微积分广东外语外贸大学多元函数微积分张建梅6.5.ppt
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一元复合函数求导法那么微分法那么6.5 6.5 复合函数微分法与复合函数微分法与隐函数微分法隐函数微分法 一、一、 多元复合函数的求导法那么多元复合函数的求导法那么☆☆例例☆☆例例☆☆例例二、二、 全微分形式的不变性全微分形式的不变性☆☆例例☆☆例例三、三、 隐函数的微分法隐函数的微分法本本节内容内容:☆☆例例☆☆例例☆☆例例☆☆例例☆☆例例☆☆例例☆☆例例四、四、 内容小结内容小结★★ 思考题思考题 ★★ 习题解答习题解答 ★★ 作业作业 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录一、多元复合函数求一、多元复合函数求导的的链式法那式法那么么定理定理. 假假设函数函数处偏偏导连续, 在点 t 可导, 那么复合函数且有链式法那么1.1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形复合函数的中间变量均为一元函数的情形 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录证明证明 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数. 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录假设定理中 说明明: 例如例如:易知:但复合函数偏偏导数数连续减弱为偏偏导数存在数存在, 那么定理结论不一定成立. 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录2.2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形复合函数的中间变量均为多元函数的情形 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录链式法那么如图链式法那么如图示示 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例 设解解: 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例解解: 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录解解 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录3.3.复合函数的中间变量既有一元函数又有复合函数的中间变量既有一元函数又有 多元函数的情形多元函数的情形 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录链式法那么如图链式法那么如图示示, 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录特殊地特殊地即即令令其中其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录解解令令记记同理有同理有 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录于是于是 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录设求解令那么补充例题补充例题 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录全微分形式不变性的全微分形式不变性的实质实质：： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录设应用全微分形式不变性求解与比较，得例例 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录解解 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录设确定隐函数那么对方程两边关于 x 求导，得从而得到一元隐函数求导公式这是利用多元函数的偏是利用多元函数的偏导数求数求一元函数的一元函数的隐函数函数导数的公式数的公式三、隐函数的微分法三、隐函数的微分法 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录隐函数的求导公式隐函数的求导公式 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录解解令令那那么么 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录定理定理 假设函数 的某邻域内具有连续偏偏导数数 ;那么方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足① 在点满足:②③某一邻域内可唯一确隐函数的求导公式隐函数的求导公式 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录两边对 x 求偏导同样可得那么 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录解解 设那么利用隐函数求导公式，得 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录解解令令那那么么 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录求方程所确定的函数的偏导数。
解令那么故例解法二例解法二 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录设确定求解例例 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录解解方程两边对 x 求偏导有解方程得从而 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录P2201.P2201.4.4.5.5.7.7.作业作业 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录1. 复合函数求复合函数求导的的链式法那式法那么么“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导〞内容小内容小结2. 全微分形式不全微分形式不变性性不管 u , v 是自变量还是中间变量, . . 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录3.隐函数的微分法隐函数的微分法 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录思考思考题函数在可微的充分条件是( )的某邻域内存在 ;时是无穷小量 ;时是无穷小量 .1. 选择题 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录练练 习习 题题 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录练习题答案练习题答案 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录§6.5 局部习题答案局部习题答案1. 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录4. 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录6. 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录解解令令那那么么 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录9. 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录11. 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录备用题备用题分别由以下两式确定 :又函数有连续的一阶偏导数 ,1. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得(2001考研考研)解得因此 LOGO广东外语外贸大学广东外语外贸大学 。
