收敛数列的性质.docx

收敛数列的性质§２ 收敛数列的性质 教学内容：收敛数列的性质，四则运算法则，子数列 教学要求：使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；清楚子列概念，明确数列与其子列敛散性关系 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用 教学难点：数列极限的计算 教学方法：讲练结合 教学学时：4学时 u 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证liman=a的方法，这是极限较基本的内容，要n®¥求掌握为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题还需要对数列的性质作进一步讨论 一、收敛数列的性质： 定理2.2若数列{an}收敛，则它只有一个极限 分析：设数列{an}有两个极限a,b，只需证明a=b，即证a-b可小于任一给定充分小的数 证明：设liman=a与liman=b，根据数列极限的定义，有 n®¥n®¥ìï$N1ÎN+,"n>N1,有an-a0,í 取N=max{N1,N2}.">N,同时有 ïî$N2ÎN+,"n>N2,有an-bN,a-b=(a-an)+(an-b)£an-a+an-b<2e， 这就说明a=b，从而收敛数列的极限唯一。

定理2.3若数列{an}收敛，则{an}为有界数列 分析：即证$M>0,"nÎN,都有an£M. 证明：设liman=a，根据数列极限定义，对e0＝1，$NÎN+，"n>N，有an-a<1，从而 n®¥ "n>N，有an=an-a+a£an-a+a<1+a，取M=maxa1,a2,L,aN,a+1， 于是，"nÎN,都有an£M.即收敛数列必为有界数列 n注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件例如数列(-1)有界，但它不收敛 {}{}定理2.4若liman=a>0，则对任何a¢Î(0,a)，存在正数Ｎ，使得 n®¥当n>N时有an>a¢ "n>N， 证明：设a>0，取e0=a-a'(>0)，则$N>0，有an>a-e=a'，这就证得结果对于a<0， 的情形，也可类似地证之 注：应用保号性时，经常取a='a. 2定理2.5设数列{an}与{bn}均收敛，若存在正数N0，使得当n>N0时有an£bn，则liman£limbn n®¥n®¥ 证明：设liman=a，liman=b，则"e>0，ín®¥n®¥ì$N1>0,使得当n>N1时有：a-e0,使得当n>N2时有：bnN时有：a-e

n®¥n®¥思考：如果把条件“an£bn”换成“anN0时有an£cn£bn，则数列{cn}收敛，且limcn=a. n®¥证明：由已知liman=limbn=a有 "e>0，ín®¥n®¥ì$N1>0,使得当n>N1时有：a-e0,使得当n>N2时有：bnN时有a-e1)，于是1£nn=1+hn£1+(n>1) n-1n-1æ2öç÷=1，从而由迫敛性便知limnn=1. 易知lim1=lim1+n®¥n®¥n®¥çn-1÷èø有些教材在此还有性质保序性(本节课后习题2) (保序性) 若liman=a,limbn=b,且aN时有an0， 2b-aa+b,从而an<, n®¥22b-aa+b,从而0,使得当n>N2时有bn-b

取N=max{N1,N2}，则当n>N时便有an<2 由liman=a知 $N1>0,使得当n>N1时有an-a< 注： 利用保序性以及反证法很容易可证明保号性定理 二、数列极限的四则运算法则： 定理2.7 若{an}、{bn}为收敛数列，则{an+bn},{an-bn},{an×bn}也都收敛，且有lim(an±bn)=a±b=liman±limbn;lim(an×bn)=a×b=liman×limbn.若再做假设bn¹0及n®¥n®¥n®¥n®¥n®¥n®¥anìanüanalimn®¥limbn¹0，则数列íý也收敛，且有lim==. n®¥n®¥bnblimbnîbnþn®¥证明：证明思路大致如下 ìï$N1>0,使得当n>N1时有an-a0，í， n®¥n®¥ïî$N2>0,使得当n>N2时有bn-bN时便有an-a0,使得"nÎN+，都有bn£M， anbn-ab=(anbn-anb)+(anb-ab)£anbn-b+ban-a£Me+be=(M+b)e 于是limanbn=ab=liman×limbn； n®¥n®¥n®¥④由limbn=b¹0知limbn=b>0，由数列极限保号性知$N3>0，使得当n®¥n®¥n>N3时有bn>b，取N=max{N1,N2,N3}，则当n>N时便有 2anaab-abn(ab-ab)+(ab-abn)1(ban-a+abn-b)<22(a+b)e -=n=n£bnbbnbbnbbnbbananalimn®¥ 于是lim. ==n®¥bblimbnnn®¥在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。

下举几例； 2n2+3n-2. 例3 求lim2n®¥n+132öæ32lim2+-2÷lim2+lim3-lim2ç2+-2n®¥2n®¥nn®¥n22n+3n-22nnøn®¥ènn 解：lim=lim====2. 2n®¥n®¥111ö1n+1æ1+2lim1+lim2limç1+2÷n®¥n®¥nn®¥nènøamnm+am-1nm-1+L+a1n+a0例4 求lim，其中m£k,am¹0,bk¹0. n®¥bnk+bnk-1+L+bn+bkk-110am-1a0a+L+m1-1+man+am-1n+L+a1n+a0m-knnn， 解：mk=nbbbbkn+bk-1nk-1+L+b1n+b0bk+k-1+L+k1-1+0nnnkam-1a0a1a++L++mì0，m1，limnn®¥a+1n®¥111+na=1. 例6 求limn(n+1-n). n®¥ 解：limn(n+1-n)＝limn®¥nn+1+nn®¥=limn®¥11+1+1n1=. 2例7 求limçæ1ö11÷. ++L+÷222n®¥çn+2n+nøèn+1 解：由于11+1n=nn+n2£1n+12+1n+22+L+1n+n2£nn+12=11+1n2且易知limn®¥11+1n=limn®¥11+1n2=1，于是由数列极限迫敛性便知 æ1ö11ç÷＝1. limç++L+÷222n®¥n+2n+nøèn+1三、数列的子列： 1．引言： 极限是个有效的分析工具。

但当数列{an}的极限不存在时，这个工具随之失效这能说明什么呢？难道{an}没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列” 2． 子列的定义： 定义１ 设{an}为数列，{nk}为正整数集N+的无限子集，且n1k. 特别地，若nk=k，则ank=an，即ank={an}. 注3 数列{an}本身以及{an}去掉有限项以后得到的子列，称为{an}的平凡子列；不是平凡子列的子 列，称为{an}的非平凡子列。

如{a2k},{a2k-1}都是{an}的非平凡子列 3．数列与其子列敛散性关系： 由上节例8易知： 性质：数列{an}与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限 那么数列{an}的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理2.8 数列{an}收敛于aÛ{an}的任何非平凡子列都收敛且都收敛于a 证明：[必要性] 设ank是{an}的任一子列。