习题解答-第9和附录F.docx

第九章9.11 (1) (a) 1, 3, 9, 27； 3l；(b) 7, 21, 63, 189； 7(3l)；(c) A, 3A, 9A, 27A； A(3l)o112zz(\、 /1- - 2zr \\7A 71 - 8zf <7\M71 - 4zr <、 /Il - 2zf <7z/dAA1 - 8zr \\AA 71 - 2z/nv\)z3TPA27+ 6,得到睥-捉+ 6,即2 （a）余函数是Yt=--Yt^的解，因此CF=A为得到一个特解，我们把Yt=D代入匕0 = 4,因此 PS = 4 4,根据初始条件* = 0得A = -4,因此匕=—一上\ 2/根据梯形图S9.1,我们看到匕在Yf=4附近震荡，随着，的增加，震荡逐渐减弱,匕收敛到4对任何解Yt=A（bf） + PS来说，震荡都是收敛的，其中—IvbvO原书P658图 S9.1（b） CF = A（—2）', PS = 3,因此 K=A（—2）'+3初始条件为 A = l,因此匕=（-2）'+3根据图S9.2,我们看到匕在3的附近震荡，随着，的增加，震荡呈现爆炸性的增长对任何解Yt=A（br） + PS来说，震荡都是发散的，其中b<-l.原书P658图S9.23 Yt=Ct + It= 0.9^+250 + 350= 0.9%+600有解 f = A(0.9)'+6000根据初始条件 * = 6500，得 A = 500,因此 Yt = 500(0.9/ + 6000。

由于—1 v0.9 <1 ,因此系统是稳定的事实上，K 一致收敛到均衡值6000o4 _2£+22 =引_8重排后得"-!九+15因此有解(1YP = A ——+10I 2+ 22 =、一 中 2*根据初始条件气=11,得A=l,因此《=根据需求方程Q=-2[ + 22,我们得到Q=-2由于-1<-%

c) *=3, K=3，匕=3,匕=3,...因此对所有，都有X =3f 1Y7 (a) Y=-7 — +8； 一致收敛到 8b) E—4)'+l； 震荡性发散8 等式右边的-bY^+c变为b A（Z/t）+— +c\ l — b）=A（b'\ + -^— + c'）1-b/ 八 bc + c（i-b\= A（bt） + ——L' 7 1-bw’S=A（Z/） + O=K等于等式左边9 匕=500(0.8)'+2500；稳定10 月= 10(—05)'+60；稳定11把假设(1)和(2)代入(3),得闵匕-％)=咐重排后得有解如果a = 0.1, 0 = 1.4,则匕=(1.08)'*随着，的增加，K 一致发散，因此是非稳定的12 (a) CF= A(0.l)‘；(b) PS = 6(0.6/；(c) 匕= A(0.l)'+6(0.6)‘，X =3(0.1)'+6(0.6)'；(d) 稳定13 (a) CF= A(0.2)‘；(b) PS = ( + 6；(c) 4=A(0.2)'+，+ 6,X =4(0.2)'+Z + 6；(d) 非平稳14 (a)匕=0.6糜：+ 160(b) 163.8, 195.4, 200.8, 201.7, 201.9, 201.9, 201.9, 201.9；稳定。

c) 否(b) 1789； 一致的；相同的表现9.21 (a) 5e5t ； (b) —6e~3t ； (c) mAemt o2 (a)微分的结果是4乘以y本身，解的形式为y = A疽根据条件y(0)= 6得A = 6,因此得解、=6疽，b)微分的结果是-5乘以y本身，解的形式为y = A/' o根据条件y(O)= 2得A = 2,因此得解y = 2e项3 余函数是尖=3y的解，CF=A/dt为求一个特解我们尝试把常方程y(t) = D代入原方程空= 3y-60,得0 = 30—60,有解£> = 20通解因此是y(l) = 腴+20最后代入t = 0得y(0)= 10^+20,因此A = 10玄+20y对■的曲线如图S9.5,其中y(表现出快速的发散我们可以预期任意解y(t) = Aemt+D ( A^O)都是发散的，其中m>0o4 把C和/的表达式代入——= 0.1(C + / —K),dt/Y得一=0.1(0.9V + 100 + 300-/) = -0.01/ + 40,互补方程为 CF =而-皿为求一个特解，，我们尝试把常方程y(t) = D代入微分方程，得0 =-0.010+40，得解 £) = 4000。

通解因此为丫(人疽°'+4000根据初始条件7(0) = 2000 ,我们得到A + 4000 = 2000,即 A = —2000因此，K（，） = —2000/°°"+4000系统是稳定的，因为互补方程具有负指数随着，的增加，K)逐渐收敛到均衡值4000o=—F + 2,5 把 Qs 和 0)代入专=%(和-@5)，得学=%(-P+4)-(2P-2)]互补方程为CF= Ae~f o为求一个特解，我们尝试把常方程P（t） = D代入微分方程，得0 = —0+2,即通解因此为P（t） = Ae~（ + 2 o根据初始条件P（O）= 1,我们得到4+2 = 1,即A = —1因此 P（，） = —，+ 2 o另外，需求和供给方程分别为Qs （ 2P- 2 = 2（-广 + 2）- 2 = -2广 + 20） = —P + 4 = -（-广+2）+ 4 =广+2以上三个方程都具有负指数，因此系统是稳定的6 （a）尸+7； （b） —e " + ； （c） F + — 5/ +17 （a） -20e'3t + 60 ；从 40 开始，y（一致增加到 60b） 20gT，+60；从 80 开始，y（。

一致减少到 60c） 60 ； y（一直保持在均衡水平60上8 丫（，） = 5000疽赤 +10000 ；稳定9 Y（t） = 2000e°l5z -1800 ；非稳定10 P（r） = —e 2$ + 2 ； （，） = —3e 25’+5 ； QD = 2^ 25z +5 p；稳定dY dY aii把假设（i）和（3）代入（2）中，得= m 重排方程，得——=一K,并有解dt dt Py（r） = y（0）e（a//?）ro由于a//?>0,因此该式不稳定 c\10 式右边my + c = m Aemt +c = Amemt -c + c = Amemt,是 y（，）的导数V mJ13 (a) Ae'2t ； (b) / ；(c)Ae'2t + e3z ； 6/，+/； (d)非稳定14(a) Ae~r； (b) 4t-7； (c) y = Ae'r+4t-7； y = 8e~f+4t-7 ； (d)非稳定顼2+1)对较大的r,方程的解被直线很好的逼近16(a) y(，)= 0.5£ + 4、£ + 2 /(b) y(，)= 0.5(c)在(a)中，资金逐渐减少并逼近均衡值$500000；在(b)中，资金逐渐减少并在两年后完全用尽。

17 K@) =(ac_b)矿”+b(a) 在任何时候，资本保持在数值c上不变;(b) 资本无限增长；(c) 资本减少为零附录11弦的斜率=(5 + *)2—5?Ax25 + 10Ax + (Ax)2-25Ax= 10 +Ax切线的斜率=lim(10 + k) = 10zkr->0v 7(a)弦的斜率=〔4(尤 +Ax)? 一9(工 +Ax) + 1 -(4亍-9工 + 1)Ax= 8x+4Ax—9切线的斜率=lim(8x + 4z\x-9)= 8x-9(b)5k)M)=(”2x2x~ (尤 + Ax)~x + k)~ x122xAx -(Ax)~x +Ax)? x13 (a)(b)—2 x — Ay弦的斜率=3(x +Ax)~ %2切线的斜率=limAD/ \—2x — Ax+Ax— %2 /-2x3(Q + /?)(Q + /?)2 =(] + Z?)(q2 +2qZ? + /?2)=6/3 + 3u^ b + 3clH + Z?'(x +Ax)3 +x3弦的斜率= L——Ax=3x2 + 3x( Ax) + (Ax)?切线的斜率=lim+ 3xAx +=3尤2附录21 (a) 2xF+3x22=2 + 12 = 14(b) 4x + 6y—= 0dx6匹idxdy _ -4x _ 2xdx 6y 3y因此，当x = l, y = 2时，—=—dx 32 (a)二(…上巳®二⑴j 3y 2 ex -x-2y

附录3第一主子式为2>0第二主子式为2x2 —0x0 = 4>0因此，驻点处有最小值4—2-2-2主子式分别为-4vO和4>0,因此有最大值—4匚3/2-6矿3/2假设乙是被选择的第一个变量，则在驻点上，有-1/160-1/288主子式分别为-1/16 < 0和1/4608 > 0 ,因此有最大值2H= 2-12 -1-2 -1 ,行列式为8>0,因此有最大值1 04 -1百=-1 0-1 -1-1-1，行列式为-6v0,因此有最小值。