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去绝对值常用方法 This manuscript was revised by the office on December 22, 2012 去绝对值常用“六招”（初一） 去绝对值常用“六招” （初一） 绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境下面就教同学们去绝对值的常用几招 一、根据定义去绝对值 例 1、当 a = -5，b = 2， c = - 8 时，求 3│a│-2│b│- │c│的值 分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0代值后即可去掉绝对值 解：因为：a = -5＜0，b =2＞0， c = -8＜0 所以由绝对值的意义，原式 = 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7 二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值 例 2、有理数 a、b、c 在数轴上的? 位置如图所示，且│a│=│b│，化简 │c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│ 分析：本题的关键是确定 c - a、c-b、a + b 的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。

解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b 从而?c – a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0?故原式 = c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b 三、由非负数性质去绝对值 例 3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0，求 ab 的值 分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0” 解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且 b – 2 = 0 即 a = 5?b = 2 或 a = - 5?b = 2?故 ab = 10 或 ab = - 10 四、用分类讨论法去绝对值 例 4、若 abc≠0，求 + + 的值 分析：因 abc≠0，所以只需考虑 a、b、c 同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况但因为两正（负）、一负（正）的结果只有两种情况，所以其值只有四种情况 解：由 abc≠0 可知，a、b、c 有同为正号、同为负号和 a、b、c 异号 当 a、b、c 都为“+”时， + + = + + = 3 当 a、b、c 都为“-”时， + + = - - - = - 3 当 a、b、c 中两“+”一“-”时， + + = 1 当 a、b、c 中两“-”一“+”时， + + = - 1 五、用零点分段法去绝对值 例 5：求│x + 1│+│x - 2│+│x -3│的最小值。

分析：x 在有理数范围变化，x + 1、x – 2、x -3 的值的符号也在变化关键是把各式绝对值符号去掉为此要对 x 的取值进行分段讨论，然后选取其最小值解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间化简求值即可 解：由 x + 1 = 0，x - 2 = 0，x - 3 = 0 可确定零点为 - 1，2，3由绝对值意义分别讨论如下： 当?x＜-1 时，原式= - ( x + 1 ) + [ - ( x – 2 ) ] + [ - ( x – 3 ) ] = -3 x + 4 ＞3 + 4 = 7 当-1 ≤ x ＜2 时，原式= ( x + 1 ) + [ - ( x – 2 ) ] + [ - ( x – 3 ) ] = - x + 6 ＞ -2 + 6 = 4 当 2 ≤ x ＜3 时，原式= ( x + 1 ) + ( x – 2 ) + [ - ( x – 3 ) ] = x + 2 ≥ 2 + 2 = 4 当?x ≥3 时， 原式= ( x + 1 ) + ( x – 2 ) +( x – 3 ) = 3x – 4 ≥ 3×3 - 4 = 5 故所求最小值是 4。

六、平方法去绝对值 例 6、解方程│x-1│=│x-3│ 分析：对含有绝对值的方程，用平方法是去绝对值的方法之一，但可能产生增根，所以对所求解必须进行检验，舍去增根 解：两边平方： x2- 2x +1= x2- 6x + 9?有 4x =8，得 x=2?经检验，x=2 是原不等式的根 练习 1、已知实数 a、b、c 在数轴上的位置 如图，且│a│=│c│，化简： │a+c│-│a+b│+│c - b│+│a│ 练习 2、将上题中的 a、b 互换，│b│=│c│，化简其结果? 练习 3 将例 4 中的 a、b 互换，其它不变，化简其结果 练习 4、若 ab＜0，求 + + 的值 练习 5、已知：│x-12│+ (y-13)2+ (z – 5)2= 0，求 xyz 的值 练习 6、求│x - 1│+│x + 2│+│x +3│的最小值? 练习 7、解方程：│1 - x│-│x + 3│= 0 参考答案：1、c ；2、-a；3、-b；4、- 1；5、78；6、4；7、- 1； 因此脱去绝对值符号就成了解题的关键如何正确去掉绝对值符号呢当然掌握绝对值的意义是第一步（即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0）。

然后根据所给条件，明确绝对值中数的性质，正确脱去绝对值符号这样才能走困境“突出”重围举例说明如下： 例 2、若│a│= 2，│b│= 5，求 ①│a+b│；② 若 ab＜0，求│a+b│ 分析：由绝对值的几何意义知，满足绝对值为非负数的有两个数，所以要去掉绝对值必须考虑所有满足条件的数，然后再求解在①题中，满足条件的数可分别组合成四种结果，而这四种结果中其中两种是相同的在②中由于 ab＜0，即 a、b 异号，所以在两种情况中，由有理数的代数和性质知，其绝对值的结果是相同的 解：①∵│a│= 2，│b│= 5 ∴a，b 有四种组合结果为：a =2?b= 5；a =2?b= -5；a = -2?b= 5；a = -2?b= -5； ∴│a+b│= 7； 或│a+b│= 3 ②因为 ab＜0， 所以取 a = 2 ，b = -5；或 a = - 2 ，b = - 5； 故│a+b│=3 例 3、已知有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图， 化简：│a│+│b│-│a+b│-│c│+│b - c│+│a - 1│ 分析：在数轴上了解数性，这只是“突围”的开始本题含有较多的绝对值，所以其关键仍然是分别考虑每个绝对值中代数式的性质，然后根据绝对值的意义去掉绝对值，达到“突围”并转化为多项式的化简。

解：由图知-1＜b＜0＜1＜c＜a 所以由有理数加减法性质有：a + b＞0；b - c＜0； a – 1 ＞0 故原式= a – b - ( a + b ) – c + [ - ( b – c ) ] + ( a – 1 ) = a - 3b – 1 零点分段法的几何意义：从数轴上看，问题转化为：在数轴上是否存在表示数x 的点，它到表示各零点 x + 1= 0、x – 2=0、x -3=0 的距离的和最小 。