2010高考数学一轮讲义—9.几何体的表面积和体积.doc

一．一． 【【课标要求课标要求】】 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式） 二．二． 【【命题走向命题走向】】 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积 或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题即使考查空间线面的位置关系问题， 也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同 时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会 等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解 由于本讲公式多反映在考题上，预测 2010 年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和 旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．三． 【【要点精讲要点精讲】】 1．多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱直截面周长×lS底·h=S直截面·h棱 柱直棱柱chS侧+2S底S底·h棱锥各侧面积之和棱 锥正棱锥21ch′S侧+S底31S底·h棱台各侧面面积之和 棱 台正棱台21(c+c′)h′S侧+S上底+S下底31h(S上底+S下底+下底下底SS)表中 S 表示面积，c′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h′表示斜高，l 表 示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22 )4πR2Vπr2h(即πr2l)31πr2h31πh(r21+r1r2+r22)34πR3表中 l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示 圆台 上、下底面半径，R 表示半径 四．四． 【【典例解析典例解析】】 题型 1：柱体的体积和表面积 例 1．一个长方体全面积是 20cm2，所有棱长的和是 24cm，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm依题意得：  24)(420)(2zyxzxyzxy)2() 1 (由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得 x2+y2+z2=16 即 l2=16 所以 l=4(cm) 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体 的表面积多被考察我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切） 与面积、体积之间的关系。

例 2．如图 1 所示，在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=31）求证：顶点 A1在底面 ABCD 上的射影 O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积图 1 图 2 解析：（1）如图 2，连结 A1O，则 A1O⊥底面 ABCD作 OM⊥AB 交 AB 于 M，作ON⊥AD 交 AD 于 N，连结 A1M，A1N由三垂线定得得 A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN， ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N， 从而 OM=ON ∴点 O 在∠BAD 的平分线上PABCDOE（2）∵AM=AA1cos3=3×21=23∴AO=4cosAM=223又在 Rt△AOA1中，A1O2=AA12 – AO2=9－29=29，∴A1O=223，平行六面体的体积为22345V230题型 2：柱体的表面积、体积综合问题例 3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6, 3,2，这个长方体对角线的长是（ ）A．23 B．32 C．6 D．6解析：设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1，b＝2，c＝3，则对角线 l 的长为 l=6222cba；答案 D。

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长 例 4．如图，三棱柱 ABC—A1B1C1中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面 EB1C1将 三棱柱分成体积为 V1、V2的两部分，那么 V1∶V2= ____ _ 解：设三棱柱的高为 h，上下底的面积为 S，体积为 V，则 V=V1+V2＝Sh ∵E、F 分别为 AB、AC 的中点，∴S△AEF=41S,V1=31h(S+41S+41S)=127ShV2=Sh-V1=125Sh，∴V1∶V2=7∶5 点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的 对应关系最后用统一的量建立比值得到结论即可题型 3：锥体的体积和表面积 例 5． 7. (2009 山东卷理)一空间几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积为( ).A.22 3 B. 42 3 C. 2 323 D. 2 343【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为2,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为 212 32333所以该几何体的体积为2 323.答案:C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.（2009 四川卷文）如图，已知六棱锥ABCDEFP 的底面是正六边形，ABPAABCPA2, 平面则下列结论正确的是A. ADPB B. PAB平面PBC平面C. 直线BC∥PAE平面D. 直线ABCPD与平面所成的角为 45°【【答案答案】】D 【【解析解析】】∵AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直，所以 A 不成立，又，平面 PAB⊥平面PAE，所以PAB平面PBC平面也不成立；BC∥AD∥平面 PAD, ∴直线BC∥PAE平面也不成立。

在PADRt中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°. ∴D 正确（2009 全国卷Ⅱ文）设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45°角的平面截球 O 的表面得到圆 C若圆 C 的面积等于47，则球 O 的表面积等于 × 答案：答案：8ππ2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由.8)14474(4422 RS例 61.(2009 年广东卷文)（本小题满分 13 分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体 ABCD－EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线 BD平面 PEG【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（２）该安全标识墩的体积为：P EFGHABCD EFGHVVV221406040203200032000640003 2cm（３）如图,连结 EG,HF 及 BD，EG 与 HF 相交于 O,连结 PO.由正四棱锥的性质可知,PO 平面 EFGH , POHF又EGHF HF平面 PEG又BDHFP BD平面 PEG；. 例 7．ABCD 是边长为 4 的正方形，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GB 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，且 GC＝2，求点 B 到平面 EFC 的距离？ 解：如图，取 EF 的中点 O，连接 GB、GO、CD、FB 构造三棱锥 B－EFG。

设点 B 到平面 EFG 的距离为 h，BD＝，EF，CO＝ 而 GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2 由，得· 点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解构造以 点 B 为顶点，△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一 性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算例 8．2009 年上海卷理）已知三个球的半径1R，2R，3R满足32132RRR，则它们的表面积1S，2S，3S，满足的等量关系是___________. DBAOCEF【答案】12323SSS【解析】2 114 RS，112RS，同理：222RS332RS，即 R1＝21S，R2＝ 22S，R3＝ 23S，由32132RRR得12323SSS例 9．（2009 安徽卷文）（本小题满分 13 分） 如图，ABCD 的边长为 2 的正方形，直线 l 与平面 ABCD 平行，g 和 F 式 l 上的两个不同 点，且 EA=ED，FB=FC， 和是平面 ABCD 内的两点，和都与平面 ABCD 垂直， （Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段 AD： （Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面 体 ABCDEF 的体积。

【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种 部分与整体的基本思想【解析】(1)由于 EA=ED 且'''EDABCDE DE C面 点 E'段 AD 的垂直平分线上,同理点 F'段 BC 的垂直平分线上. 又 ABCD 是四方形 线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线 即点 E'F'都居线段 AD 的垂直平分线上. . 所以,直线 E'F'垂直平分线段 AD. (2)连接 EB、EC 由题意知多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 E—ABCD 和正四面体 E—BCF 两部分.设 AD 中点为 M,在 Rt△MEE'中,由于 ME'=1, 3'2MEEE.EV—ABCD2114 2'22333SABCD EE四方形又EV—BCF=VC－BEF=VC－BEA=VE－ABC21112 2'223323ABCSEEV多面体 ABCDEF 的体积为 VE—ABCD＋VE—BCF=2 2例 10． （1） （2009 浙江卷理）如图，在长方形ABCD中，2AB ，1BC ，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将AFD沿AF折起，使平面 ABD 平面ABC．在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足．设AKt，则t的取值范围是 ．答案：1,12【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中点时，1t ，随着F 点到 C 点时，因,,CBAB CBDKCB平面ADB，即有CBBD，对于2,1,3CDBCBD ，又1,2ADAB，因此有ADBD，则有1 2t ，因此t的取值范围是1,12. 例 11．3.（2009 浙江卷文）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 3cm．【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法．【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1 3 39  ，上面的长方体体积为3 3 19  ，因此其几何体的体积为 18例 。