复杂盈亏问题 课件+典型例题.doc

-学 习 改 变 命 运-- 1 -第四讲 复杂盈亏问题【专题知识点概述】盈亏问题是一类生活中很常见的问题．按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．【授课批注】本节与实际生活练习较为紧密，生活中经常遇到此类问题，学生较感兴趣合理提炼分配的总量和份数，能够在多个条件下，统一关系，对于盈亏问题的变型，更是学生需要注意的，是对学生能力的考察，对学生来说是一个挑战解盈亏问题的公式：（1）一次有余（盈） ，一次不够（亏） ，可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数2）两次都有余（盈） ，可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数3）两次都不够（亏） ，可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数4）一次不够（亏） ，另一次刚好分完，可用公式：亏÷（两次每人分配数的差）=人数5）一次有余（盈） ，另一次刚好分完，可用公式：盈÷（两次每人分配数的差）=人数授课批注】注意总量与份数是恒定不变的，能够将多个条件统一到统一条件关系下，利用画图表解题。

重点难点解析】1．理解掌握并运用直接计算型盈亏问题； 2．理解掌握条件转换型盈亏问题；3．理解掌握关系互换型盈亏问题． -学 习 改 变 命 运-- 2 -【竞赛考点挖掘】1.条件转换2.关系互换【习题精讲】【例 1】 （难度等级 ※）实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐 60 人，则有 15 人上不了车；如果每辆车多坐 5 人，恰好多出一辆车. 问一共有几辆车，多少个学生？【分析与解】 每辆车坐 60 人，则多余 15 人，每辆车坐 60+5=65 人，则多出一辆车，也就是差 65 人.因此车辆数目为：（65+15）÷5=80÷5=16（辆）.学生人数为：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人）.答：一共有 16 辆车，915 名学生.【例 2】 （难度等级 ※）小胖的爷爷买回一筐梨，分给全家人.如果小胖和小妹二人每人分 4 个，其余每人分2 个，还多出 4 个，如果小胖 1 人分 6 个，其余每人分 4 个，又差 12 个.问小胖家有多少人？这筐梨子有多少个？【分析与解】 第一次分法是小胖、小妹各 4 个，其余每人 2 个，多余 4 个.假设小胖、小妹也分 2 个，那么会多多少个梨呢？很容易想，那就会多出：2×2+4=8（个）.第二次分法是小胖一人得 6 个，其余每人 4 个，差 12 个，假如小胖也只分 4 个呢，那么就只差：12-2=10（个）.这样一想，就变成和前面讲的例子一样了.解 小胖家的人数为：［2×2+4+（12-2） ］÷2=（8+10）÷2=9（人）.梨子数为： -学 习 改 变 命 运-- 3 -4×2+2×（9-2）+4=8+14+4=26（个） ，或者 6+4×（9-1）-12=6+32-12=26（个）.答：小胖家有 9 人，这筐梨有 26 个.【例 3】 （难度等级 ※）用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多 5 米；如果绳子 3 折时，差 4 米. 求绳子长度和井深.【分析与解】井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）.绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米） ，或者 （22-4）×3=18×3=54（米）.【例 4】 （难度等级 ※※）食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉 18 千克，则差 4 元；如果买猪肉 20千克，则多 2 元. 已知牛肉、猪肉每千克差价 8 角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？【分析与解】这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件，买牛肉 18 千克差 4 元，而买猪肉 20 千克还多 2 元，说明牛肉贵一些.每千克贵 8 角，如果 18 千克牛肉换成 18 千克猪肉，就要少花8×18=144（角）=14 元 4 角.这样就会多出 14 元 4 角-4 元=10 元 4 角.因此问题就可变为：“小李买猪肉 18 千克多余 10 元 4 角，买 20 千克多余 2 元，求猪肉单价和钱数.”虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题，不过猪肉单价=两次钱的差÷两次千克量差.解 由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵 8 角.18 千克牛肉比 18 千克猪肉贵8×18=144（角）=14 元 4 角.因此小李若买 18 千克猪肉就会多余14 元 4 角-4 元=10 元 4 角.由已知小李买 20 干克猪肉多余 2 元，所以猪肉每千克价格为（104-20）÷（20-18）=84÷2=42（角）=4 元 2 角.所以牛肉每千克价格为：4 元 2 角+8 角=5 元.小李带的钱为：4.2×20+2=86（元）. -学 习 改 变 命 运-- 4 -【例 5】 （难度等级 ※※）王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的 2 倍.桔子每人分 3 个，多 4 个；苹果每人分 7 个，少 5 个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？【分析与解】 因为桔子每人分 3 个多 4 个，而苹果是桔子的 2 倍，因此苹果每人分 6 个就多 8 个.又已知苹果每人分 7 个少 5 个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）.苹果个数为 13×7-5=86（个）.桔子数为 13×3+4=43（个）.答：有 13 个小朋友，86 个苹果和 43 个桔子.【例 6】 （难度等级 ※※※）甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用 2 张信纸，乙每封信用 3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下 20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下 10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【分析与解】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺 30 张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30)张信纸， 两次分配的差为(3－2)张信纸，所以有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(个)，有信纸2×50＋20＝120(张)．【例 7】 （难度等级 ※※※）幼儿园把一袋糖果分给小朋友．如果分给大班的小朋友，每人 5 粒就缺 6 粒．如果分给小班的小朋友，每人 4 粒就余 4 粒．已知大班比小班少 2 个小朋友， 这袋糖果共有多少粒？【分析与解】 如果大班增加 2 个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人 5 粒缺 16 粒，每人 4 粒多 4 粒” 的盈亏问题．小班有(16＋4)÷(5－4)＝20(人)．这袋糖果有4×20＋4＝84(粒)．【例 8】 （难度等级 ※※※）实验小学少先队员去植树．如果每人种 5 棵，还有 3 棵没人种；如果其中 2 人各种 4棵，其余的人各种 6 棵，这些树苗正好种完．问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？【分析与解】 这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中 2 人各种 4 棵， -学 习 改 变 命 运-- 5 -其余的人各种 6 棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况——2 人各种 4 棵，其余的人各种 6 棵．如果我们把它统一成一种情况，让每人都种 6 棵，那么，就可以多种树（6－4）×2＝4（棵） ．因此，原问题就转化为：如果每人各种 5 棵树苗，还有 3 棵没人种；如果每人种 6 棵树苗，还缺 4 棵．问有多少少先队员，一共种多少树苗？人数： [3＋（6－4）×2]÷（6－5）＝7（人） ，棵数：5×7＋3＝38（棵）或 6×7－4＝38（棵） ．【例 9】 （难度等级 ※※※）李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为 8 元和 10 元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买 3 袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？【分析与解】 （法 1） “李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买 3 袋” ，这三袋洗衣粉多花8×3＝24（元） ，又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵 2 元，所以要买碧浪洗衣粉袋数 24÷2＝12（件） ．这样李妈妈带的钱数是 10×12＝120（元） ．（法 2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩 3×8＝24（元） ，根据普通的盈亏问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：24÷（10－8）＝24÷2＝12（件） ，所以李妈妈带的钱数是：12×10＝120（元） ．【例 10】 （难度等级 ※※※）有若干个苹果和梨，如果按 1 个苹果配 3 个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩 2 个梨；如果按半个苹果配 2 个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？【分析与解】1 个苹果配 3 个梨，多 2 个梨；半个苹果配 2 个梨，即 1 个苹果配 4 个梨，剩半个苹果，即少 2 个梨.苹果有（2+2）÷（4-3）=4（个） ，梨有 3×4+2=14（个）.【例 11】 （难度等级 ※※※）小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中 2 分币比 5 分币多 22 个；按钱数算，5分币却比 2 分币多 4 角；另外，还有 36 个 1 分币．小同共存了多少钱?【分析与解】假设去掉 22 个 2 分币，那么按钱数算，5 分币比 2 分币多 8 角 4 分，一个 5 分币比一个 2分币多 3 分，所以 5 分币有： 84÷(5－2)＝28(个) 2 分币有： 28＋22＝50(个)5×28＋2×50＋1×36＝140＋100＋36＝276(分). -学 习 改 变 命 运-- 6 -【例 12】 （难度等级 ※※※※）学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，分给同学们，每组分乒乓球拍 5 副，余乒乓球拍 15 副，每组分羽毛球拍 14 副，则差 30 副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？【分析与解】因为羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，如果每次分羽毛球拍 5×2=10（副） ，最后应余下15×2=30（副） ，因为 14-5×2=4（副） ，分到最后还差 30 副，所以比每次分 10 副总共差30+30=60（副） ，所以有小组：60÷4=15（组） ，乒乓球拍有：5×15+15=90（副） ，羽毛球拍 90×2=180（副）.【例 13】 （难度等级 ※※※※）体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人 5 个还多余 10 个羽毛球，如果人数增加到3 倍，那么每人分 2 个羽毛球还缺少 8 个，问有羽毛球多少个？【分析与解】考虑人数增加 3 倍后，相当于按原人数每人给 2×3＝6（个） ，每人给 5 个与给 6 个，总数相差 10＋8＝18 (个） ，所以原有人数 18÷（6－5)＝18（人） ，乒乓球总数是 5×18＋10＝100（个） ．【例 14】 （难度等级 ※※※※）小白兔和小灰兔各有若干只．如果 5 只小白兔和 3 只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多 4 只，小灰兔恰好放完；如果 7 只小白兔和 3 只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多 12 只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？【分析与解】“7 只小白兔和 3 只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多 12 只”说明小白兔少了 12÷3×7＝28（只） ，这样原来笼子数有：（28＋4）÷（7－5）＝16（个） ，所以小白兔有 16×5＋4＝84（只） ，小灰兔有 16×3＝48（只） ，合起来有 84＋48＝132（只） ．【例 15】 （难度等级 ※※※※）四(2)班在这次的班级。