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高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习一、定义法：根据函数的定义求解析式用定义法例 1】设 f(x 1) X2 3x 2,求 f(x).f(x 1) x2 3x 2 [(x 1) 1]2 3[(x 1) 1] 2=(x 1)2 5(x 1) 62f (x) x 5x 6第#页共21页【例2】x 1f[f(x)]—，求 f(x).解:f[f(x)] x 1十 f(x)1【例3】f(x 1)xx2,g(xx3解:1f(x -)x(x丄)2x1g(x -)x(x丄)x3(x-)x故 f[g(x)] (x3x)2x6 6x4 9x2，求 f[g(x)].f(x)g(x)x33x【例4】设f (cosx) cos17x,求f (sin x).解：f(si nx)f[cosq x)] cos17q x)cos(8217x) cosq 17x) sin 17x.待定系数法： （主要用于二次函数）已知函数解析式的类型， 可设其解析式的形式， 根据已知条件建立关于待定系数的方程， 从而求出函数解析式它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

例1】 设f （x）是一次函数，且f[f (x)]4x3，求 f(x)【解析】 设 f（x） axb(a0），则f[ f(x)] af (x) ba(axb)2 b a xabba2 4ab b 3f(x) 2x 1 或f (x) 2x 3例 2】 已知二次函数f (x)满足 f (0)=0, f (x+1) = f (x) +2x+8，求 f (x )的解析式解：设二次函数 f( x) = ax2+bx+c ，则 f( 0) = c= 0 ①2f(x+1) = a(x 1)2+b(x+1) = ax2+(2a+b) x+a+b ②由 f( x+1 ) = f( x)+2x+8与①、②2a b b 2ab8解得 a 1, b 7.故 f( x) = x2+7x.例 3】 已知 f (x 2)2x2 9x 13，求 f(x).解：显然，f (x)是一个一元二次函数则 f(x 2)a(x2)2b(x 2)又 f(x 2)2x29x13a2比较系数得：b4a94a2bc 13设f (x)2axbxc (a0)c2ax(b4a)x(4a 2b c)a2解得：b1f (x)2x2x3c3第 2 页 共 21 页三、换元(或代换)法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求 f(x)的解析式•用来处理不知 道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。

使用换元法时要注意新元 定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域女口：已知复合函数f [g (x)]的解析式，求原函数f (x)的解析式， 把g (x )看成一个 整体t,进行换元，从而求出 f (x)的方法实施换元后，应注意新变量的取值范围，即为函 数的定义域.” 1x2 x11亠【例2】已知f(—)2,求fxxx解:设1 xt,则x1则f(t)xt111八211(t1)(/ 1 、21()t 1t 1(x).r 1 X x2 1 1 1 1f( ) 2 1 —-x x x x x:1) t2 t 1 f(x) x2 x 1【例1】已知f 0. x1) x 2.. x，求f(x 1)【解析】令t...x 1，则 t 1 , x(t1)2Q f(、.x1) x2 xf(t)(t 1)22(t 1) t21,f(x)x2 1(x 1)f (x 11) (x1)2 1 x22x(x 0)2【例3】设 f(COSX 1) cos x，求 f (x).解：令tcosx1,cosx t 1又1 cosx1,2cosx 1 0 即 2 t 0f(t)2(t 1),(22 t 0)即 f (x) (x 1) , x [ 2,0]x 1【例4】若f(X)f ( ) 1 xx第#页共21页(1)x 1 x 1在（1）式中以 代替X得f （ ）X Xf(即 f（LJ） f（ ）竺」X X 1 X（2）又以1代替（1 x:1)式中的 X 得：f ( 1 ) f (x) X2X1X 1 X1(3)上 x 2 2x 1 X3 x2 1(1)(3)⑵得:2f (x) 1 xX 1 x x(x1)3 X2 X1f(X)2x(x 1)【例5】设 f (x)满足 af (x) bf (丄)xcx（其中a,b,c均不为0,且a b），求f（x）。

1)(2)【例解:6】解:af (x) bf』)cxx1来代替X，得af （丄）x xa (1) b ⑵得：(a2f(x)2 acx (0^bf(x)b2)f(x)acx2 bc已知f (ax1)设 t ax10，则x代入已知等式中,得: f(t)bcb2)x求 f (x).1 log at即 x log a t 1(log a t1)2 2 log at 2logat 32f (x) log a X 2log a X四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法.2 ,【例1】已知：函数y x x与y g(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式.解：设M (x, y)为yg (x)上任一点，且M (x , y )为M (x, y)关于点(2,3)的对称点.x x22x x 4，解得：y y3y 6 y2则点 M (x , y)在 y g(x)上xx 462(x 4).把6 y代入得:y(x 4)y整理得y2x7x6，g(x)x2 7x 6(五)配凑法已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f (x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的 运算形式时，常用配凑法.但要注意所求函数 f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域.【例1】：已知1) x 2仮,求f (x)的解析式。

分析：Q x x可配凑成可用配凑法解：由 f (、x 1) x 2 x ( • x )2 1令 t -T7Q x 0t 1则 f(t) t2 1即 f(x) x2 1(x 1)当然，上例也可直接使用换元法令t .，厂则 t ,x 1得 X (t 1)2f (t) (t 1)2 2(t 1) t2 12即 f (x) X 1(x 1)由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解1 2 1 【例2】：已知f(x —) X —,求f (x).X X分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便1解析：由f(x )2 XA (x -)2 2XX X入丄 1令t X2 Xtx 1 0X2由 0即t40得t Rf (t) t2 2即: f (x) X2 2( x R)实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来， 在通过整体换元和换元法一样，最后结果要注明定义域六)构造方程组法(消去法)若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方 程组求得函数解析式.构造方程组法适用的范围是： 题高条件中，有若干复合函数与原函数 f(x)混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

例3】：设f(x)满足f(x) 2f (-) x,求f(x)的解析式X1 1分析：要求f(x)可消去f(—),为此，可根据题中的条件再找一个关于 f (x)与f(—)的X X等式，通过解方程组达到消元的目的解析：Q f(x) 2f (1) x ①x1显然，x 0,将x换成一得xf (1) 2f(x) 1 ••②x x1f(x) 2f(—) x由 x1 1f( ) 2f(x)x x消去f (〔)，得xf(x)23x小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律互为倒数，如f(x)、f (-)；互为相反x数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式例4】已知f(ax x22，求 f (x).解：设t ax 10，则 x 1 log a t 即 x log a t 1代入已知等式中，得:f(t)(log a t 1)2 2 log 21 2loga t 32f (x) log a x 2log a x 3小结：消元法适用于自变量的对称规律互为倒数，如f(」)f(x)、 x ；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得 f(x)的解析式。

1【例5】设f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f (x) g(x) ,试求f (x)和g(x)的x 1解析式【解析】f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，f ( x) f(x),g( x) g(x)又 f(x) g(x)用 x替换x得：f ( x) g( x)1即 f(x) g(x) ②x 1解①②联立的方程组，得f(x)g(x)七、特殊值法：(赋值类求抽象函数)当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进 行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式.【例1】：设f (x)是。