量子力学讲义34.docx

1第 3 章 量子力学中的力学量§1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号ˆAuv表示  把函数 u 变成 v，  就是这种变换的算符为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^ ”号但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符 Â，称为线性算符1212ˆˆ()AccA其中 c1, c2 是任意复常数， 1, 2 是任意两个波函数例如：动量算符 ˆpivh，单位算符 I 是线性算符2、算符相等若两个算符 Â、 ˆB对体系的任何波函数  的运算结果都相同，即 ˆAB，则算符  和算符 ˆ相等记为 A3、算符之和 若两个算符 Â、 ˆB对体系的任何波函数  有： ˆˆˆ()ABC，则ˆAC称为算符之和ˆˆA， ˆˆ()()C4、算符之积算符  与 ˆB之积，记为 ˆ，定义为()()AC 是任意波函数一般来说算符之积不满足交换律，即 ˆAB25、对易关系若 ˆAB，则称  与 ˆB不对易若 ，则称  与 对易若算符满足 ˆA， 则称 ˆ和 反对易。

例如：算符 x, pixh不对易证明：(1) ˆ()xix(2) ih显然二者结果不相等，所以：ˆxp ()ih因为  是体系的任意波函数，所以 ˆxpi对易关系同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆyih， ˆzpih但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易ˆ0yzxp，ˆ0xzyp，ˆ0xyzpˆˆxyx， ˆˆyzy， ˆˆzxz0， 0z， 0zzp写成通式(概括起来)：ˆxpih (1)0ˆˆ 其中 ,,xyz或 12,3量子力学中最基本的对易关系3注意：当  与 ˆB对易， ˆ与 Ĉ 对易，不能推知  与 Ĉ 对易与否6、对易括号( 对易式) 为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：ˆˆ[,]A 这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：ˆ[,]xpih不难证明对易括号满足下列代数恒等式：1) ˆˆ[,][,]AB 2) ˆ[,]CA 3) ˆˆ[,],BC ， ˆˆˆ[,][,],ABC， ]ˆ,[]ˆ,[BAk4) ˆ[],0AB ——称为 Jacobi 恒等式。

角动量的对易式：(1)在直角坐标系中角动量算符的对易关系角动量算符 ˆˆˆxyzlrpirlelvvvhˆl在直角坐标中的三个分量可表示为ˆˆ()xzylpizyyxzlixhˆˆ()zyxlpiy[,]xyzlilh， [,]yzxli， ˆˆ[,]zxylilh （要求会证明）ˆvˆlilv是角动量算符的定义式4ˆˆ[,]lilh式中   称淡 Levi-Civita 符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：123其中 ,,xyz或 ,证明： ˆ[]lih或 ˆ[,]lxih ,,xyz,plip 或 ˆˆ[,]lpi2ˆ[,]0lv(2)在球坐标系中角动量算符的对易关系ˆ(sincos)xltghˆ(coin)ylitˆzlih2 211ˆ[(sin)]isilv 2ˆ,xyzll和只与  , 有关，与 r 无关，而且 ˆzl只与  有关22yx2222 sin1)(sini1)(1 rrr或 2ˆrplvh2ˆrplvh其中 ),1(ˆripr)(1ˆ2rr， rˆ可称为径向动量算符。

3)角动量升降阶算符(I) 定义5ˆxylil， ˆxyli显然有如下性质 ˆl， ˆl这两个算符不是厄密算符II) 对易关系ˆ[,]zlˆlh， 2ˆ[,]0lv， 2ˆˆzllvh， 2ˆˆzllvh7、逆算符(1). 定义: 设 Â = , 能够唯一的解出  ， 则可定义算符  之逆 Â-1 为: 1ˆA (2).性质 I: 若算符  之逆 Â-1 存在，则1ˆˆAI, [,]0(3).性质 II: 若 Â, ˆB均存在逆算符, 则11()A8、算符函数设给定一函数 F(x)，其各阶导数均存在，其幂级数展开收敛 ()0!nx则可定义算符  的函数 F(Â)为 : 0ˆˆ()!nA补充：定义一个量子体系的任意两个波函数(态)  与  的“标积”*(,)dd是指对体系的全部空间坐标进行积分，d 是坐标空间体积元例如对于一维粒子： x对于三维粒子： dydz6可以证明 *1212**(,)0(,),(,)(,)(,cc9、转置算符算符  的转置算符 ˆA%定义为**d即 ˆˆ(,)(,)式中  和  是两个任意波函数。

例如： x%（证明）ˆp可以证明： ²ˆ()AB10、复共轭算符算符  的复共轭算符 Â*就是把  表达式中的所有量换成其复共轭但应注意，算符  的表达式与表象有关11、厄米共轭算符 算符  之厄米共轭算符 Â+定义为：或 **ˆˆ()dAdˆ(,)(,)A厄密共轭算符亦可写成：*ˆ%可以证明: ˆ()ABˆCBAL12、厄米算符 (自共轭算符)(1). 定义： 满足下列关系的算符称为厄米算符.**ˆˆ()dAˆ(,)(,)A7或 ˆA(2). 性质性质 I：两个厄密算符之和仍是厄密算符性质 II：两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易 三、算符的本征方程如果算符  作用于函数  的结果，等于某一常数乘以  ，即(2)ˆA那么称 为算符  的本征值，  为算符  的属于本征值 的本征函数方程(2)称为算符  的本征方程§2 动量算符和角动量算符一、动量算符hvipˆ1、动量算符的厄密性（证明）2、动量算符本征方程)()(ˆrprvv，即 ()()ppirvvh采用分离变量法，令： ()()prxyzv代入动量本征方程()()ppirvvh ()prxyzv()xyzp123xyziiippcecehhiprv(1)可取任意实数值，即动量算符的本征值 v组成连续谱，相应的本征函数为(1)式所表示的)(rpv，这正是自由粒子的 de Broglie 波的空间部分波函数。

归一化系数的确定 ①、归一化为  函数取 2/3)(hc，则 )(rpv归一化为 函数，8*()()prdp vv (2)riperhv2/3)(1（3）一维情况： xpipxh②、箱归一化箱归一化方法仅对平面波适用，而归一化为  函数方法对任何连续谱都适用二、角动量算符1、角动量算符的形式 ˆˆlrpirvvh(1)、直角坐标系它在直角坐标系中的三个分量是：ˆˆ()xzylpizyhyxzlixˆˆ()zyxlpiyh 角动量平方算符 22xyzllv222ˆˆˆ()()zyxzyxppp])[( h(2)、球坐标利用上述变换关系可以得到 2ˆˆ,xyzllv和 在球坐标中的表示式是ˆ(sincos)xltghˆ(coin)ylitˆzlih92 211ˆ[(sin)]isilvh 2ˆ,xyzll和只与  , 有关，与 r 无关，而且 ˆzl只与  有关2、 z的本征值和本征函数 ˆzlih为了求出 zl的本征值 lz 和本征函数  ()，我们解下列本征方程：ˆzzll()()zilh  ˆzl的本征值为： ,zlmL,210 式中的 m 习惯上称为磁量子数。

相应本征函数： ()2imme角动量在空间的任何方向的投影都是量子化的，它的值只能是 0, ħ,  2ħ,  ，而不能是其他的值3、 2ˆlv的本征值和本征函数2 211ˆ[(sin)]isilvh设 2ˆlv的本征值为 2l，本征函数为 Y( ,)，本征方程为2ˆlv在球坐标系中， 2ˆl只与  ,  有关，所以 ),(，则2211[(sin)]isiYlvh(6)令 2lv， ,)Y，其中 ( )只是  的函数，  ()只是  的函数，由(6)式可得1022[sin(i)()()]sin()22i 1(i)sin)ddm令 2ˆlv的本征值为 l(l+1)ħ2，所属的本征函数为 Ylm( , )，L210l； l,K10Ylm( ,) 正交归一条件为： 2*0(,)(,)sinlml lmd 说明：(1)、由上面结果可知 2ˆv的本征值为 l(l+1)ħ2，所属的本征函数为 Ylm( , )，,)1(,)lmlmYh， L,210l L,210m显然， 2()lh只能取 ,6,02Lh一系列离散值，由于 l 是表征角动量的大小，所以称 l 为角量子数。

2)、 ˆ(,)(,)zlmlmY Ylm( , )即是 2v的本征函数，也是 ˆzl的本征函数，其相应的本征值分别为 l(l+1)ħ2，mħ即球谐函数 Ylm( , )是 2ˆ,zl的共同本征态(3)、我们把一个本征值只对应一个本征函数的情况称为非简并；把对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并，把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度 2ˆlv的本征值是(2l+1)度简并的4)、通常把 L,3210的态，依次称为 L,,fdps态，而把处于这些态的粒子称为,,fdps粒子4、平面转子的能量本征值与本征态： 绕 z 轴转动的平面转子的能量经典表达式为2zlEI，I 为转动惯量，l z 为角动量2ˆzlHI2h11能量本征方程表为 2EIh Ĥ 的本征值为： 02Im相应的本征函数为： 1()ime， L,215、空间转子的能量本征值与本征态： 绕一固定点转动的空间转子的能量经典表达式为2lEI，I 为转动惯量，l 为角动量 2ˆlHIv Ĥ 的本征值为： Ill2)1(h相应的本征函数为： ),(lmY， L,0l； L,20m例：证明 ,1 ,1ˆ1())lml lmYlY hh例：证明在 lz 本征态 Ylm 下， xyl§3 厄米算符的本征值与本征函数一、厄米算符的平均值定理 I：体系任何状态  下，其厄米算符的平均值必为实数。

（证明）逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符 （证明）推论：设 Â 为厄米算符，则在任意态  之下2*2ˆAd*ˆ()dA0二、厄米算符的本征方程1、涨落涨落定义为 2()A2ˆ)证明 2()ˆ02、力学量的本征方程12若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量 A 所得结果是唯一确定的，即： 2()0A。