1963年全国统一高考数学试卷.doc

1963 年全国统一高考数学试卷一、解答题（共 10 小题，满分 100 分）1． （10 分）已知，求的值．2． （10 分）已知复数求． （1）求它的模及辐角； （2）作出图，把这图反时针方向转 150°，求这时的复数．3． （10 分）如图，AD、AE、CB 都是⊙O 的切线，AD=4，则△ABC 的周长是 _________ ．4． （10 分）在一个二面角内有一点，过这点分别作两个平面的垂线，求证棱垂直于这两条垂线所决 定的平面．5． （10 分）根据对数表求 23.28﹣101的值．6． （10 分）解方程 sin3x﹣sinx+cos2x=0．7． （10 分）在实数范围内解．8． （10 分）已知 1、2、3、4、7、9 六个数． （1）可以组成多少没有重复数字的五位数； （2）其中有多少个是偶数； （3）其中有多少个是 3 的倍数．9． （10 分）如图是某市晚报记者在抽样调查了一些市民用于读书、读报、参加“全民健身运动”等休 闲娱乐活动的时间后，绘制的频率分布直方图（共六组） ，已知从左往右前五组的频率之和为 0.94， 如果第六组有 12 个数，则此次抽样的样本容量是 _________ ．10． （10 分）半径为 1 的球内切于圆锥（直圆锥） ，已知圆锥母线与底面夹角为 2θ．（1）求证：圆锥的母线与底面半径的和是；（2）求证：圆锥全面积是；（3）当 θ 是什么值时，圆锥的全面积最小？1963 年全国统一高考数学试卷 参考答案与试题解析一、解答题（共 10 小题，满分 100 分）1． （10 分）已知，求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用． 分析：对分子分母同时除以 cosθ 即得答案．解答：解：∵， ∴cosθ≠0，将原式分子与分母除以 cosθ，则．点评：本题主要考查 tanθ=，这种题型在考试中经常遇到，要引起注意．2． （10 分）已知复数求． （1）求它的模及辐角； （2）作出图，把这图反时针方向转 150°，求这时的复数．考点：复数的基本概念；复数求模． 分析：（1）把复数的代数形式化为三角形式，得到复数的模和夹角，注意三角形式的写法． （2）本题可以采用作图法来解决，这样思路清晰，也可以通过旋转来解决，会用到特 殊角的三角函数值，不要出错． 解答：解：（1）1+=2（cos+isin） ，∴r=2∴；（2）由图可知，复数沿反时针方向转 150°后，得到的复数为．点评：本题是对复数两种形式的考查，要对复数的两种形式变换自如，这种题目一般不会出成 解答题，而是以选择和填空形式出现．3． （10 分）如图，AD、AE、CB 都是⊙O 的切线，AD=4，则△ABC 的周长是 8 ．考点：与圆有关的比例线段． 专题：计算题． 分析：根据切线长定理，将△ABC 的周长转化为切线长求解． 解答：解：设⊙O 与 BC 相切于点 F， 根据切线长定理得： AE=AD，CE=CF，BD=BF， ∴△ABC 的周长=2AD=8． 故填：8． 点评：本题考查了与圆有关的线段，主要考查了切线长定理的应用．是容易题．4． （10 分）在一个二面角内有一点，过这点分别作两个平面的垂线，求证棱垂直于这两条垂线所决 定的平面．考点：直线与平面垂直的性质． 专题：证明题． 分析：欲证 CD⊥面 APB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 CD 与面 APB 内两相交直线 垂直，而 PA⊥平面 α，则 PA⊥CD，PB⊥平面 β，则 PB⊥CD，而 PA∩PB=P，满足定理条件． 解答：证：∵PA⊥平面 α， ∴PA⊥CD PB⊥平面 β， ∴PB⊥CD． 而 PA∩PB=P 故 CD 垂直于由 PA，PB 所决定的平面． 点评：本题主要考查了直线与平面平行的性质．应熟练记忆直线与平面平行的性质定理，属于中档 题．5． （10 分）根据对数表求 23.28﹣101的值．考点：对数的运算性质． 专题：计算题；综合题． 分析：根据对数的运算性质，直接求对数值，然后查对数表，求出求 23.28﹣101的值．解答：解：lg23.28﹣101=﹣101lg23.28=﹣101×1.3670=﹣138.0670=+1﹣0.0670=．∴23.28﹣101=10﹣139×8.570=8.570×10﹣139．点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．6． （10 分）解方程 sin3x﹣sinx+cos2x=0．考点：两角和与差的正弦函数． 专题：常规题型． 分析：先由 3x=x+2x 根据两角和与差的正弦公式化简得到 cos2x（2sinx+1）=0，再分别令 cos2x=0、2sinx+1=0 可得答案． 解答：解：sin3x﹣sinx+cos2x=0，2cos2x•sinx+cos2x=0， cos2x（2sinx+1）=0，由 cos2x=0，2x=2kπ+，x=kπ±． （k 为整数）由 2sinx+1=0，sinx=﹣ ，x=kπ+（﹣1）k（﹣）=kπ+（﹣1）k+1． （k 为整数）点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式．属中档题．三角函数部分公式比较多不容易记，要给 予重视，7． （10 分）在实数范围内解．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 专题：计算题． 分析：（1）×3+（2）2得 2x2﹣5xy﹣3y2=0，由此推导出 x=3y，x=﹣ ，再分别代入（1） ，能解出这个方程组的解． 解答：解：（1）×3+（2）2得 2x2﹣5xy﹣3y2=0，∴（x﹣3y） （2x+y）=0，∴x=3y，x=﹣ ，将 x=3y 代入（1） ，解得 y=，x=．将 x=﹣ 代入（1） ，解得 y=±2，x= 1． 经检验可得方程组的解为或．点评：本题考查二元二次方程和无理方程的知识点，解题时要注意公式的合理运用．8． （10 分）已知 1、2、3、4、7、9 六个数． （1）可以组成多少没有重复数字的五位数； （2）其中有多少个是偶数； （3）其中有多少个是 3 的倍数．考点：排列及排列数公式；排列、组合的实际应用． 专题：计算题． 分析：（1）根据题意，要求不能重复，是排列问题；由排列的公式，分析计算可得答案； （2）由这六个数组成的五位数要为偶数，其末位数字只能是 2 和 4，分别计算末位数的取法 情况与其余四位数字的取法情况，由乘法计数原理计算可得答案； （3）根据被 3 整除的数的性质，分析可得，这个五位数的数字的和是 3 的倍数，进而分析可 得只有 1、3、4、7、9 五个数字的和是 3 的倍数，由排列数公式计算可得答案． 解答：解：（1）没有重复数字的五位数共有 P65=720（个） ；（2）由这六个数组成的五位数要为偶数， 其末位数字只能是 2 和 4， 故末位数的取法有 C21种， 当末位数字取定后， 其余四位数字的取法只有 C54•P44种． 由此可得组成的偶数的个数为 C21•C54•P44=240（个） ；（3）五位数要为 3 的倍数， 必须组成它的数字的和是 3 的倍数， 这里只有 1、3、4、7、9 五个数字的和是 3 的倍数， 故共有 P55=5!=120（个） ． 点评：本题考查组合、排列的运用，解此类题目时，注意两者的区别与联系．9． （10 分）如图是某市晚报记者在抽样调查了一些市民用于读书、读报、参加“全民健身运动”等休 闲娱乐活动的时间后，绘制的频率分布直方图（共六组） ，已知从左往右前五组的频率之和为 0.94， 如果第六组有 12 个数，则此次抽样的样本容量是 200 ．考点：频率分布直方图． 专题：计算题；图表型． 分析：根据频数分布直方图中每一组内的频率总和等于 1，计算可得第六组的频率，又因为第六组 的频数，进而根据频率的计算公式计算可得答案． 解答：解：根据频数分布直方图中每一组内的频率总和等于 1，可知第六组的频率为 1﹣0.94=0.06，又因为第六组有 12 个数， 所以此次抽样的样本容量是 12÷0.06=200； 故答案为 200． 点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时， 必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．10． （10 分）半径为 1 的球内切于圆锥（直圆锥） ，已知圆锥母线与底面夹角为 2θ．（1）求证：圆锥的母线与底面半径的和是；（2）求证：圆锥全面积是；（3）当 θ 是什么值时，圆锥的全面积最小？考点：基本不等式在最值问题中的应用；组合几何体的面积、体积问题；旋转体（圆柱、圆锥、圆 台） ． 专题：计算题；证明题． 分析：（1）过球心 O 与直圆锥底面的中心 O1作一平面与圆锥和球的截面进而可知△SAB 为等腰三 角形联 OB，则∠OBO1=θ 设圆锥母线长为 l，底面半径为 R，进而可表示 l 和 R，代入 l+R 中 化简整理即可证明原式． （2）把（1）中求得 l 和 R 代入圆锥的全面积=πR（l+R）中化简整理即可证明． （3）在圆锥全面积的表达式中，因其分子为常数，所以欲使全面积最小，必须使其分母最大．进而根据正切函数的性质可知时，全面积最小，进而求得此时的 θ．解答：证明：（1）过球心 O 与直圆锥底面的中心 O1作一平面与圆锥和球的截面如图． 因此，△SAB 为等腰三角形联 OB，则∠OBO1=θ 设圆锥母线长为 l，底面半径为 R，则 l•cos2θ=R，又，∴，∴====．（2）圆锥的全面积=πR（l+R）==．（3）在圆锥全面积的表达式中， 因其分子为常数， 所以欲使全面积最小， 必须使其分母最大．．因此，欲使 tg2θ（1﹣tg2θ）最大，必须， （因必为锐，所以仅取正号）．故当 θ 取值时，圆锥的全面积最小．点评：本题主要考查了组合几何体的面积和体积的问题．涉及到三角函数的性质和函数的最值问题， 综合性很强．。