高三数学中档题冲刺训练.pdf

中档题训练中档题训练 1 1姓名21．从原点出发的某质点M，按向量a=0,1移动的概率为，按向量b=0,2移动的概率311为， 设M可到达点0,n的概率为Pn1） 求P1和P2的值；（2） 求证Pn2Pn1 Pn1Pn；33（3）求Pn的表达式2．18．如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E 是 BB1的中点.（1）求证：AE⊥平面 A1D1E；（2）求二面角 E—AD1—A1的正切值；（3）求顶点 A 到平面 C1D1E 的距离.3．已知平面向量 a a ( 3,1)，b b ( ,13) （Ⅰ）证明 a ab b；222（Ⅱ）若存在不同时为零的实数k和t，使x x =a a(t 3)b b ，y y ka atb b，且x xy y，试求函数关系式k  f (t)；（Ⅲ）据（Ⅱ）的结论，讨论关于t的方程f (t)k  0的解的情况4．已知函数f (x)  loga1 mx是奇函数(a  0,a 1)x 1(1) 求 m 的值； （2）判断f（x）在区间(1,)上的单调性并加以证明；（3）当a 1,x(r,a  2)时，f (x)的值域是(1,)，求a与r的值.（1）m=－1…………3 分（2）由（1） ，f (x)  logax 1(a  0,a 1).x 1任取x1x2(1,),设x1 x2,令t(x) x1,则t(x1) x11,t(x2) x21，x1x11x21x 1x212(x2 x1).t(x1)t(x2) 1x11x21(x11)(x21)x11,x21,x1 x2,x11 0,x21 0,x2 x1 0,t(x1)  t(x2),即x11x11x21x21.……………………………………6 分当a 1时,logax11x 1 loga2, f (x)在(1,)上是减函数；……7 分x11x21当 01时 ， 要 使f (x)的 值 域 是(1,)， 则logax 11，x 1x 1(1 a)x  a 1 a,即 0x 1x 1a 1a 1 0①………………………………10 分而a>1，∴上式化为x 1x 12 loga(1),∴ 当x>1时 ，f (x)  0.当又f (x)  logax 1x 1x  1时, f (x)  0.因而，欲使f (x)的值域是(1,)，必须x 1，所以对不等式①，当且仅当a 11 x 时成立.………………12 分a 1x r 1a 1a 2 ,解之,得r 1,a  23.…………………………14 分a 1a 1中档题冲刺中档题冲刺 2 2姓名1．设a、b是两个不共线的非零向量（t∈R）①若a与b起点相同，t 为何值时，a，tb，1（a+b）三向量的终点在一直线上？3aaa②若||=|b|且与b夹角为 60°，那么 t 为何值时|－tb|的值最小？2m1m1)a=(t)b解：①设a－tb=m[a－(a+b)](m∈R)化简得(3333m 2m21 0 3t 1∵a与b不共线 ∴2mt  0 311∴t=时，a、tb、(a+b)终点在一直线上232222②|a－tb| =（a－tb） =|a| +t |b|－2t|a| |b|cos 60°=（1+t2－t）|a|2,1∴t=23时，|a－tb|有最小值| a |2322．已知曲线L: y  ax bx cx d与y轴相交于点 A，以其上一动点 P（x0,y0）为切点的直线l与y轴相交于 Q 点.（Ⅰ）求直线l的方程，并用x0表示 Q 点的坐标；（Ⅱ）求limsinAPQ.x0sinAQP2Ⅰ）解：A(0,d),y  3ax22bxc,k  3ax02bx0cy  y0 (3ax02bx0c)(x x0),令x  0得yQ (3ax02bx0c)(x0) y0Q(0,(3ax02bx0c)(x0) y0)（Ⅱ）由正弦定理得：222sinAPQAQ| 3ax0 2bx0cx0 y0 d |2sinAQPAPx0 (y0 d)2| 2ax0bx0|x0 (ax0bx0 cx0)2322323232| 2ax0bx0|sinAPQ| 2a | lim lim 2232x0sinAQPx2| a |x0 (ax0bx0 cx0)AC  2a,BB1 3a,D3． 如图， 直三棱柱ABC  A1B1C1中， 底面是以ABC为直角的等腰三角形，是A1C1的中点，E是B1C的中点。

（1）求异面直线BE,CA1所成的角； （2）段AA1上是否存在点F，使CF  平面B1DF？若存在，求出AF的长；若不存在，说明理由B1C1A1DEFCBA4．已知常数a>0，向量c c=（0，a） ，i i=（1，0） ，经过原点O 以 c c+λi i 为方向向量的直线与经过定点 A（0，a）以 i i－2λc c 为方向向量的直线相交于点 P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.∵i=（1，0） ，c=（0，a） ，∴c+λi=（λ，a） ，i－2λc=（1，－2λa）.因此，直线 OP 和 AP 的方程分别为y  ax和y  a  2ax.22消去参数λ，得点P(x, y)的坐标满足方程y(y  a)  2a x.a(y )221.……①因为a  0,所以得：整理得x1a( )2822（i）当a 2时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和 F；2（ii）当0  a 2时，方程①表示椭圆，焦点E(11a2,a)和F(11a2,a)为合2222222乎题意的两个定点；（ iii ） 当a 2时 ， 方 程 ① 也 表 示 椭 圆 ， 焦 点E(0,1(a a21))和22211F(0,(a a2))为合乎题意的两个定点.22中档题冲刺中档题冲刺 3 3姓名1．袋中装有m个红球和n个白球，m  n  2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同.从袋中同时取出 2 个球.(1)若取出是 2 个红球的概率等于取出的是一红一白的2 个球的概率的整数倍，试证m必为奇数；(2)在m，n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求适合m  n  40的所有数组m,n.2．设函数f (x)  4sin xsin (2x)  cos2x(x R)。

（1）求函数f (x)的值域；42（2）若对任意x2,都有| f (x)m| 2成立，求实数m的取值范围633．如图，在三棱锥 P—ABC 中，△ABC 是正三角形，∠PCA=90°，D 是 PA的中点，二面角 P—AC—B 为 120°，PC=2，AB=23. 取 AC 的中点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，BD 交 z 轴于点 E.（I）求 B、D、P 三点的坐标； （II）求 BD 与底面 ABC所成角； （Ⅲ）求三棱锥 P—ABC 的体积x  004．已知函数fx， （1）在区间0,3*nx -n -1 fn1n -1 x  n,nN上描绘y  fx的图象； （2）求fn； （3）设Saa  0为由x轴，y  fx的图象与直线x  a所围成的图形面积当a为自然数时，求Sn Sn 1； （4）在（3）的条件下，求Sa并满足Sa100的最小自然数a备用题）（备用题）观察下列数表，问此表最后一个数是什么，并说明理由．1 2 3 497 98 99 100 3 5 7 195 197 199 8 12 392 396 20 7881yo1x解：解：若记第k行的第n个数为b(k,n)，则有b(k,1)b(k1,1)b(k1,2)2b(k1,1)2k2,b(100,1)2b(99,1)298，b(100,1)298b(99,1)2971b(98,1)296 2 b(2,1)2098  398 101，b(100,1)101298，即此表最后一个数是1012．98中档题训练中档题训练 4 4姓名A B5A B1．已知：A、B 是ABC 的两个内角，m  cosi sinj，其中i、j为222相互垂直的单位矢量。

若 |m|=3 2，试求 tanA·tanB 的值42.一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是m（0＜m＜1)如图，有如下三种联接方法：①②③（1）分别求出这三种电路各自接通的概率；（2）试分析这三种电路哪种性能最优，并证明你的结论.解：（1）三种电路各自接通分别记为事件 A1、A2、A3，则 P（A1）=m3…………3 分P（A2）=1－（1－m）3=3m－3m2+m3………6 分P（A3）=2（1－m）m2+m3=2m2－m3……9 分（2）P（A2）－P（A1）=3m－3m2=3m（1－m）∵0＜m＜1∴P（A2）＞P（A1）………10 分P（A2）－P（A3）=2m3－5m2+3m=m（2m－3） （m－1）＞0∴P（A2）＞P（A3）…………11 分三个电子元件并联接通的概率最大，故性能最优………………12 分3．空间内有三点A1,0,0,B0,2,0,C0,0,3（1）对满足APBP 2CP 0的动点P，证明：点P到一定点Q的距离为定值； （2）证明（1）中的定点Q在三点A,B,C确定的平面内； （3）对（1）中的点P，求四面体ABCP的体积的最大值。

324. 4.设fx x 6x 9x， （1）画出y  fx的草图，并在x  4的范围内求y  fx的最大值； （2）对于实数a，由a1 a, an1 fann N，所确定的数列an，如果存在一个自然数m， 使am 4， 则a  4， 试证明之3） 若对于任意正实数x1,x2， 当x1 x2时，都有fx1 fx2 m成立，求实数m的最小值中档题训练中档题训练 5 5姓名1．甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ、η的分布列为：123123ξηpa0.10.6p0.3b0.3（1）求 a、b 的值；（2）甲、乙两名射手在一次射击中的得分均小于3 的概率谁更大？（3）计算ξ、η的期望与方差，并以此分析甲乙的技术状况.2．如图为一几何体的展开图:66 2666 (单位:cm)6 2（I）沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种特殊几何体？并请画出其直观图，比例尺是1；2（II）需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6cm 的正方体 ABCD—A1B1C1D1，请画出其示意图（需在示意图中分别表示出这种几何体） ；（Ⅲ）设正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱 CC1的中点为 E，试求：异面直线 EB 与 AB1所成角的余弦值及平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的余弦值。

解： （Ⅰ）有一条侧棱垂直于底面的四棱锥……（1 分）……（3 分）（Ⅱ）需要 3 个这样的几何体……（5 分）（Ⅲ）①取 DD1中点 F，连 AF，则 AF∥BE∴∠FAB1为异面直线 EB 与 AB1所成的角……（6 分）易计算得 B1F=9，AF=35，AB1=62FA2 AB1 FB145728110∴cos∠FAB1=2FA AB11023 56 2∴异面直线 EB 与 AB1所成角的余弦值为2210……（8 分）10②设 B1E、BC 的延长线交于点 G，连结 GA，则 GA 为平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的棱……（9 分）在底面 ABC 内作 BH⊥AG，垂足为 H.连结 HB1，由三垂线定理知：B1H⊥AG，∴∠B1HB 为平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的平面角……（10 分）在 Rt△ABG 中，BH=61236144125∴HB1=BH2 BB121441836 5512∴cos∠B1HB=HB52HB118352……（12 分）3∴平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为3．某人准备投资 1200 万元兴办一所完全中学， 为了考虑社会效益和经济效益， 对该地区教育市场进行调查，得出一组数据表（以班级为单位） ：初中高中班级学生数配备教师数硬件建议（万元）教师年薪（万元）60402．02．528581．21．6根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费以外每个学生每年可收取600 元，高中生每个学生每年可收取1500 元，因生源和环境条件限制，办学规模以 20 至 30 个班为宜，教师实行聘任制.初、高中的教育周期均为三年，请你合理地安排招生计划，使年利润最大.解：设初中编制为 x 个班，高中编制为 y 个班，则20  x  y  30,28x 58y 1200（1）（2）其中x  0, y  0,x, yZ…………(4 分)记年利润为 S，那么S  3.6x  6y  2.4x  4y 1.2x  2y（3）作出（1） 、 （2）表示的平面区域，如图所示问题转化为在阴影部分求S 1.2x  2y的最大值.联立x  y  30，28x 58y 1200解得点 A 的坐标为（18，12） ，将 x=18,y=12 代入（3） ，得Smax 45.6………（10 分）4．已知( x1,y1)、( x2,y2)、… 、( xn,列，且满足yn)是双曲线x2 y21右支上的点xny2n1。

xn1xn11⑴ 求证：点列(xn, yn)在同一直线上，并说出该直线与双曲线x2 y21的交点个数；1，求数列xn、yn的通项；2⑶ （理）在⑵的条件下，当n1,20且n N,n 10，cn log1ynlog111yn10，⑵ 若x133求数列cn的最大项与最小项文）在⑵的条件下，当n1,20且n N,n 10，cn大项与最小项解：(1)( xn)2( yn)21,yn xn1,(xn, yn)在直线x  y 1 0上（2 分）∵与渐近线y  x平行，∴直线与双曲线只有一个公共点（3 分）（2）yn,求数列cn的最11yn10xnyxxn112n1,n,得xnxn1 xn xn1（5 分）xn1xn1xn1(xn11)(xn11)1xn1∴1 1 1111，即：， 2,1,是等差数列（7 分）xnxxnxn1x1n∴1 n11（9 分）yn xn1（10 分） (n 1)1 n 1，∴xnn 1n 1xnx1 nynnn 1 log1 log1（3） （理）Cn log1（12 分） n11y 10n 10n3311(3) 10n 1①n1,9，Cn log1n（13 分） ，∴Cn是关于n的减函数，10n3∴最大项C1 log119，最小项C9 log1 2（14 分） 2(15 分)10110933②n11,20,Cn log13n 10,∴Cn是关于n的增函数， log1n10n1033最大项C20 log12  log32，最小项C11 log111 log311（17 分）3综合知，最大项C1 2，最小项C11 log311（18 分）（文）Cnynn101,9是减函数，(13 分)，①n111yn10n 10n 10最大项C1 1，最小项C9 9（15 分）9②n11，,20，最大项C1111，最小项C20 2（17 分）综合知最大项C1111，最小项C9 9（18 分）。