《线性代数一》补考模拟卷答案.doc

《《线性代数一线性代数一》2010》2010 年下半年补考模拟题答案年下半年补考模拟题答案一、填空题（每小题一、填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1818 分）分）1. 用行列式性质计算：= .xyxyyxyxxyxy解：考察知识点：行列式性质，包括最常见的初等变换（初等行变换 3 种，哪 3 种？对行列式变化有何影响？）(1)(2)2()2()2()1112()xyxyxyxyxyyxyxyxyxxyyxyxxyxyxyxyxyxy(3)22331112() 02()2()()2()0xxyxyxxyxyxyxxyyxyyxyx 其中：（1）将第二、三行加到第一行；（2）提出第一行的公因子；（3）将第一行依次乘以-y,-(x+y),分别加到第三行和第四行 注意：行列式的性质非常重要，一定要熟练掌握，灵活应用2. 排列的逆序数为 0 .123456789解：一定要理解记住逆序数的定义按顺序来，从第一个元素到最后一个元素， 都拿它与后面的元素进行比较，结果进行累计 第一个元素为 1，后面的元素均比它大，故有 0 个逆序； 第二个元素为 2，后面的元素都比它大，同样有 0 个逆序； 依此类推。

得出每个元素，与其后面的元素进行比较，都没有逆序出现，故逆序数为 0+0+……+0=03. 已知向量，1234,2,1 ,(0,1,6),(8,9, 10)则= 122322()T 解：考察向量的四则运算 1223282()4,2,12(0,1,6)((0,1,6)9)(0,1,6)104,0, 11( 51)(0,1,6)4,0, 11(0,51,306)(4, 51, 317)T    4. 设, , 则0115 10310AB，； （其中为自然数） AB21nAn解：解：考察矩阵间的乘积运算和幂运算直接根据定义计算即可310 15AB，在求幂方时，由于指数是抽象的，所以必须找出规律，因为为单位矩阵，则由单位矩阵性质知对则210 01A2=I,P矩阵PIP……..342,AA AAI所以，得出规律当幂指数为偶数时，则结果其实就是单位矩阵，当为奇数时，结果就是 A 本身，故.2101 10nA5. 设阶矩阵非奇异，是的伴随矩阵，则 。

nA(2)n *AA* *()A解：解：*1* *1112()()11()*()nnAA AAA AA AAAAAAA若这样看起来比较复杂，则可以令*1AA AB则有：* **11112()()11()*()nnABB BA AA AAAAAAA结果其实是一样的，只是看起来容易理解一点6. 设是非齐次线性方程组的解， 也是 s,,,21LLbAx sskkkL2211的解，则应满足的关系为 bAx skkk,,,21L12skkkL解：解：由题目条件得有，要使得也是解，,1,2,...,iAb issskkkL2211则应该有：，而我们知，1 122()ssA kkkbL1 122112212()...()sssssA kkkk Ak Ak Akkk bbLL因此，要求112skkkL二、选择题（每小题二、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 2727 分）分）1. 的充分必要条件是（C C） 。

203210kk kkA、 B、 C、 D、1k 6k  61kk 且61kk 或解：解：直接计算得2(210)(2)(3)(6)(1)3210kkkkkkkkkk0，选 C61kk 且2．设以及均为阶可逆矩阵，则等于（C C）, ,A B AB11ABn111()ABA、 B、 C、 D、11ABAB1()A ABB1()AB解解：考察矩阵的逆运算A 的逆必须满足，11*AAAAI11()AA选项 A 中，不会恒等于；111111 2()()()ABABABI选项 B 中 ，不恒11111111()()2AB ABAABAABBBIBAAB等于；同理运算 D，不是答案；选项 C 中，设的逆为 P，要证I1()A ABBP 即为，11AB1111( ())()()A ABB PIABBPABPAB A11111111()PBAB AB AAB BABA，即为，选 C111( ())()A ABB ABI111()AB1()A ABB3. 设阶方阵满足关系式，其中是阶单位矩阵，则必有（D D） 。

n, ,A B CABCIInA、 B、 C、 D、 ACBICBAIBACIBCAI 解：同样考察矩阵，包括逆矩阵、矩阵乘积等运算由于，一般我ABCI 们有，因此题目我们可以得出有以下两种结果：11PPP PI()() ()()AB CC ABI A BCBC AI 将与之四个选项对比，明显选 D4. 已知为阶正交矩阵，则下列为错误的是（A A ）,P QnA、 B、也为正交矩阵1Q PQC、 D、1T1解：考察正交矩阵的性质，看教材 P188： 由性质 1 和正交矩阵行列式值有两种可能，1 或-1，故 A 错；由性质 3 知也为正交矩阵，故 B 正确；PQ由性质 2 知，而我们知，因此 C 项与 D 项均正确，答案1T1TQ选 A5 5. 下列所指明的各向量组中,( B B )中的向量组是线性无关的. A.向量组中含有零向量 B.任何一个向量都不能被其余向量线性表出 C.存在一个向量可以被其余向量线性表出 D.向量组的向量个数大于向量的维数解：解： 考察线性相关和无关的性质。

首先，零向量与任何向量都是线性相关的，因此线性无关的向理组中不可能有 零向量，A 错； 定理 3.7，教材 P132，向量组线性相关充要条件是其中至少有一个向量是其余 向量的线性组合，即至少有一个向量可以由其余向量线性表出（见 P124 定义 3.5）,其逆否定题为：任何一个向量都不能被其余向量线性表出则是线性无关， B 正确； C 中是使得定理 3.5 线性相关成立的条件，故错误； D 中，向量组的维数即等于向量组的秩，即是其极大无关组所含向量的个数， 若向量组的向量个数大于向量的维数，说明极大无关组不是向量组本身，而只 是其子集，说明向量组线性相关，D 错误，选择 B6.下列叙述中，错误的有（ C C ）A、若向量正交，则对于任意实数也正交与, ,a b ab与B、若向量与向量都正交，则与的任一线性组合也正交12，12，C、若向量正交，则中至少有一个零向量与与D、若向量与任意同维向量正交，则是零向量解：解： 对于 A，因，则0T ()()()0TTabab 对于 B，因，，则10T 20T 1122112212()000TTTTkkkkkk  对于 C，设,则，但是均为非零向量，C 错。

1,0) ,(0,1)TT0T 与对于 D，设,则，同理可证121( ,,) ,(1,0,0)TT nx xx… ，，… ，0110Tx ，故是零向量230nxxx…7. 设为阶矩阵，且相似，则以下错误的是（C C）,A Bn,A BA、； B、；( )( )r Ar BABC、有相同的特征向量；,A BD、有相同的特征多项式，从而有相同的特征值A B解：考察相似的定义及相关性质，教材 P117 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的秩，有相同的行 列式值，但不一定有相同的特征向量，因此，明显选 C8. 若是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的导出组，则下列结论Am n0Ax Axb正确的是（D D）A、若仅有零解，则有惟一解；0Ax Axb B、若有非零解，则有无穷多个解；0Ax Axb C、若有无穷多个解，则仅有零解；Axb0Ax  D、若有无穷多个解，则有非零解Axb0Ax  解：考察与之间的关系，请参看教材第三章第五节0Ax Axb同时要注意到0,.AxAxb有解时未必有解因为解的形式为：一个特解+ 的基础解系，当然它也可以无解；Axb0Ax 若仅有零解，等价于只有唯一解，即基础解系就为零，因此0Ax 0Ax  要么无解，要么解的形式：一个特解+0（即唯一解） ，因此 A 错；Axb若有非零解，即基础解系不等于 0，则要么无解，要么解的形式：0Ax Axb 一个特解+ 的非零基础解系，即有无穷多解，因此 B 错；0Ax 反过来，若有无穷多个解，则解的形式必为：一个特解+ 的非零Axb0Ax  基础解系，因此有非零解，故 C 错，选 D。

0Ax 9. 设向量组，则其极12341,1,3,1 ,( 1,1, 1,3),(5, 2,8, 9),( 1,3,1,8)  大线性无关组为（C C） A、 B、 1234,,,   123,,  C、 D、 124,,  14, 解:考察极大线性无关组的定义及求解，设进行初等行变换1234TTTTA(1)(2)(5)(3)(4)115111511151 112302740274 318102740000 1398041490001311511001151270274012200010001 00000000A      70102 0001 0000     其中： （1）将第一行的(-1)倍加到第二行,第一行的(-3)倍加到第三行,第一行的（- 1）倍加到第四行; （2）将第二行的(-1)倍加到第三行，第一行的（-2）倍加到第四行; （3）互换第三行和第四行； （4）将第二行除以 2; （5）将第三行加到第一行；第三行的（-2）倍加到第二行；第二行加到第一行;由于矩阵的初等变换不改变其列向量的线性关系,故得该向量组有两个极大线性无关组，分别为124134,,,,    或（实际上,上式只需化简到(2)后面的矩阵(记为 B)即可.对矩阵 B,通过观察可知.）因此，只有选项 C 符合答案，故选 C。

三、 （8 分）计算行列式：121210...0 01...000...1 ...0nnb bb aaaMMMM解：考察行列式的计算，期间最多用到的就是初等行变换的性质11122 )1221 110...010...001...001...000...100...1...00...annnnbbbbbbaaaaaab MM。