空间向量第2课时.doc

空间向量及其运算空间向量及其运算(2)(2)教学目的：教学目的：⒈⒈了解空间向量基本定理及其推论；了解空间向量基本定理及其推论；⒉⒉理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出三个已知向量唯一线性表出奎屯王新敞新疆⒊⒊学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联 系的观点看待事物．系的观点看待事物． 教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）教学难点：空间作图．教学难点：空间作图．教学过程：教学过程：一、复习引入：一、复习引入： 1 1．空间向量的概念：．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量奎屯王新敞新疆注：注：⑴⑴空间的一个平移就是一个向量空间的一个平移就是一个向量奎屯王新敞新疆⑵⑵向量一般用有向线段表示向量一般用有向线段表示奎屯王新敞新疆同向等长的有向线段表示同一或相等的向量同向等长的有向线段表示同一或相等的向量奎屯王新敞新疆⑶⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示奎屯王新敞新疆2 2．空间向量的运算．空间向量的运算定义：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下; ;; ;baABOAOBvrbaOBOABArr)(RaOPr运算律：运算律：⑴⑴加法交换律：加法交换律：abbavvvr⑵⑵加法结合律：加法结合律：)()(cbacbavvvvrv⑶⑶数乘分配律：数乘分配律：babavvvv )(3 3．平行六面体：．平行六面体：平行四边形平行四边形 ABCDABCD 平移向量平移向量 到到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面arDCBA体，并记作：体，并记作：ABCDABCD－－奎屯王新敞新疆它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六DCBA面体的棱面体的棱奎屯王新敞新疆4 奎屯王新敞新疆共线向量共线向量aC'B'A'D'DABC如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共共线向量线向量或或平行向量平行向量．． 平行于平行于 记作记作．．arbrbarv//当我们说向量当我们说向量 、、 共线（或共线（或 //// ）时，表示）时，表示 、、 的有向线段所在的直线可能的有向线段所在的直线可能arbrarbrarbr是同一直线，也可能是平行直线．是同一直线，也可能是平行直线．5 5．． 共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量空间任意两个向量 、、 （（ ≠≠ ）） ，， //// 的充要条件是存在实的充要条件是存在实arbrbr0rarbr数数 λ，使，使 ＝＝λ . .arbr推论：推论：如果如果 为经过已知点为经过已知点 A 且平行于已知非零向量且平行于已知非零向量 的直线，那么对于任意一的直线，那么对于任意一lar点点 O，点，点 P 在直线在直线 上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数 t 满足等式满足等式 l．其中向量．其中向量 叫做直线叫做直线 的的方向向量方向向量. .tOAOPararl空间直线的向量参数表示式：空间直线的向量参数表示式：或或，，tOAOPar)(OAOBtOAOPOBtOAt)1 (中点公式中点公式．． )(21OBOAOP6．向量与平面平行：．向量与平面平行： 已知平面已知平面和向量和向量 ，作，作，如果直线，如果直线平行于平行于或或arOAauu u rrOA 在在内，那么我们说向量内，那么我们说向量 平行于平面平行于平面，记作：，记作：．通常．通常ar//ar我们把平行于同一平面的向量，叫做我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量共面向量奎屯王新敞新疆 说明：空间任意的两向量都是共面的说明：空间任意的两向量都是共面的奎屯王新敞新疆 7．共面向量定理：．共面向量定理：如果两个向量如果两个向量不共线，不共线，, a brr与向量与向量共面的充要条件是存在实数共面的充要条件是存在实数使使pr, a brr, x y奎屯王新敞新疆pxaybrrr推论推论：空间一点：空间一点位于平面位于平面内的充分必要条内的充分必要条PMAB 件是存在有序实数对件是存在有序实数对，使，使或对或对, x yMPxMAyMBuuu ruuu ruuu r空间任一点空间任一点，有，有O①①OPOMxMAyMBuuu ruuuu ruuu ruuu r上面上面①①式叫做平面式叫做平面的的向量表达式向量表达式奎屯王新敞新疆MAB21．． （本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知方向向量为已知方向向量为 v=(1,)的直线的直线 l 过点（过点（0，－，－2）和椭圆）和椭圆 C：：33的焦点，且椭圆的焦点，且椭圆 C 的中心关于直线的中心关于直线 l 的对称点在椭圆的对称点在椭圆 C 的右准线的右准线)0( 12222 baby ax上上.aaA'pbaOPABM（（ⅠⅠ）求椭圆）求椭圆 C 的方程；的方程；（（ⅡⅡ）是否存在过点）是否存在过点 E（－（－2，，0）的直线）的直线 m 交椭圆交椭圆 C 于点于点 M、、N，满足，满足cot∠∠MON≠≠0（（O 为原点）为原点）.若存在，求直线若存在，求直线 m 的方程；若不存在，的方程；若不存在，463OM ONuuuu r uuu r请说明理由请说明理由.ExOy二、讲解新课：二、讲解新课：1 奎屯王新敞新疆空间向量基本定理：空间向量基本定理：如果三个向量如果三个向量不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量，，, ,a b crrrpr存在一个唯一的有序实数组存在一个唯一的有序实数组 x,y,zx,y,z，使，使奎屯王新敞新疆pxaybzcrrrr由此定理，若三向量由此定理，若三向量不共面，则所有空间向量所组成的集合是不共面，则所有空间向量所组成的集合是, ,a b crrr，这个集合可以看作由向量，这个集合可以看作由向量生成的，所以我们把生成的，所以我们把叫叫{ |,,,}p pxaybzc xR yR zRrr rrr, ,a b crrr{ , , }a b crrr做空间的一个做空间的一个基底基底，，叫做叫做基向量基向量，可以知道，空间任意三个不共面的向量都，可以知道，空间任意三个不共面的向量都, ,a b crrr可以构成空间的一个可以构成空间的一个基底基底奎屯王新敞新疆推论：推论：设设是不共面的四点，则对空间任一点是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实，都存在唯一的三个有序实, , ,O A B CP数数，使，使奎屯王新敞新疆, ,x y zOPxOAyOBzOCuuu ruu u ruuu ruuu r2 奎屯王新敞新疆空间向量的夹角及其表示：空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量已知两非零向量，在空间任取一点，在空间任取一点，作，作, a brrOPOA'P'B'C'BAC，则，则叫做向量叫做向量 与与 的夹角，记作的夹角，记作；且规定；且规定，显，显,OAa OBbuu u ruuu rrrAOBarbr, a brr0, a brr然有然有；若；若，则称，则称 与与 互相垂直，记作：互相垂直，记作：. .,,a bb arrrr,2a brrarbrabrr3 3．向量的模：．向量的模：设设，则有向线段，则有向线段的长度叫做向量的长度叫做向量 的长度或模，记作：的长度或模，记作：. .OAauu u rrOAuu u rar||ar4 4．向量的数量积：．向量的数量积：已知向量已知向量，则，则叫做叫做的数量积，记作的数量积，记作，，, a brr|| || cos,aba brrrr, a brra brr即即．．a brr|| || cos,aba brrrr已知向量已知向量和轴和轴 ，， 是是 上与上与 同方向的单位向量，作点同方向的单位向量，作点在在 上的射影上的射影，，ABauuu rrlerllAlA作点作点在在 上的射影上的射影，则，则叫做向量叫做向量在轴在轴 上或在上或在 上的正射影上的正射影. . BlBA B uuuu rABuuu rler可以证明可以证明的长度的长度．．A B uuuu r|| ||cos,A BABa ea e  uuuu ruuu rr rr r5 5．空间向量数量积的性质：．空间向量数量积的性质： （（1 1））．．||cos,a eaa er rrr r（（2 2））．．0aba brrrr（（3 3））．．2||aa arr r6 6．空间向量数量积运算律：．空间向量数量积运算律：（（1 1））．．()()()aba babrrrrrr（（2 2））（交换律）（交换律） ．．a bb arrrr（（3 3））（分配律）（分配律） ．．()abca ba crrrrrr r三、讲解范例：三、讲解范例：例例奎屯王新敞新疆已知空间四边形已知空间四边形 OABC，其对角线，其对角线 OB,AC，，M,N 分别是对边分别是对边 OA,BC 的中点，的中点，点点 G 段段 MN 上，且上，且 MG=2GN，用基底向量，用基底向量表示向量表示向量奎屯王新敞新疆,,OA OB OCuu u r uuu r uuu rOGuuu r四、小结四、小结 ：空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理：空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以““项项”.”.证明的思证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．算作准备． 奎屯王新敞新疆 五、作业：五、作业：9B052。