圆柱齿轮跨齿数计算公式合理性的研究.doc

1圆柱齿轮跨齿数计算公式合理性的研圆柱齿轮跨齿数计算公式合理性的研究 究中煤北京煤机公司退休职工中煤北京煤机公司退休职工 周万峰周万峰摘要：文章验证了某些跨齿数计算公式的合理性与不合理性，并指出造成这些公式在摘要：文章验证了某些跨齿数计算公式的合理性与不合理性，并指出造成这些公式在 某种情况下不合理性的原因同时将笔者给出的精确公式及经验公式推荐给读者某种情况下不合理性的原因同时将笔者给出的精确公式及经验公式推荐给读者关键词：跨齿数计算公式，公法线长度，公法线长度测量点所在圆关键词：跨齿数计算公式，公法线长度，公法线长度测量点所在圆1、概述、概述大家知道，凡计算公法线长度，首先应该计算跨齿数大家知道，凡计算公法线长度，首先应该计算跨齿数 k ，然后才能计算跨，然后才能计算跨 k 个齿的公个齿的公 法线长度因此，欲使公法线长度合理，首先跨齿数应该是合理的也就是说跨齿数计算法线长度因此，欲使公法线长度合理，首先跨齿数应该是合理的也就是说跨齿数计算 公式应该是合理的然而今天教材、手册上不少跨齿数计算公式不仅计算出的公式应该是合理的然而今天教材、手册上不少跨齿数计算公式不仅计算出的 k 值各不相值各不相 同，就是确定的跨齿数也是不尽一样的（本来应该是一样的）：有的相差一齿，有的相差同，就是确定的跨齿数也是不尽一样的（本来应该是一样的）：有的相差一齿，有的相差 二齿，有的甚至相差还多。

这种情况表明这些公式是有正有误，有优有劣的二齿，有的甚至相差还多这种情况表明这些公式是有正有误，有优有劣的跨齿数不同，公法线长度自然不同；公法线长度不同，公法线测量点（量具卡脚与齿跨齿数不同，公法线长度自然不同；公法线长度不同，公法线测量点（量具卡脚与齿 廓的切点）在齿廓上的部位当然也就不一样当跨齿数偏多时，公法线的测量点靠近齿顶；廓的切点）在齿廓上的部位当然也就不一样当跨齿数偏多时，公法线的测量点靠近齿顶； 当跨齿数偏少时，公法线的测量点靠近齿根这两种情况都使公法线长度测量不准，影响当跨齿数偏少时，公法线的测量点靠近齿根这两种情况都使公法线长度测量不准，影响 齿厚精度那么合理的测量点应在齿廓的哪个部位呢？合理的测量点应在齿高的中点部位齿厚精度那么合理的测量点应在齿廓的哪个部位呢？合理的测量点应在齿高的中点部位即应在即应在““xmd2圆圆””上（因为标准齿轮的上（因为标准齿轮的0x，故标准齿轮的公法线的测量点应在，故标准齿轮的公法线的测量点应在 ““分度圆上分度圆上”” ）） 但由于跨齿数但由于跨齿数k的计算值的计算值 4 舍舍 5 入，故公法线的测量点一般都不在入，故公法线的测量点一般都不在““ xmd2圆圆””上，而是在它的附近。

不言而喻，公法线测量点离上，而是在它的附近不言而喻，公法线测量点离““xmd2圆圆””越近，说越近，说 明公法线长度越合理故验证跨齿数计算公式合理与否的根据也就在这里明公法线长度越合理故验证跨齿数计算公式合理与否的根据也就在这里2、介绍几个跨齿数计算公式、介绍几个跨齿数计算公式前面说过，同一个齿轮因使用的公式不同，它的跨齿数有时是不一样的：即有时多跨前面说过，同一个齿轮因使用的公式不同，它的跨齿数有时是不一样的：即有时多跨 （或少跨）（或少跨）1~2 齿，这样就使得公法线的测量点不在齿廓的合理部位这说明公式是不甚齿，这样就使得公法线的测量点不在齿廓的合理部位这说明公式是不甚 合理的在众多跨齿数计算公式中，下面的这个公式就不是个情况良好的公式在众多跨齿数计算公式中，下面的这个公式就不是个情况良好的公式ctgxzk25 . 01800 (用于直齿用于直齿) （（1））nnnctgxzk25 . 01800 （用于斜齿）（用于斜齿） （（1））然而今天多家手册（如然而今天多家手册（如《《机修手册机修手册》》 ，上世纪，上世纪 90 年代由徐灏任主编的年代由徐灏任主编的《《机械设计手册机械设计手册》》 等等）大都不约而同地选择了它。

其实跨齿数计算公式形式多样，五花八门；如将教材、等等）大都不约而同地选择了它其实跨齿数计算公式形式多样，五花八门；如将教材、 手册上的公式稍加统计一下，找出手册上的公式稍加统计一下，找出 10 个公式是不费什么事的然而那么多公式供你选择，个公式是不费什么事的然而那么多公式供你选择， 众家手册为何大都偏偏选择了一个情况不良的公式呢？这个问题是值得思考的可是当上众家手册为何大都偏偏选择了一个情况不良的公式呢？这个问题是值得思考的可是当上 世纪世纪 90 年代笔者在一篇文章中提出这个问题时，一家创刊很早的杂志的审稿人的说法是让年代笔者在一篇文章中提出这个问题时，一家创刊很早的杂志的审稿人的说法是让2人匪夷所思、无法理解的这里不能多讲，欲知详情，请看拙作人匪夷所思、无法理解的这里不能多讲，欲知详情，请看拙作《《变位齿轮跨齿数计算公变位齿轮跨齿数计算公 式的合理选择式的合理选择》》和和《《何必在毫无意义的问题上下大功夫呢？何必在毫无意义的问题上下大功夫呢？ ————就就〈〈变位齿轮跨齿数计算变位齿轮跨齿数计算 公式的合理选择公式的合理选择〉〉一文作者对一文作者对““审稿意见审稿意见””的评述的评述》》两篇文章。

两篇文章言归正传公式（言归正传公式（1）的问题是什么呢？它的问题是：跨齿数往往偏多，公法线的测量）的问题是什么呢？它的问题是：跨齿数往往偏多，公法线的测量 点靠近齿顶，情况不良（有的根本无法测量）点靠近齿顶，情况不良（有的根本无法测量） 在众多公式中，下面的公式是个情况良好的在众多公式中，下面的公式是个情况良好的 公式，且计算也不麻烦公式为：公式，且计算也不麻烦公式为：5 . 02coscos a1800xzzrczk（用于直齿）（用于直齿） （（2））5 . 02coscos a1800nn xzzrczk（用于斜齿）（用于斜齿） （（2））公式（公式（2）在一般情况下的跨齿数都是合理的但在角度变位中，有时公法线的测量点靠近）在一般情况下的跨齿数都是合理的但在角度变位中，有时公法线的测量点靠近 齿顶，情况不大好但这不是公式本身的问题（请看文章后面的论述）齿顶，情况不大好但这不是公式本身的问题（请看文章后面的论述） 鉴于目前这些公式鉴于目前这些公式 都很复杂，计算比较麻烦；而且在角度变位中，有时有公法线测量点靠近齿顶的不良情况，都很复杂，计算比较麻烦；而且在角度变位中，有时有公法线测量点靠近齿顶的不良情况， 因而在上世纪因而在上世纪 90 年代初笔者给出一个跨齿数计算的经验公式（见拙作年代初笔者给出一个跨齿数计算的经验公式（见拙作《《变位圆柱齿轮跨测变位圆柱齿轮跨测 齿数的简便计算齿数的简便计算》》一文，该文已在一文，该文已在 1991 年第年第 9 期期《《机械制造机械制造》》杂志上发表）杂志上发表） 。

经验公式为：经验公式为：pxzk5 . 09（用于直齿）（用于直齿） （（3））npxzk5 . 09（用于斜齿）（用于斜齿） （（3））z————齿数，斜齿时为齿数，斜齿时为z（（之值， invinvnt  nt invinvzz 可从手册上查出）可从手册上查出） x————变位系数，斜齿时为变位系数，斜齿时为nxp与变位系数正负有关的系数当变位系数为正（与变位系数正负有关的系数当变位系数为正（0x）时）时4 . 1p；当变位系；当变位系数为负（数为负（0x）时）时9 . 1p鉴于目前手册上的这些公式大都是近似的，有误差的，并非精确的计算公式之情况，鉴于目前手册上的这些公式大都是近似的，有误差的，并非精确的计算公式之情况， 笔者近年笔者近年(2006 年年)又给出一个理论推导出的精确的计算公式（详见拙作又给出一个理论推导出的精确的计算公式（详见拙作《《圆柱齿轮跨测齿圆柱齿轮跨测齿 数的精确合理计算数的精确合理计算》》一文）一文） 公式为：公式为：5 . 01) cossin2(invzmxmWkk（（ 用于直齿）用于直齿） （（4））5 . 01) cossin2n nnnnnninvzmmxWk （用于斜齿）（用于斜齿） （（4））3式中的式中的kW和和nW当为高度变位：当为高度变位：直齿时直齿时 22)2(bkdxmdW ；；斜齿时斜齿时 bbnnndmxdWcos)2(22。

当为角度变位当为角度变位 ：： 直齿时直齿时 221.9xm)(bkddW ；；斜齿时斜齿时 bbnnndmxdWcos)9 . 1(22式中：式中： d————分度圆直径，分度圆直径，bd————基圆直径，基圆直径，b————基圆螺旋角基圆螺旋角3、对公式、对公式(1)、公式（、公式（4）合理性的验）合理性的验证证前面说过前面说过 ，公式（，公式（1）不是个情况良好的公式，它的跨齿数往往偏多，公法线的测量）不是个情况良好的公式，它的跨齿数往往偏多，公法线的测量 点靠近齿顶，情况不良公式（点靠近齿顶，情况不良公式（4）是精确、合理的公式那么它们是否如此呢？下面用一）是精确、合理的公式那么它们是否如此呢？下面用一 个算例对两个公式进行验证个算例对两个公式进行验证算例算例 一变位直齿轮，一变位直齿轮，0 121220 ) 6 . 0(x 5 . 1 ) 20(z 50z 5，、，xmmm，分度圆，分度圆mmd2502，，齿顶圆直径齿顶圆直径mmda2722，全齿高，全齿高mmh75. 9现用公式（现用公式（1）和公式（）和公式（4）分别计算跨）分别计算跨齿数，然后验证跨齿数的合理性。

齿数，然后验证跨齿数的合理性1) 计算公法线测量点所在圆直径计算公法线测量点所在圆直径kd22 bkkdWd ①① 计算基圆直径计算基圆直径bdmmddb92315.23420cos250cos0 ②② 计算公法线长度计算公法线长度kWsin2)5 . 0(cosxmzinvkmWk用公式（用公式（1）计算跨齿数，）计算跨齿数，ctgxzk25 . 01800 ，将各值代入公式，则，将各值代入公式，则68. 8205 . 125 . 018020500 00 ctgk，按规定应取，按规定应取 k=9 10.13420sin55 . 122050)5 . 09(20cos5000invWk 用公式（用公式（4）计算跨齿数）计算跨齿数 ，， 5 . 01)cossin2(zinvmxmWkk，，49925.12092315.234)55 . 19 . 1250()9 . 1(2222bkdxmdW11. 85 . 01)205020cos520sin55 . 129925.120(0 00 invk 。

按规定应取按规定应取 k=8 ，， 34.11920sin55 . 122050)5 . 08(20cos5000invWk 当当50.27092315.23410.134 922kdk，时当当50.26392315.23434.119 822kdk，时 ⑵⑵ 计算齿顶圆直径计算齿顶圆直径2ad2722ad （题给）（题给）⑶⑶ 计算公法线测量点至齿顶、齿根的距离计算公法线测量点至齿顶、齿根的距离as和和fs测量点至齿顶的距离测量点至齿顶的距离2)(kaadds ，，测量点至齿。