高考数学总复习 77立体几何中的向量方法课件 新人教A版.ppt

考纲要求1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．热点提示高考中立体几何为必考内容，并且通常有一道综合题，常居于六个解答题的中间位置，难度不是很大，但由于考查空间想象能力，故学生掌握情况差异比较大．如果用向量法来解可以降低难度，并且多数情况下都可以用向量的坐标运算来解题，为此要加强立体几何中的向量方法的学习.1．异面直线所成的角(1)过空间任一点O分别作异面直线a与b的a′与b′，那么直线a′与b′所成的的角，叫做异面直线a与b所成的角．平行线锐角或直角•(2)异面直线所成角的向量公式•两异面直线a、b的分别为m和n.当m与n的夹角不时，异面直线a、b所成的角θ与m和n的夹角相等；当m与n的夹角90°时，直线a、b所成的角θ与m和n的夹角所以直线a、b所成的角θ的余弦值为.方向向量大于90°大于互补．2．直线和平面所成的角(1)平面的斜线与它在平面上的所成的角叫做这条斜线与平面所成的角．(2)直线与平面所成角的向量公式直线a的和平面α的法向量分别为m和n，若m与n的夹角不大于90°时，直线a与平面α所成的角等于m与n的夹角的；若m与n的夹角90°时，直线a与平面α所成的角等于m与n的夹角的，所以直线a的方向向量和平面α所成的角的正弦值为 射影方向向量余角大于补角的余角3．二面角1．过二面角α—l—β棱上任一点O作于棱l的平面，与面α、β的交线分别为OA、OB，那么∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角．2．二面角的向量公式平面α与平面β的向量分别为m和n，则二面角与m、n的夹角θ相等或互补．垂直法1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则(　　)A．l1∥l2　　　　　　　B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确解析：∵a·b＝－12＋36－24＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.答案：B2．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　)A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确解析：∵n1·n2＝－6－3－20＝－29.又n1不平行于n2，∴α，β相交但不垂直．答案：C•3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)•A．120° B．60°•C．30° D．以上均错答案：C4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中平面AB1D1与平面A1BD所成的角为θ(0°≤θ≤90°)，则cosθ＝________.解析：如右图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，设正方体棱长为1，5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，证明：平面AED⊥平面A1FD1.证明：建立如右图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，令y＝1，则z＝－2，此时平面AED的法向量为n＝(0,1，－2)；同理可以求出平面A1FD1的一个法向量u＝(0,2,1)．由u·n＝0知u⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.　用向量法证明线面平行，可结合题设条件利用共线向量定理或共面向量定理证明．要注意说明直线在平面外；也可利用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证.变式迁移 1　如下图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)求证：平面PAD⊥平面PAB.证明：(1)取BC的中点O，∵侧面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，如下图所示，建立空间直角坐标系．【例2】　一个多面体的三视图及直观图如下图所示，M、N分别是A1B、B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求异面直线AM和CA1所成的角．解：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA1⊥平面ABC.且AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝a.(1)连结AC1，AB1，因为BC⊥平面ACC1A1，所以BC⊥AC1.在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1.又因为BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC.由矩形性质得，AB1过A1B的中点M，在△AB1C1中，由中位线性质得MN∥AC1，得MN⊥平面A1BC. 变式迁移 2　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于(　　)•A．30° B．45°•C．60° D．90°答案：D【例3】　如下图所示，三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC＝3.(1)求证：AB⊥BC；(2)设AB＝BC＝ 求AC与平面PBC所成角的大小．(1)证明：如题图所示，取AC中点D，连结PD、BD，∵PA＝PC，∴PD⊥AC.又已知平面PAC⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC，D为垂足．∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC.故AC为△ABC的外接圆直径，因此AB⊥BC.(2)解法一：如右图，作CF⊥PB于F，连结AF、DF.∵△PBC≌△PBA，∴AF⊥PB，AF＝CF.因此，PB⊥平面AFC，∴平面AFC⊥平面PBC，交线是CF.因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF.∠ACF为AC与平面PBC所成的角．(1)解决求直线与平面所成角的问题，关键是找到斜线在平面内的射影，将直线与平面所成的角转化成线线所成的角来度量．(2)要作出直线和平面所成的角关键是作平面的垂线，找射影，可以用三垂线定理，也可以用向量法来完成．(3)求直线和平面所成角的步骤：①作出斜线与其射影所成的角；②证明所作的角就是要求的角；③常在直角三角形(垂线，斜线，射影所组成的直角三角形)中解出所求角的大小．变式迁移 3　如右图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．•(1)直线AB到平面EFCD的距离；•(2)二面角F—AD—E的平面角的正切值．•1．角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角．•2．用向量的数量积来求解两异面直线所成的角，简单、易掌握．其基本程序是选基底，表示两直线方向向量，计算数量积，若能建立空间直角坐标系，则更为方便．•3．找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂线，或找(作)垂面，将其转化为平面角，或用向量求解．•4．二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂线定理法、面积射影法、向量法等，特别是对“无”棱(图中没有棱)的二面角，应先找出棱或借助平面法向量夹角求解．•5．若利用向量来解，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．•(1)求两异面直线a、b的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cosθ＝|cos〈a，b〉|•(2)求直线l与平面α所成的角θ•可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角．则sinθ＝|cos〈n，a〉|.•(3)求二面角α—l—β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角．•则θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．。