破解直线与圆中的定的问题.doc

破解直线与圆中的“定”的问题直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容， 是高考必考考点之一， 考题中往往涉及定点、定直线、定圆等“定”的问题，其本质就是曲线系，蕴含着数形结合思想、函数与方程思想等在解答此类问题的探索过程中， 学生常常找不到解题的切入点，为此，我们须弄清此类问题，切实掌握其解决的方法一、定点问题我 们 对 于 过 定 点 的 直 线 系 并 不 陌 生 ， 如 y kx 是 过 定 点 O 0,0 的 直 线 系 ，y kx b(b 是常数）是过定点 0,b 的直线系， y k x a b(a,b 是常数）是过定点a,b 的直线系，等等，那么，如何迅捷地找到直线所过的定点呢？例 1 平面直角坐标系 xOy 中，直线14k x23k y3 12k 0恒过一定点 P ，而直线 mxy60也过点 P ，则 m解法 1：直线 14k x23ky34k0 ，整理得 k4x3y12x2 y30，4x3 y120x3，令，解得y，所以 P 3,0x 2 y 3 00代入直线 mxy6 0，得 m2 ，答案： 2.解法 2：令 k1，则 y0 ；令 k2x3；4，则3所以直线14kx23k y312k0y0与 直 线x 3的 交 点必过直线3,0，显然 P3,0 ，代入直线mxy60 ，得 m2 。

点评：含有参数的直线 Ax By C 0 过定点时，只需将含有参数的部分整理到一起，不含参数的部分整理到一起，令系数均为 0 即可解方程得直线所过的定点变式 1：（ 2014 四川）设 m R ，过定点 A 的动直线 x my 0 和过定点 B 的动直线mx y m 3 0 交于点 P x, y ，则 PA PB 的取值范围是A.[ 5,25]B.[10, 2 5]C.[10, 45]D.[25,4 5]答案B例 2已知圆 C : x2y22kx4k10y10k200 k1 ，则圆 C过定点解法 1：圆 C 的方程可变形为x2y 210 y20k2x4y 100，所以圆 C 必过两曲线 x2y210 y200与 2x4 y100 的交点，x2y210y20 0x1联立方程，所以圆 C 过定点 1,3 解得2x4y100y3答案为 1,3解法 2：令 k0 ，则 x2y2 10 y 20 0 ，令 k5 ，则 x2y25x 5 0 ，2圆 C 所过的定点必是曲线x2y210 y200 与 x2y25x 50 的交点；而联立方程x2y210 y200 ，解得x1，所以圆 C 过定点 1, 3 。

x2y25x5 0y3点评：直线与圆的定点问题要善于从运动中寻求不变的特性， 挖掘曲线方程与哪些参数无关常见的方法有两种：其一，直接按参数分离变量，进而解出定点坐标；其二，从特殊入手，求出定点，再证这个定点与参数取值无关变式 2：若圆 x2y22x8y 13 0 的圆心到直线 axy 1 0 的距离最大时，则a （）A.13C.1B.D. 33 3答案：A二、定直线问题定直线问题往往是动点所在的定直线、 动圆的定切线， 含有多个参数， 其几何特征不明显，解决时常常不知从何入手，此时，须紧扣等量关系恒成立 ．．．，应用待定系数法来处理例 3 平面直角坐标系xOy 中，已知半径为r 的M 的圆心 M 在直线 y2x 3 上，且在 y 轴右侧，M 被 y 轴轴截得的弦长为 3r.（ 1）求 M 的方程； 2）当 r 变化时，是否存在定直线 l 与 M 均相切？如果存在，求出定直线 l 的方程；如果不存在，说明理由解析：（ 1）设 Ma,2 a3 a0，则M 的方程为x22a2r 2 ，ay3设 M 到 y 轴的距离为 d ，即 da ，由M 被 y 轴轴截得的弦长为3r ，3 r2r ，所以 r 2d2，得 d a22r22故M 的方程为xyrr 2 。

32（ 2）假设存在定直线l 与M 均相切，定直线l 的斜率不存在时，显然不合题意；krr3b设直线 l 的方程为 ykxb ，则2r 对于 r0 恒成立，k 21由k1 r b 3r k 2 1 ，得2k121 r 2k 2 b 3 rb 30 ，k 222k21k 21042k0kr 恒成立，所以k2b303 ，因为上式对任意实数，解得或b320b3b3所以存在两条定直线 y 3和 4x 3y 9 0 与动圆 M 均相切点评：本题动圆的圆心与半径都在变化， 其几何特征不明显， 故采取直接论证 dM l r恒成立 解决含有多个参数的等量关系恒成立时，必须紧扣等式的成立与r 的取值无关这一特点22， 直 线 l 的 方 程变 式3 ： 已 知 圆 C1 : x 2y3m 24m2 m 0y x m2 ，圆 C1 关于直线 l 对称的圆为 C2 1）证明：当 m 变化时， C2 的圆心在一条定直线上； 2）求 C2 所表示的一系列圆的公切线方程提示：（ 1）C2,3m2关于直线l对称的点C22m1, m1， C2 在一条定直线1k 2m1m1b对x 2 y 10 上.2ykxb ，则2 m（ ）设公切线方程为k21于 m 恒成立，整理得4k3m22 2k1k b1 mkb120 ，4k30k34 ，所以 2 2k1k b10，解之得7kb12b40所以 C2 所表示的一系列圆的公切线方程为y。