高中椭圆知识点总结PPT演稿.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,8/1/2011,#,高中椭圆知识点总结,目录,椭圆基本概念与性质,直线与椭圆位置关系,圆锥曲线综合应用,椭圆方程求解方法,椭圆相关定理及推论,椭圆知识点拓展与延伸,01,椭圆基本概念与性质,椭圆是平面内所有满足到两个定点（焦点）距离之和等于常数（大于两焦点间距离）的点的集合定义,$fracx2a2+fracy2b2=1$（$ab0$），其中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和短半轴长度标准方程,椭圆定义及标准方程,椭圆的几何性质,对称性,椭圆关于其长轴、短轴都是对称的顶点,椭圆有四个顶点，分别为长轴和短轴的端点长轴和短轴,通过椭圆的两个焦点，可以作出椭圆的最长弦（长轴）和最短弦（短轴）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于常数，这两个定点就是椭圆的焦点焦点,焦距,离心率,两焦点之间的距离称为焦距，记作$2c$椭圆的离心率$e$定义为$c/a$，其中$c$是焦距的一半，$a$是长半轴长度。

离心率反映了椭圆的扁平程度03,02,01,焦点、焦距与离心率,椭圆上任意一点的坐标$(x,y)$都满足椭圆的标准方程任意一点坐标满足椭圆方程,长轴端点坐标,短轴端点坐标,焦点坐标,长轴端点的坐标分别为$(pm a,0)$短轴端点的坐标分别为$(0,pm b)$焦点的坐标分别为$(pm c,0)$，其中$c=sqrta2-b2$椭圆上点坐标特征,02,直线与椭圆位置关系,通过联立直线与椭圆方程，消元后得到一元二次方程，利用判别式判断直线与椭圆是否相交判别式法,在直线与椭圆相交的情况下，可以利用弦长公式求出交点之间的距离弦长公式,通过解联立方程得到交点的坐标，进而可以求出交点的中点坐标中点坐标,直线与椭圆相交,当直线与椭圆相切时，联立方程后得到的一元二次方程的判别式为零判别式为零,可以通过切点坐标和椭圆方程求出切线的方程切线方程,直线与椭圆相切在几何上表现为直线与椭圆有且仅有一个公共点几何意义,直线与椭圆相切,当直线与椭圆相离时，联立方程后得到的一元二次方程的判别式小于零判别式小于零,直线与椭圆相离在几何上表现为直线与椭圆没有公共点几何意义,直线与椭圆相离,弦长公式,在直线与椭圆相交的情况下，利用弦长公式可以求出交点之间的距离，弦长公式中通常涉及到交点的横坐标或纵坐标的差的平方和。

中点弦问题,中点弦是连接椭圆上两个交点的中点和椭圆中心的线段，中点弦的斜率与直线斜率之间存在一定关系，可以通过这个关系求解相关问题例如，已知椭圆方程和一个弦的中点坐标，可以求出该弦的方程弦长及中点弦问题,03,圆锥曲线综合应用,无线电波传播,电磁波在地球表面的传播路径呈椭圆形，研究其传播特性以优化通信质量天体运动轨迹,行星绕太阳的椭圆轨道模型，利用椭圆性质计算行星位置、速度等建筑设计,椭圆形状在建筑设计中具有独特美学价值，如椭圆型体育馆、椭圆型桌面等椭圆在实际问题中应用,03,椭圆与抛物线、双曲线,分析椭圆与抛物线、双曲线的组合问题，挖掘它们在数学和物理中的内在联系01,椭圆与直线,研究椭圆与直线的交点、切线等问题，应用于光学、力学等领域02,椭圆与圆,探讨椭圆与圆的关系，如内切、外切等，以及它们在几何图形中的组合应用椭圆与其他曲线组合问题,平移变换,研究椭圆在平移变换下的性质，如位置、形状、大小等的变化规律旋转变换,分析椭圆在旋转变换下的特性，探讨旋转角度、旋转中心对椭圆的影响伸缩变换,探讨椭圆在伸缩变换下的性质，研究横轴、纵轴伸缩对椭圆形状的影响椭圆在几何变换中应用,推导椭圆的极坐标方程，分析其在极坐标系下的几何特性。

极坐标方程,研究椭圆上任意一点到极点的距离（极径）随角度的变化规律，揭示椭圆的对称性极径变化,确定椭圆在极坐标系下的极角范围，以便于求解相关问题极角范围,椭圆在极坐标下性质,04,椭圆方程求解方法,通过给定的椭圆一般方程，利用代数方法求解得到椭圆的标准方程和参数一般方程,对于给定的多个条件，列出方程组，通过求解方程组得到椭圆方程的参数方程组求解,利用矩阵运算，将椭圆的二次曲线方程转化为标准型，从而得到椭圆方程的参数矩阵运算,代数法求解椭圆方程,焦点性质,利用椭圆的焦点性质，结合给定的条件，通过几何作图求解椭圆方程切线性质,利用椭圆上一点的切线性质，结合给定的条件，通过几何推理求解椭圆方程两点确定椭圆,通过给定的椭圆上的两个点和椭圆的中心，利用几何方法求解得到椭圆的标准方程几何法求解椭圆方程,参数法求解椭圆方程,参数方程,通过给定的椭圆参数方程，直接得到椭圆上任意一点的坐标参数变换,对于非标准形式的椭圆方程，通过参数变换将其转化为标准形式，便于求解和分析极坐标与参数方程,在极坐标系中，利用椭圆的参数方程求解得到椭圆的极坐标方程极坐标变换,对于非标准形式的椭圆极坐标方程，通过极坐标变换将其转化为标准形式，便于求解和分析。

极坐标下的性质,利用极坐标系下椭圆的性质，结合给定的条件，通过几何推理求解椭圆方程极坐标方程,通过给定的椭圆极坐标方程，利用极坐标与直角坐标的转换关系求解得到椭圆的标准方程极坐标法求解椭圆方程,05,椭圆相关定理及推论,1,2,3,S=b2*tan(/2)(为焦点三角形的顶角，b为短半轴长),焦点三角形面积公式,通过椭圆的定义和几何性质，结合三角函数的知识进行推导推导过程,在解决与椭圆焦点三角形相关的问题时，可以快速求出三角形的面积应用场景,焦点三角形面积公式,通过椭圆的定义和几何性质进行证明在解决与椭圆焦点弦相关的问题时，可以利用该定理进行角度的比较和计算焦点弦性质定理,应用场景,证明方法,求椭圆上一点P到某一定点Q的距离的最值或取值范围等问题椭圆上动点轨迹问题,通过椭圆的参数方程或三角换元法将问题转化为三角函数的最值问题来解决解决方法,在解决与椭圆上动点轨迹相关的问题时，可以利用该方法进行求解应用场景,椭圆上动点轨迹问题,椭圆光学性质,在光学、天文学等领域中，椭圆的这一性质被广泛应用，如椭圆反射镜、椭圆透镜等应用场景,实际问题,利用椭圆的光学性质可以解决一些与光的反射、折射等相关的实际问题。

从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，会经过另一个焦点椭圆光学性质及应用,06,椭圆知识点拓展与延伸,与圆的联系与区别,01,椭圆可以看作是圆在方向上的拉伸或压缩，而圆是椭圆在特殊情况下（长轴与短轴相等）的特例与双曲线的联系与区别,02,椭圆和双曲线都是二次曲线，但它们的离心率不同，导致形状和性质有很大的差异与抛物线的联系与区别,03,椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线的不同类型，它们可以通过不同的平面截圆锥面得到椭圆与其他曲线联系与区别,复数与平面坐标的对应,在复数平面上，每一个复数都可以用一个有序实数对(x,y)来表示，这与平面直角坐标系中的点一一对应椭圆的复数表示,利用复数的几何意义，可以将椭圆表示为复数平面上的点的集合，这些点满足一定的条件椭圆在复数平面上表示,微分几何中的应用,在微分几何中，椭圆作为二次曲线的一种，它的曲率和挠率等几何性质具有重要的应用价值偏微分方程中的应用,在求解偏微分方程时，椭圆型方程是一类重要的方程类型，它的解具有许多良好的性质最优化理论中的应用,在最优化理论中，椭球法是一种常用的优化算法，它利用椭球的几何性质来构造优化问题的解椭圆在高等数学中应用,椭圆相关数学史及文化背景,椭圆作为一种优美的几何形状，在建筑设计中经常被用作建筑轮廓或内部空间的设计元素。

椭圆在建筑设计中的应用,古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作圆锥曲线论中系统地研究了椭圆等圆锥曲线的性质古希腊数学家对椭圆的研究,开普勒第一定律指出，行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，这一定律揭示了椭圆在天文学中的重要应用椭圆在天文学中的应用,THANKS,感谢观看,。