-3 .变式在本例中,把“截距互为相反数”改为“截距相等”,其余条件不变,求直线l的方程．答案：①当直线过原点时,直线在两坐标轴上的截距相等且都为0,直线方程为y=25x ;②当直线不过原点时,设直线方程为xa+ya=1(a≠0) ,代入点(5,2),则5a+2a=1 ,∴a=7 ,∴直线方程为x7+y7=1 ,即y=-x+7 .综上所述,直线l的方程为y=25x或y=-x+7 .解题感悟（1）如果问题中涉及直线与两坐标轴相交,则可考虑选用直线的截距式求方程,用待定系数法确定其系数即可．（2）在选用直线的截距式方程时,必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．迁移应用1.根据下列条件,求直线的方程．（1）直线在x轴上的截距为-2,在y轴上的截距为-2;（2）直线过点(1,1),在两坐标轴上截得的线段长的和为10．答案：（1）由题意得x-2+y-2=1 ,即y=-x-2．（2）设直线的方程为xa+yb=1．由题意,得1a+1b=1,∣a∣+∣b∣=10.解得a=5-15b=5+15或a=5+15,b=5-15.∴所求直线方程为x5-15+y5+15=1或x5+15+y5-15=1．探究点三直线方程的综合应用精讲精练例（2021山东临沂高二期中）已知直线l过点P(43,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点.（1）当△AOB的周长为12时,求直线l的方程;（2）当△AOB的面积为6时,求直线l的方程.答案：（1）设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0) ,因为直线l过点P(43,2) ,所以43a+2b=1 ,①由题意得a+b+a2+b2=12 .②由①②可得5a2-32a+48=0 ,解得a=4,b=3或a=125,b=92,所以直线l的方程为y=-34x+3或y=-158x+92 .（2）设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0) ,由题意知,ab=12 ,43a+2b=1 ,消去b ,得a2-6a+8=0 ,解得a=4,b=3或a=2,b=6,所以直线l的方程为y=-34x+3或y=-3x+6 .解题感悟（1）使用待定系数法求直线方程的一般步骤：①设方程,②求系数,③代入方程求得直线方程;（2）若已知直线在两个坐标轴上的截距或题目中涉及截距,一般优先选择用截距式方程求解.迁移应用1.（2021山东潍坊高二期末）已知直线l过定点A(-2,3) ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则直线l的方程为 .答案：y=-92x-6或y=-12x+2解析：设直线l的方程为xa+yb=1 .因为点A(-2,3)在直线l上,所以-2a+3b= ①.因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4,所以12×|a|⋅|b|=4 ②.由①②可知-2b+3a=8,ab=8或-2b+3a=-8,ab=-8,解得a=-43,b=-6或a=4,b=2,故直线l的方程为x-43+y-6=1或x4+y2=1 ,即y=-92x-6或y=-12x+2 .2.（2021山东威海高二期末）已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)段AB上运动,则xy的最大值为 .答案：3解析：由题意知线段AB的方程为x3+y4=1(0≤x≤3) ,则y=4(1-x3)(0≤x≤3) ,所以xy=4x(1-x3)=-43(x-32)2+3 ,当x=32时,xy取得最大值3.评价检测·素养提升课堂检测1.直线xa+yb=1过一、二、三象限,则( )A.a＞0,b＞0 B.a＞0,b＜0C.a＜0,b＞0 D.a＜0,b＜0答案：C2.经过P(3,0),Q(0,-4)两点的直线方程是( )A.x4+y3=1 B.x3+y4=1C.x4-y3=1 D.x3-y4=1答案：D3.已知点P(3,m)在过点M(2,-1)和N(-3,4)的直线上,则m的值是( )A.5B.2C.-2D.-6答案：C素养演练数学运算——利用直线的截距解决三角形的面积问题1.（2020山东青岛第二中学高二期中）过点P(1,4)作直线l ,与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为原点．若△ABO的面积为S ,求S的最小值,并求出此时直线l的方程．解析：审：以过点P(1,4)的直线与两坐标轴的交点、坐标原点为顶点的三角形,求此三角形面积的最小值以及此时直线的方程.联：根据题意设出A,B的坐标,进而可得直线l的方程,由1a+4b=1及S=12ab ,最后利用基本不等式求最值,即可得答案.答案：解：设A(a,0),B(0,b) ,其中a＞0,b＞0 ,则由直线的截距式方程得直线l的方程为① xa+yb=1 .将P(1,4)代入直线l的方程,得1a+4b=1．根据题意得S=12ab=12ab(1a+4b)2=12×(8+ba+16ab)≥12×(8+2ba⋅16ab)=12×(8+8)=8 ,当且仅当② ba=16ab ,即a=2,b=8时,S取得最小值8,因此直线l的方程为③ x2+y8=1．解析：思：涉及直线与三角形的面积或最小值问题时,一般要把直线的方程设为截距式,并用截距表示三角形的面积,再利用均值不等式或函数的性质求其最值.。