数列不等式证明策略(共享).doc

数列不等式证明策略数列与不等式都是数学高考中的重点内容，将两者结合起来的问题，我们称之为数列不 等式问题.数列不等式问题，是近年来髙考命题新宠.解决该类问题，有吋既要用到不等式 的思路与方法，乂要结合数列本身的结构与性质.策略一数学归纳法数学归纳法是一种重要的数学证明方法和思想方法，有广泛的应用.用数学归纳法证明一个与正整数/I有关的命题的步骤是：（1） 证明当n取第一个值® （例如％ = 1或2等）时结论正确；（2） 假设当xk （kwM, 时结论正确，证明当n=k + l时结论也正确.完成了（1）和（2）,就可以断定命题对于从如开始的所有正整数77都正确.证明不等式 l + -L + _L + ... + _L<2V^(/?e/V-)证一用数学归纳法:（1）当〃 =1吋，1<2,不等式成立.（2）假设当n = k时不等式成立,即1+A+A+…+厶< V2 V32仮,那么（1+亠 +丄+ ••• +丄） + -^=v2VT + -?J=,V2 a/3 y/k VT+1 VI+1而2后亠座耳“+ EW当n = k+ \时不等式也成立.利用递推关系：因为丄二厂厂v丿/2ylk 4k+4k 4k+4k二i因此,证二, =2VT+T ,由（1）和（2） 口J知，对一切neN\ 不等式成立.1 1 =VT-VT^T,即得~^= < 2(哌 一 4k^\)(k e/V*).把上式的k遍取1, 2,…，斤,就有1 < 2(y/l — >/()) f v 2(V^ — V?), ~j=~< 2(^3 — \/2),…，< 2(Vz? — yjn — .把以上各式两边相加，即得1 +17T<2y/n •例2已知函数f(x) = ax--x2的最大值不大于丄，又当xg［-1］时，2 6 4 2 8(I )求a的值；(II )设 0<。

］< 丄，atl+l = f (an) , nwN",证明 an < ・2 n +1（1 ）解法：由于f（x） = ax--x2的蝕大值不大于丄，所以/（-） = — 0 , xe(0,—),所以 0 0, 1 —兔 > 0 ,3 11 + 伙 + 2 - —)ak 1 + 伙 + —)ak2 ]2= [ 2_『< 1 .?2“ 3所以伙+ 2)a * • (1 —兔)W ［于是°<兔+1 V丄k十2因此当ni+l时，不等式也成立.根据(i) (ii)可知,对任何nwN=证法三：⑴当心时，0<.<1,(ii)假设n = R(Ml)时,0© 2 3-再；（2） 设仇=陥-色⑺= 1,2,3,…），求数列｛"｝中的项的最大值.n na（1）证法一：由色+产（1 +歹）色知色+]-色二亍,（归,2,3…）① 当/? = 10寸，由（1）有：-a,=—=丄>0,不等式成立.- 2 2L J- 1② 假设n=kgN\时不等式成立•即a如〉％ 2 3-»也三（1 +=3 +k-2 k k+12& 2& 2^一1•••kwN* 时，2k =(1 + 1/ =l + C：+・・・ + l$k + lI" 4- 0 77 4- 1线+。

3_于,即归+1时不等式成立.由①②可知陽+] >〜$3-券5 = 1,2,3…）证法一：由 a”*] = (1 + —)^,得• Q”+i - ％ = -V)易知°“+1 >% $1，•: % 一陽 $y(〃T,2,3,…)m +> zi_t 、1 2 3 n — 1累加伺•： Q“ 一坷2㊁+尹+卫+ ••• + □〒用错位相减法可求得丄+ 3 + 2 + ・・・U = 2-" + 12 22 23n-\2打—1 2"—|(2) bn = an+} -an>o.n + l令hi > %得:化+1 二讦色‘二兀+1 %+1 二斤 + 1 (11 斤)二]bn !La 2n an In 2"整理得：n(n +1) > (n -1)2"又川23日寸,2">n + 3,・・・n = l,2从而知:b3>b2>blf b3>b4>b5>---3 27・•・数列｛bn｝中的项的最大值为b3=-a.=—.o 32策略二命题加强法有些数列不等式问题直接证明原问题比证明其某个加强命题更困难，这时，我们不妨“欲 擒故纵”，先通过证明原问题的某个“更强的命题”，从而“顺手牵羊”地解决原问题.这种 方法我们称之为命题加强法，它是证明数列不等式问题的一种有效方法•从不等式的结构形 式看，加强命题证明数列不等式可分为三类：1. 同侧加强对所证不等式的同一方向（可以是左侧，也可以是右侧）进行加强，如欲证/（n）0).其中B的探寻可通过分析、归纳或直接放缩得到.2. 对所证不等式的异侧进行加强，如要证f(n)B)・异 侧加强能为数为归纳法从R到k + 1的顺利过渡创造条件.因此，它往往与数学归纳法“联袂 登台”.3. 双向加强冇些不等式，往往是某个一般性命题的特殊情况，这时不妨“返璞归真”，通过双向加强 还原其本來而目，从而顺利解决原不等式.其基本原理为：欲证只要证明 A + C< f(n) v B - C(C > 0, A > B).例1数列｛〜｝满足：q=2,d”+严生+丄，求证：1<«Z,<- +丄.2 % 2 n解：数列匕｝的递归函数为/(%) = - + -,由f(x) = x求得具不动点为土血，为此，可2 jc求出通项公式再进行放缩证明，当然，也可不求通项公式，先证明其加强命题42近.2 % V 2另一方血,"今+存字+令"+护后占当〃 = R + 1时，血Vd”V血+丄也成立.n因此,血+丄<° +丄.n 2 n例 2 已知数列｛%｝满足：勺=5, a2 = 5 , d“+] = a” + 6d”j (n $ 2)(1) 求 a”； (2) 求证： — + — + ••• + — <—(/? e /V+)a\ a2 an 2证明:(1)由已知可得an=3n-(-2)n(2) 当斤=1时，，左=丄=丄，右=丄 二不等式成立.角 5 2将所证命题加强为证：S“ =丄+丄+…+丄W丄・(1-- ) S2 2)现在% 。

2 an 2 3" -(一2)"用数学归纳法证明.当72 = 2 吋，左=丄 +丄=丄 +丄 =2, 右=丄(1 !—)=丄(1 ——)・••左 W右.q 色 5 5 5 2 9-4 2 5 5贝IJ当料= R + 1时G+I =丄+丄+…丄+丄ai a2 ak 务+1< 丄 3“_(-2)“》+丄 2——2 3*—(—2)* 2 3a+1-(-2/+1只要证:1 3* -(-2)* -1 1 2 一 1 3如 -(-2)如-1 1 w 2 3a -(-2/ 2 3"+,-(-2/+, 2 3^-(-2)冋=3* 一(_2)“ -1 § 3 如-(-2)w-3 = _zJ_ 冬 12__3* - (一2)* - (一2)3 3* -(-2/ 3⑷-(-2/+,7<=3如一(一2)却 2 3“ 一(一2)“ u 2 • 3*2 -3 • (—2)“ u (--/+1 W1 (显然成立)・・・曲+ 1时,不等式也成立.综上可得以冷(1 一是矛)V.例3已知数列⑺“｝满足：,且Q”=—%"""——(心2,nw N"). 2 2%_| + n -1(1) 求数列｛"”｝的通项公式；(2) 证明对一切正整数料，不等式q.d••…^<2-«!恒成立.解：(1)将条件变为1-工=丄(1 - 口)，因此｛1-—｝为一个等比数列.其首项为吩斗公式比畤从而吒专，据此得仔"3”3”「心1).①5 3 山_| ①(T)(2)证明：据①，得q •禺 an = ：—_ (一捫为证坷a2 an <2-n!,只要证n gN*时有(1——)-(1-显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个皿有(1-*)(1-*)•••(“ J 1 1、2 1 —(一 + —7 + …+ —) •3 3 3"丿IJ数学归纳法证明③式：1。

〃 = 1时，③式成立，U即(1弓(1-*)…(1-护 1-—…+*),贝lj 出” =R + 1 时，(1 )(1 ―)…(1 — M [1 - ( 1 + …+3 3- 3 3-1/11 1、 1 1 J 1尹+…+孑)一莎+ +尹+…+不& 羽+…+即当“ + 1时，③也成立.故对一切nwN",③式都成立.1 1 1 。