
平面向量的数量级与应用(含答案).pdf
9页高中数学专题复习——平面向量的数量积与应用一、考点、热点回顾1.向量的数量积(1)两个非零向量的夹角已知非零向量a与a,作OA=a,OB=b,则∠A OA=θ(0≤ θ≤π)叫a与b的夹角;说明: a, 当 θ=0时,a与b同向;b,当 θ=π 时,a与b反向;C,当 θ= 2时,a与b垂直,记a⊥b;d,注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围0 ≤ ≤180 2)数量积的概念已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则a2b=︱a︱2︱b︱cos叫做a与b的数量积(或内积) 规定00a;向量的投影:︱b︱cos= ||a ba∈R,称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影;(3)数量积的几何意义:a2b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积4)向量数量积的性质①向量的模与平方的关系:22||a aaa②乘法公式成立2222abababab;2222abaa bb222aa bb;③平面向量数量积的运算律C 交换律成立:a bb a;对实数的结合律成立:aba babR;分配律成立:abca cb ccab④向量的夹角:cos=cos,a ba b ab= 2 22 22 12 12121yxyxyyxx。
当且仅当两个非零向量a与b同方向时, θ=00,当且仅当a与b反方向时 θ=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题5)两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量1122(,),(,)axybxy,则a2b=1212x xy y6)垂直:如果a与b的夹角为 900则称a与b垂直,记作a⊥b两个非零向量垂直的充要条件:a⊥ba2b=O02121yyxx,平面向量数量积的性质7)平面内两点间的距离公式设),(yxa,则222||yxa或22||yxa如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx,那么2 212 21)()(||yyxxa( 平面内两点间的距离公式) 二、典型例题题型 1:数量积的概念例 1.判断下列各命题正确与否:(1)00a;(2)00a;(3)若0,aa ba c,则bc;(4)若a ba c,则bc当且仅当0a时成立;(5)()()a bcab c对任意, ,a b c向量都成立;(6)对任意向量a,有22aa解析: ( 1)错; (2)对;(3)错;(4)错;(5)错; (6)对点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系,重点清楚a0为零向量,而a0为零。
例 2. ( 1) (2002 上海春, 13)若a、b、c为任意向量,m∈R,则下列等式不一定...成立的是()A.)()(cbacbaB.cbcacba)(C.m(ba)=ma+mb D.)()(cbacba(2)(2000 江西、山西、天津理,4) 设a、b、c是任意的非零平面向量, 且相互不共线, 则①(a2b)c-(c2a)b=0②|a| -|b|<|a-b| ③(b2c)a-(c2a)b不与c垂直④( 3a+2b) ( 3a-2b)=9|a|2-4|b|2中,是真命题的有()A.①②B.②③C.③④D.②④解析: (1)答案: D;因为cbacbacos||||)(,而acbcbac os||||)(;而c方向与a方向不一定同向2) 答案:D①平面向量的数量积不满足结合律故①假;②由向量的减法运算可知|a| 、|b| 、|a-b| 恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故②真;③因为[ (b2c)a-(c2a)b] 2c=(b2c)a2c-(c2a)b2c=0,所以垂直 . 故③假;④( 3a+2b) (3a-2b)=92a2a-4b2b=9|a|2-4|b|2成立。
故④真点评:本题考查平面向量的数量积及运算律,向量的数量积运算不满足结合律题型 2:向量的夹角例 3. (1) (06 全国 1 文, 1)已知向量a、b满足1|| a、4|| b,且2ba,则a与b的夹角为()A. 6B. 4C. 3D. 2(2) (06 北京文, 12)已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin), 且ab,那么ba与ba的夹角的大小是3)已知两单位向量a与b的夹角为0120,若2,3cab dba,试求c与d的夹角4) (2005 北京 3)| a|=1 ,| b |=2 ,c= a+ b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析: ( 1)C; (2) 2;(3)由题意,1ab,且a与b的夹角为0120,所以,01cos1202a ba b,2cc c(2) (2)abab22447aa bb,7c,同理可得13d而c d2217(2) (3)7322abbaa bba,设为c与d的夹角,则 1829117137217cos4)C;设所求两向量的夹角为cabca 2 .() ..0caabaaab2||||||cosaab即:2||||1cos2||||||aaabb所以120 .o点评:解决向量的夹角问题时要借助于公式 ||||cos baba, 要掌握向量坐标形式的运算。
向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑对于.||||cosa bab这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握例 4. (1) ( 06 全国 1 理, 9)设平面向量1a、2a、3a的和0321aaa如果向量1b、2b、3b,满足||2||iiab,且ia顺时针旋转30o后与ib同向,其中1,2,3i,则()A.-1b+2b+3b=0 B.1b-2b+3b=0C.1b+2b-3b=0 D.1b+2b+3b=0( 2) (06 湖南理, 5)已知,0||2||ba且关于x的方程0||2baxax有实根 , 则a与b的夹角的取值范围是()A.] 6,0[ B.], 3[ C.] 32,3[ D.], 6[解析: ( 1)D; (2)B;点评:对于平面向量的数量积要学会技巧性应用,解决好实际问题题型 3:向量的模例 5. (1) ( 06 福建文, 9)已知向量a与b的夹角为120o,3,13,aab则b等于()A .5 B.4 C . 3 D.1 (2)(06 浙江文,5) 设向量, ,a b c满足0abc,,|| 1,||2abab, 则2||c()A.1 B.2 C.4 D. 5 解析: ( 1)B; (2)D;点评:掌握向量数量积的逆运算 Qbbaa cos||||,以及22 || aa。
例 6.已知a=( 3,4) ,b=( 4,3) ,求x,y的值使 (xa+yb) ⊥a,且|xa+yb|=1解析:由a=( 3,4) ,b=( 4,3) ,有xa+yb=(3x+4y,4x+3y) ;又(xa+yb)⊥a(xa+yb) 2a=03(3x+4y)+4(4x+3y)=0 ;即 25x+24y=0①;又|xa+yb|=1|xa+yb|2=1;(3x+4y)2+(4x+3y)2=1;整理得 25x2+48xy+25y2=1即x(25x+24y)+24xy+25y2=1②;由①②有 24xy+25y2=1③;将①变形代入③可得:y=± 75;再代回①得:753524753524yxyx 和点评:这里两个条件互相制约,注意体现方程组思想题型 4:向量垂直、平行的判定例 7.(2005 广东 12) 已知向量) 3, 2(a,)6,(xb,且ba //,则x解析:∵ba //,∴1221yxyx,∴x362,∴4x例 8.已知4,3a,1,2b,,mab2nab,按下列条件求实数的值 (1)mn; (2)//mn;(3) mn解析:4,32,mab27,8nab(1)mn082374952;(2)//mn07238421;(3) mn08845872342222251122。
点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算题型 5:平面向量在代数中的应用三、课后练习1、 (本小题满分12 分)如图, ABCD 是一个梯形, AB∥CD,且 AB= 2CD,M、N 分别是DC 和 AB 的中点,已知 AB→=a,AD→=b,试用 a、b表示 BC→和 MN→. 【解法一】连结 CN,则 AN ∥=DC∴四边形 ANCD 是平行四边形. CN→=- AD→=- b,又∵ CN→+NB→+ BC→=0∴BC→=- CN→-NB→=b-1 2a∴MN→= CN→-CM→=CN→+1 2AN→=- b+14a=1 4a-b【解法二】∵AB→+BC→+CD→+DA→= 0即: a+ BC→+(-1 2a)+(- b)= 0,∴ BC→=b-1 2a又∵在四边形ADMN 中,有 AD→+DM→+MN→+NA→=0,即: b+1 4a+ MN→+(-1 2a)= 0,∴ MN→=1 4a-b. 【评注】比较两种解法,显然解法二更简捷. 2、已知abcdacbd2222111,,求证:||分析:abcd222211,,可以看作向量)()(dcybax,,,的模的平方,而acbd则是x、y的数量积,从而运用数量积的性质证出该不等式。
证明:设)()(dcybax,,,则2222||||dcybaxbdacyx,,1||||||||2222dcbabdacyxyx,点评:在向量这部分内容的学习过程中,我们接触了不少含不等式结构的式子,如|| | | | ||| | | | ||| | || |ababababa ba ba b,;等3.已知abcossincossin,,,,其中0 1)求证:ab+与ab-互相垂直;(2)若k ab与k ab(k0)的长度相等,求解析: ( 1)因为()()ababaabbab+2-2+2-22abab22 222222110| || |cossincossin所以ab+与ab-互相垂直2)k abkk+,coscossinsin,k abkkcoscossinsin,,所以||cosk abkk221,||cosk abkk221,因为|| ||kabkab,所以kkkk222121coscos,有22kkcoscos,因为k0,故cos0,又因为00,,所以 2点评: 平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题,其形式多样,解法灵活,极富思维性和挑战性。
若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理可使解题过程得到简化,从而提高解题的速度题型 6:平面向量在几何图形中的应用3. ( 2002 年高考题)已知两点)01()01(,,,NM,且点P( x,y)使得MNMP,NPNMPNPM,成公差小于零的等差数列1)求证)0(322xyx;(2)若点 P的坐标为)(00yx ,,记PM与PN的夹角为,求tan解析: ( 1)略解:122yxPNPM,由直接法得)0(322xyx(2)当 P不在 x 轴上时,|||||21tan21sin||||210yMNPNPMPNPMSPMN而2||21)1 ()1(2 02 00000MNyxyxyxPMPN,,,所以||tan0y,当 P在 x 轴上时,0tan00,y,上式仍成立y P M O N x 图 1 点评:由正弦面积公式tan 21tancos||||21sin||||21bababaS得到了三角形面积与数量积之间的关系,由面积相等法建立等量关系4.用向量法证明:直径所对的圆周角是直角已知:如图,AB是⊙ O的直径,点P是⊙ O上任一点(不与A、B重合) ,求证:∠ APB=90°。
证明:联结OP ,设向量bOPaOA,,则aOB且ba。












