专题 08 平面解析几何〔解答题〕1．【2022年高考全国Ⅰ卷文数】A、B分别为椭圆E：uuuruuurx2+ 2a2 y= 1〔a>1〕的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， AG ×GB = 8 ，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D．〔1〕求 E 的方程；〔2〕证明：直线 CD 过定点.【解析】〔1〕由题设得 A(-a, 0), B(a, 0),G(0,1) ．uuuruuuruuuruuur那么AG = (a,1) ， GB = (a, -1) ．由 AG ×GB = 8 得 a2 - 1 = 8 ，即 a = 3 ．所以 E 的方程为x2 +2y9= 1．〔2〕设C(x1 , y1 ), D(x2 , y2 ), P(6, t) ．假设t ¹ 0 ，设直线CD 的方程为 x =my +n ，由题意可知 -3 b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C14的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=3〔1〕求 C1 的离心率；〔2〕假设C1 的四个顶点到 C2 的准线距离之和为 12，求 C1 与 C2 的标准方程．|AB|．a2 - b2【解析】〔1〕由可设C2的方程为y2=4cx，其中c=.不妨设A,C在第一象限，由题设得A,B的纵坐标分别为 b2a，-b ；C, D2a的纵坐标分别为2c ，-2c ，2b2故|AB|=，a| CD |= 4c .由|CD|=4|AB|得4c=8b2，即3´c=2-2(c)2，解得c=-2〔舍去〕，c=1.3 3a a a a a 2所以C 的离心率为 1 .1〔2〕由〔1〕知a2= 2c ，b =x23c，故C1: 4c2+ y23c2= 1.所以C1 的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(-2c, 0) ，(0, 3c) ，(0, -3c) ， C2 的准线为 x =-c .由得3c +c +c +c = 12 ，即c = 2.C x2 y2 C 2所以 1 的标准方程为+ =1， 2的标准方程为 y16 12=8x.【点睛】此题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.15x2 y23．【2022年高考全国Ⅲ卷文数】椭圆C:25+m2=1(0 0，由题意知 yP > 0 ，由可得 B(5, 0)，直线 BP的方程为 y=-1yQ(x - 5) ，所以| BP |=y1 + y 2Q，| BQ|=，1 + y 2QP因为| BP |=| BQ | ，所以 yP = 1，将 yP = 1代入C 的方程，解得 xP = 3 或 -3.由直线 BP 的方程得 yQ = 2 或 8.所以点 P, Q 的坐标分别为 P1 (3,1), Q1 (6, 2); P2 (-3,1), Q2 (6,8) .10|PQ|=，直线 PQ的方程为 y=1x，点 A(-5, 0)到直线 PQ的距离为 10，故△APQ的面21 1积为 1´1 1 31010 ´=5.1 1 112 2 22 22 2| P Q |= 130 ，直线 P Q 的方程为 y =7 x +10 ，点 A 到直线 P Q 的距离为 130 ，故△AP Q 的2 2面积为 1´2 2 9 3 26130130 ´=5.2 26 2综上， △APQ 的面积为 5 .2【点睛】此题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和 数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.4．【2022年高考北京】椭圆C:x2+y2=过点A(-2,-1)，且a=2b．a2 b2 1〔Ⅰ〕求椭圆 C 的方程：〔Ⅱ〕过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q．求|PB|的| BQ |值．2【解析】 (1)设椭圆方程为： x2y = 1(a >b > 0 )，由题意可得：+22a bì4 +1 = 1ìa2 = 8ï2 2ía bîïa=2b，解得：í，2îb = 222故椭圆方程为： x +y = 1.8 2(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN的方程为：y=k(x+4)，与椭圆方程 x2 +y2=1联立可得：x2+4k2(x+4)2=8，8 2即：(4k2+1)x2+32k2x+(64k2-8)=0，-32k 2那么： x1 +x2 =4k 2 +1 , x1 x2 =64k 2 - 8.4k 2 +1直线 MA的方程为： y+1=y1 +1 (x+2)，x1 + 2令 x =-4可得： y=-2´y1+1-1=-2´k(x1+4)+1-x1+2=-(2k+1)(x1+4)，P x +2x + 2x + 2x + 2同理可得： y1 1 1 1Q=-(2k+1)(x2+4).x2 + 2PBPQ很明显 yP yQ < 0 ，且：=，注意到：yP yQy+y=-(2k+1)æx1+4+x2+4ö=-(2k+1)´(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)，P Q çx +2x + 2 ÷(x +2)(x+ 2)è1 2 ø1 2而：(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)=2éëx1x2+3(x1+x2)+8ùû=é64k2 -8æ-32k2 öù2 ê4k 2 +1+ 3´ç4k 2 +1 ÷+ 8úëèøû= ，´ =(64k 2 -8)+3´(-32k 2 )+8 (4k 2 +1)2 04k 2 +1故 yP +yQ = 0, yP =-yQ .PBPQyP yQ从而 ==1.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．x2 2 25．【2022年高考浙江】如图，椭圆C1:2+y= 1，抛物线C2 : y= 2 px( p > 0) ，点 A 是椭圆C1 与抛物线C2 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆C1 于点 B，交抛物线C2 于点 M〔B，M 不同于 A〕．〔Ⅰ〕假设p =1 ，求抛物线C 的焦点坐标；16 2〔Ⅱ〕假设存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值．【解析】〔Ⅰ〕由 p =1 得C 的焦点坐标是( 1 , 0) ．16 2 32〔Ⅱ〕由题意可设直线l : x =my +t(m ¹ 0,t ¹ 0) ，点 A(x0 , y0 ) ．x2 22 2 2将直线l 的方程代入椭圆C1 : 2 +y= 1得(m+ 2) y + 2mty +t- 2 = 0 ，所以点 M 的纵坐标 yM=-mt．m2 + 22将直线l 的方程代入抛物线C : y2 = 2 px 得 y2 - 2 pmy - 2 pt = 0 ，2 p(m2 + 2)所以y0yM =-2pt，解得y0 =m ，2 p(m2 + 2)2因此 x0 =x2．m21 = 4(m +2 )2 + 2(m +2 )4 ³ 160由0+y2 =1 得2 ，2 0 p m m2所以当m=，t =10 时， p 取到最大值 10 ．5 40【点晴】此题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数 学运算能力，是一道有一定难度的题.226．【2022年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x+y=1的左、右焦点分别为F1，F2，4 3点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B．〔1〕求△AF1F2 的周长；〔2〕在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求OP ×QP 的最小值；〔3〕设点 M 在椭圆 E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为 S1，S2，假设S2 =3S1 ，求点 M 的坐标．2【解析】〔1〕椭圆 E : x2y+=1的长轴长为 2a，短轴长为 2b，焦距为 2c，4 3那么a2 = 4, b2 = 3, c2 = 1.所以△AF1F2 的周长为 2a + 2c = 6 .〔2〕椭圆 E。
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