离散数学：第六章集合代数.ppt
41页
主要内容主要内容l集合的基本概念集合的基本概念 属于、包含属于、包含 幂集、空集幂集、空集 文氏图等文氏图等l集合的基本运算集合的基本运算 并、交、补、差等并、交、补、差等l集合恒等式集合恒等式 集合运算的算律、恒等式的证明方法集合运算的算律、恒等式的证明方法 第二部分第二部分 集合论集合论第六章第六章 集合代数集合代数1 6.1 集合的基本概念集合的基本概念1. 集合定义集合定义 集合没有精确的数学定义集合没有精确的数学定义 理解：由离散个体构成的整体称为理解：由离散个体构成的整体称为集合集合，称这些个体为集，称这些个体为集 合的合的元素元素 常见的数集：常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合理数、实数、复数集合2. 集合表示法集合表示法 枚举法枚举法----通过列出全体元素来表示集合通过列出全体元素来表示集合 谓词表示法谓词表示法----通过谓词概括集合元素的性质通过谓词概括集合元素的性质 实例：实例： 枚举法枚举法 自然数集合自然数集合 N={0,1,2,3,…} 谓词法谓词法 S={ x | x是实数，是实数，x2 1=0} 2 元素与集合元素与集合1. 集合的元素具有的性质集合的元素具有的性质 无序性：元素列出的顺序无关无序性：元素列出的顺序无关 相异性：集合的每个元素只计相异性：集合的每个元素只计 数一次数一次 确定性：对任何元素和集合都确定性：对任何元素和集合都 能确定这个元素是否能确定这个元素是否 为该集合的元素为该集合的元素 任意性：集合的元素也可以是任意性：集合的元素也可以是 集合集合2．元素与集合的关系．元素与集合的关系 隶属关系：隶属关系： 或者或者 3．集合的树型层次结构．集合的树型层次结构d A , a A3 集合与集合集合与集合集合与集合之间的关系：集合与集合之间的关系： , =, ⊈ ⊈, , , 定义定义6.1 A B x ( x A x B )定义定义6.2 A = B A B B A定义定义6.3 A B A B A B A ⊈ ⊈ B x ( x A x B ) 思考：思考： 和和 的定义的定义 注意注意 和和 是不同层次的问题是不同层次的问题4 空集、全集和幂集空集、全集和幂集1．．定义定义6.4 空集空集 ：不含有任何元素的集合：不含有任何元素的集合 实例：实例： { x | x R x2+1=0 } 定理定理6.1 空集是任何集合的子集。
空集是任何集合的子集 证证 对于任意集合对于任意集合A，， A x (xx A) T (恒真命题恒真命题) 推论推论 是惟一的是惟一的3. 定义定义6.6 全集全集 E：包含了所有集合的集合：包含了所有集合的集合 全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集2. 定义定义6.5 幂集幂集：：P(A)={ x | x A } 实例：实例：P()={}, P({})={,{}} 计数：如果计数：如果 |A|=n，则，则 |P(A)|=2n.5 6.2 集合的运算集合的运算初级运算初级运算集合的基本运算有集合的基本运算有定义定义6.7 并并 A B = {x | x A x B} 交交 A B = {x | x A x B} 相对补相对补 A B = {x | x A x B}定义定义6.8 对称差对称差 A B = (A B) (B A) 定义定义6.9 绝对补绝对补 A = E A 6 文氏图文氏图集合运算的表示集合运算的表示ABABABABABA BA BA–BA B~A7 几点说明几点说明l并和交运算可以推广到有穷个集合上，即并和交运算可以推广到有穷个集合上，即A1 A2 … An = { x | x A1 x A2 … x An} A1 A2 … An = { x | x A1 x A2 … x An}l A B A B = l A B = A B = A8 广义运算广义运算1. 集合的广义并与广义交集合的广义并与广义交 定义定义6.10 广义并广义并 A = { x | z ( z A x z )} 广义交广义交 A= { x | z ( z A x z )} 实例实例 {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1,2,3} {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1} {{a}}={a}，， {{a}}={a} {a}=a，， {a}=a9 关于广义运算的说明关于广义运算的说明2. 广义运算的性质广义运算的性质 (1) =，，无意义无意义 (2) 单元集单元集{x}的广义并和广义交都等于的广义并和广义交都等于x (3) 广义运算减少集合的层次（括弧减少一层）广义运算减少集合的层次（括弧减少一层） (4) 广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算 {A1, A2, … , An}=A1 A2 … An {A1, A2, … , An}=A1 A2 … An 3. 引入广义运算的意义引入广义运算的意义 可以表示无数个集合的并、交运算，例如可以表示无数个集合的并、交运算，例如 {{x} | x R}=R 这里的这里的 R 代表实数集合代表实数集合. 10 运算的优先权规定运算的优先权规定1 类运算：初级运算类运算：初级运算 , , , ，， 优先顺序由括号确定优先顺序由括号确定2 类运算：广义运算和类运算：广义运算和 运算，运算， 运算由右向左进行运算由右向左进行混合运算：混合运算：2 类运算优先于类运算优先于1 类运算类运算例例1 A={{a},{a,b}}，计算，计算A (AA). 解：解： A (AA) = {a,b} ( {a,b}{a}) = (a b) ((a b) a) = (a b) (b a) = b11 有穷集合元素的计数有穷集合元素的计数1. 文氏图法文氏图法2. 包含排斥原理包含排斥原理定理定理6.2 设集合设集合S上定义了上定义了n条性质，其中具有第条性质，其中具有第 i 条性质的条性质的元素构成子集元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为那么集合中不具有任何性质的元素数为 推论推论 S中至少具有一条性质的元素数为中至少具有一条性质的元素数为12 实例实例例例2 求求1到到1000之间（包含之间（包含1和和1000在内）既不能被在内）既不能被5和和6整整除，也不能被除，也不能被8整除的数有多少个？整除的数有多少个？解解 方法一：文氏图方法一：文氏图 定义以下集合：定义以下集合： S={ x | x Z 1 x 1000} A={ x | x S x可被可被5整除整除} B={ x | x S x可被可被6整除整除} C={ x | x S x可被可被8整除整除} 画出文氏图，然后填入相应的画出文氏图，然后填入相应的数字，解得数字，解得 N=1000－－(200+100+33+67) =60013 实例实例方法二方法二 |S| = 1000 |A|= 1000/5 =200, |B|= 1000/6 =166, |C|= 1000/8 =125 |A B| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |A C| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |B C| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |A B C| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 = 1000 (200+166+125)+(33+25+41) 8 = 600 14 练习：练习： 假定有假定有120个学生，其中个学生，其中100个学生至少要学法、德、英个学生至少要学法、德、英三种语言中一种，还假定三种语言中一种，还假定65人学法语，人学法语，45人学德语，人学德语，42人人语，语，20人学法语和德语，人学法语和德语，25人学法语和英语，人学法语和英语，15人学德语人学德语和英语。
请问同时学三种语言的人有多少人？仅学一种语和英语请问同时学三种语言的人有多少人？仅学一种语言的各有多少人？言的各有多少人？15 6.3 集合恒等式集合恒等式集合算律集合算律1．只涉及一个运算的算律：．只涉及一个运算的算律： 交换律交换律、、结合律结合律、、幂等律幂等律 交换交换A B=B AA B=B AA B=B A结合结合(A B) C=A (B C)(A B) C=A (B C)(A B) C=A (B C)幂等幂等A A=AA A=A16 集合算律集合算律 2．涉及两个不同运算的算律：．涉及两个不同运算的算律： 分配律、吸收律分配律、吸收律 与与 与与 分配分配A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C)吸收吸收A (A B)=AA (A B)=A17 集合算律集合算律3．涉及补运算的算律：．涉及补运算的算律： DM律律，，双重否定律双重否定律 D.M律律A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C) (B C)= BC (B C)= BC双重否定双重否定A=A18 集合算律集合算律4．涉及全集和空集的算律：．涉及全集和空集的算律： 补元律补元律、、零律零律、、同一律同一律、、否定律否定律E补元律补元律AA=AA=E零律零律A=A E=E同一律同一律A=AA E=A否定否定=E E=19 集合证明题集合证明题证明方法：命题演算法、等式置换法证明方法：命题演算法、等式置换法命题演算证明法的书写规范命题演算证明法的书写规范 (以下的以下的X和和Y代表集合公式代表集合公式)(1) 证证X Y 任取任取x，， x X … x Y (2) 证证X=Y 方法一方法一 分别证明分别证明 X Y 和和 Y X 方法二方法二 任取任取x，，x X … x Y注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分必要的分必要的20 集合等式的证明集合等式的证明方法一：命题演算法方法一：命题演算法例例3 证明证明A (A B) = A （吸收律）（吸收律）证证 任取任取x, x A (A B) x A x A B x A (x A x B) x A 因此得因此得 A (A B) = A.例例4 证明证明 A B = AB证证 任取任取x, x A B x A x B x A xB x AB 因此得因此得 A B = AB21 等式代入法等式代入法方法二：等式置换法方法二：等式置换法例例5 假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立，证明吸假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立，证明吸 收律收律. 证证 A (A B) = (A E) (A B) （同一律）（同一律） = A (E B) （分配律）（分配律） = A (B E) （交换律）（交换律） = A E （零律）（零律） = A （同一律）（同一律）22 包含等价条件的证明包含等价条件的证明例例6 证明证明A B A B=B A B=A A B= ①① ②② ③③ ④④证明思路：证明思路：l确定问题中含有的命题：本题含有命题确定问题中含有的命题：本题含有命题 ①①, ②②, ③③, ④④l确定命题间的关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要确定命题间的关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要证明的结论）：本题中每个命题都可以作为已知条件，每证明的结论）：本题中每个命题都可以作为已知条件，每个命题都是要证明的结论个命题都是要证明的结论l确定证明顺序：确定证明顺序：①①②②，，②②③③，，③③④④，，④④①① l按照顺序依次完成每个证明（证明集合相等或者包含）按照顺序依次完成每个证明（证明集合相等或者包含） 23 证明证明证明证明A B A B=B A B=A A B= ①① ②② ③③ ④④证证 ①①②② 显然显然B A B，下面证明，下面证明A B B. 任取任取x，， x A B x A x B x B x B x B 因此有因此有A B B. 综合上述综合上述②②得证得证. ②②③③ A=A (A B) A=A B (由由②②知知A B=B，将，将A B用用B代入代入) 24 ③③④④假设假设A B, 即即 x A B，那么知道，那么知道x A且且x B. 而而 x B x A B 从而与从而与A B=A矛盾矛盾.④④①①假设假设A B不成立，那么不成立，那么 x(x A x B) x A B A B与条件与条件④④矛盾矛盾. 证明证明25 第六章第六章 习题课习题课主要内容主要内容l集合的两种表示法集合的两种表示法l集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与联系别与联系l特殊集合：空集、全集、幂集特殊集合：空集、全集、幂集l文氏图及有穷集合的计数文氏图及有穷集合的计数l集合的集合的 , , , , 等运算以及广义等运算以及广义 , 运算运算l集合运算的算律及其应用集合运算的算律及其应用26 基本要求基本要求l熟练掌握集合的两种表示法熟练掌握集合的两种表示法l能够判别元素是否属于给定的集合能够判别元素是否属于给定的集合l能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系系l熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算）熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算）l掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法27 练习练习1 1．判断下列命题是否为真．判断下列命题是否为真 (1) (2) (3) {} (4) {} (5) { a, b } { a, b, c, {a, b, c}} (6) { a, b } { a, b, c, {a, b}} (7) { a, b} { a, b, {{a, b}}} (8) { a, b} { a, b, {{a,b}}} 解解 (1)、、(3)、、(4)、、(5)、、(6)、、(7)为真，其余为假为真，其余为假.28 方法分析方法分析(1) 判断元素判断元素a与集合与集合A的隶属关系是否成立基本方法：的隶属关系是否成立基本方法： 把把 a 作为整体检查它在作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的中是否出现，注意这里的 a 可可 能是集合表达式能是集合表达式. (2) 判断判断A B的四种方法的四种方法l若若A,B是用枚举方式定义的，依次检查是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否的每个元素是否在在B中出现中出现. l若若A,B是谓词法定义的，且是谓词法定义的，且A, B中元素性质分别为中元素性质分别为P和和Q, 那么那么“若若P则则Q”意味意味 A B，，“P当且仅当当且仅当Q”意味意味ＡＡ=ＢＢ．．l通过集合运算判断通过集合运算判断A B，即，即A B = B, A B = A, A B = 三个等式中有一个为真三个等式中有一个为真.l通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证明明29 练习练习22．设．设 S1={1, 2, … , 8, 9}，， S2={2, 4, 6, 8} S3={1, 3, 5, 7, 9} S4={3, 4, 5} S5={3, 5} 确定在以下条件下确定在以下条件下X是否与是否与S1,…,S5中某个集合相等？如中某个集合相等？如果是，又与哪个集合相等？果是，又与哪个集合相等？ （（1）若）若 X S5= （（2）若）若 X S4但但 X S2= （（3）若）若 X S1且且 X ⊈S3 （（4）若）若 X S3= （（5）若）若 X S3 且且 X ⊈ ⊈ S130 解答解答解解(1) 和和S5不交的子集不含有不交的子集不含有3和和5，因此，因此 X=S2. (2) S4的子集只能是的子集只能是S4和和S5. 由于与由于与S2不交，不能含有偶数，不交，不能含有偶数， 因此因此 X=S5.(3) S1, S2, S3, S4和和S5都是都是S1的子集，不包含在的子集，不包含在S3的子集含的子集含有有 偶数，因此偶数，因此 X=S1, S2或或S4. (4) X S3=意味着意味着 X是是S3的子集，因此的子集，因此 X=S3或或 S5.(5) 由于由于S3是是S1的子集，因此这样的的子集，因此这样的X不存在不存在.31 练习练习33. 判断以下命题的真假，并说明理由判断以下命题的真假，并说明理由. （（1））A B = A B= （（2））A (B C) = (A B) (A C) （（3））A A = A （（4）如果）如果A B = B，则，则A = E. （（5））A = {x} x，则，则 x A且且x A. 32 解题思路解题思路l先将等式化简或恒等变形先将等式化简或恒等变形.l查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符，结果为真查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符，结果为真.l注意以下两个重要的充要条件注意以下两个重要的充要条件 A B = A A B = A B = A B A B = B A B = A 如果与条件相符，则命题为真如果与条件相符，则命题为真.l如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示集合，看看命题是否成立集合，看看命题是否成立.如果成立，再给出证明如果成立，再给出证明.l试着举出反例，证明命题为假试着举出反例，证明命题为假.33 解答解答解解(1) B=是是A B=A的充分条件，但不是必要条件的充分条件，但不是必要条件. 当当B不空不空但但 是与是与A不交时也有不交时也有A B=A. (2) 这是这是DM律，命题为真律，命题为真.(3) 不符合算律，反例如下：不符合算律，反例如下： A={1}，，A A=，但是，但是A.(4) 命题不为真命题不为真. A B=B的充分必要条件是的充分必要条件是 B A，不是，不是A=E. (5) 命题为真，因为命题为真，因为 x 既是既是 A 的元素，也是的元素，也是 A 的子集的子集 34 练习练习44．证明．证明 A B = A C A B = A C B = C解题思路解题思路l分析命题：含有分析命题：含有3 3个命题：个命题： A B = A C , A B = A C, B = C ①① ②② ③③ l证明要求证明要求 前提：命题前提：命题①①和和②② 结论：命题结论：命题③③ l证明方法：证明方法： 恒等式代入恒等式代入 反证法反证法 利用已知等式通过运算得到新的等式利用已知等式通过运算得到新的等式35 解答解答证明证明 A B = A C A B = A C B = C方法一：恒等变形法方法一：恒等变形法 B = B (B A) = B (A B) = B (A C) = (B A) (B C) = (A C) (B C) = (A B) C = (A C) C = C 方法二：反证法方法二：反证法.假设假设 B C，则存在，则存在 x (x B且且x C), 或存在或存在 x (x C且且x B). 不妨设为前者不妨设为前者. 若若x属于属于A，则，则x属于属于A B 但但x不属于不属于A C，与已知矛盾；，与已知矛盾；若若x不属于不属于A，则，则x属于属于A B但但x不属于不属于A C，也与已知矛盾，也与已知矛盾. 36 解答解答方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式.由已知等式由已知等式①①和和②②可以得到可以得到 (A B) (A B) = (A C) (A C)即即 A B = A C 从而有从而有 A (A B) =A (A C) 根据结合律得根据结合律得 (A A) B = (A A) C 由于由于A A = , 化简上式得化简上式得B = C. 37 练习练习55．设．设A,B为集合，试确定下列各式成立的充分必要条件：为集合，试确定下列各式成立的充分必要条件：(1) A B=B(2) A B=B A(3) A B=A B(4) A B=A38 分析分析解题思路解题思路: 求解集合等式成立的充分必要条件可能用到集合的算律、不求解集合等式成立的充分必要条件可能用到集合的算律、不同集合之间的包含关系、以及文氏图等同集合之间的包含关系、以及文氏图等. 具体求解过程说明具体求解过程说明如下：如下： (1) 化简给定的集合等式化简给定的集合等式 (2) 求解方法如下：求解方法如下：l利用已知的算律或者充分必要条件进行判断利用已知的算律或者充分必要条件进行判断l先求必要条件，然后验证充分性先求必要条件，然后验证充分性l利用文氏图的直观性找出相关的条件，再利用集合论利用文氏图的直观性找出相关的条件，再利用集合论的证明方法加以验证的证明方法加以验证 39 解答解答解解(1) A B=B A=B=. 求解过程如下：求解过程如下： 由由A B=B得得 (AB) B = B B 化简得化简得B=. 再将这个结果代入原来的等式得再将这个结果代入原来的等式得A= . 从从而得到必要条件而得到必要条件A=B=.再验证充分性再验证充分性. 如果如果A=B=成立，则成立，则A B==B也成立也成立. (2) A B=B A A=B. 求解过程如下：求解过程如下：充分性是显然的，下面验证必要性充分性是显然的，下面验证必要性. 由由A B=B A得得 (A B) A=(B A) A从而有从而有A=A B, 即即B A. 同理可证同理可证A B.40 解答解答(3) A B=A B A=B. 求解过程如下：求解过程如下：充分性是显然的，下面验证必要性充分性是显然的，下面验证必要性. 由由A B=A B得得 A (A B) = A (A B)化简得化简得A =A B，从而有，从而有B A. 类似可以证明类似可以证明A B. (4) A B=A B=. 求解过程如下：求解过程如下：充分性是显然的，下面验证必要性充分性是显然的，下面验证必要性. 由由A B = A得得 A (A B) = A A根据结合律有根据结合律有 (A A) B = A A即即 B = , 就是就是B = . 41 。
