对弧长微分教学的探讨.doc

对弧长微分教学的探讨对弧长微分教学的探讨摘要摘要: 基于工科数学教学的要求,提出了弧长微分教学的两种讲授方式, 对改进工科《高 等数学》的教学是有益的尝试 关键词：关键词： “以直代曲” ， 弧长，弧长微分，切线，光滑曲线1． ““以直代曲以直代曲””许多《高等数学》教材是通过所谓“以直代曲”的思想来表达弧长微分公式的， 即 用切线近似代替曲线得到如下弧长微分公式（1）dxyds21这个公式可用图 1 来说明：若bxaxfy),(是光滑曲线, 则当足够小时，曲线弧的长度x MN可用切线的长度近似代替，即它们的差是的MPx高阶无穷小同济大学《高等数学》 （第六版）通过假设：（2）1MNMN lim 0x导出导出公式（1） ，本质上仍然是“以直代曲”的翻版，因为（3）1MPMNlim 0 x是显而易见的 虽然“以直代曲”是微积分的基本思想，但在使用这一方法处理问题时有必要考察其 合理性，即在什么条件下才可以用“以直代曲” 处理相应的问题就笔者所见, 工科《高 等数学》教材都没有证明应用“以直代曲”计算曲线的弧长微分的合理性, 一些《数学分 析》教材对光滑曲线给出的证明又不适合工科数学教学的要求. 本文分别对二阶可导曲线 和光滑曲线给出了适合工科数学教学要求的证明. 在证明之前, 我们先给出弧长和光滑曲线的定义.定义定义 1 设 是平面上曲线, 起点在 A,终点在 B. 从 A 到 B 取个分点:l1n(4)BM,,M,M10AnL依次地把曲线 分成段(见图 2), 然后将相邻两点用直ln线段联结起来,得到弦,, 这10MMnMM,,MM1n21L就是一条折线.若当分点无限增加,且每一条弦的长度都 趋向于零时, 折线长度趋向于某个确定的数,则我们说曲线 可求长,其长度就是这个确定的数, 称为曲线 的弧长.ll定义定义 2. 设曲线 有参数方程 (5)lttyytxx),(),(且时得到点 A, 时得到点 B, 又设函数与在区间上是连续的, tt)(tx)(ty],[且及不能同时为零. 我们称这种曲线为光滑曲线.)(tx)(ty由定义 1 可知, 曲线弧的长度可由折线逼近. 由定义 2 可知, 光滑曲线就是在曲线 上每一点有切线, 并且切线的长度和方向沿曲线连续的变化.2. 对应用对应用““以直代曲以直代曲””计算二阶可导曲线的弧长微分的考察计算二阶可导曲线的弧长微分的考察 二阶可导曲线是比光滑曲线光滑程度更高的曲线, 考察它的“以直代曲” 计算弧长微 分的合理性更简单, 却同样能达到工科数学教学的目的.命题命题 1 设曲线 二阶可导,且, 则此曲线的弧长微bxaxfy),(0)(  xf分可由公式(1)确定. 证明证明: 只需证明“以直代曲”公式(2)成立. 如图 3, M 为, N 为,))(,(xfx))(,(xxfxxML 为在 M 点的切线, NL 为)(xfy )(xfy 在 N 点的切线. 因为, 所以曲线弧0)(  xf MN位于之内.LMN首先我们证明不等式: (6)LNLMMNMN事实上, 在上任取一点 A, 在 A 点作的切线交 LM 于 B, 交 LN 于 C, 则 MN)(xfy CACNBABMANAMMNLNLM 同理同理, 在在上任取个分点, , 则 MN1nNM,,M,MM10nL(7)LNLMMMMN1inii令 则 的极限存在且与分点的取法无关, 即可求, 0MMmax1iii ni 01iiMM MN长且公式(6)成立.其次, 我们证明: (8)1LNLMMNlim 0x设 , , 则)(LMN1x)(LNM2x21cosLNcosLMMN)cos()LNLM(MN)cos()LNLM(2121)cos(LNLMMN)cos(2121这里, , 所以0)(lim)(lim2010 xx xx1)cos(lim)cos(lim210210  xx即得公式(8), 从而由公式(6)和(8)可得公式(2). 证毕. 命题 1 虽然通过“以直代曲”公式(2)可获证, 但光滑曲线要比命题 1 中的曲线复杂得 多, 比如如下曲线:(9) 0, 00,sin)(4xxxxxfy为光滑曲线, 但在处的切线在切点附近与曲线有无穷个交点, 而不是如图 3 那样位于0x 曲线的一侧. 因此, 这里有必要进一步考察一般光滑曲线, 其“以直代曲”公式(2) 是否仍 然成立?3. 对应用对应用““以直代曲以直代曲””计算光滑曲线的弧长微分的考察计算光滑曲线的弧长微分的考察 对于一般光滑曲线, 弧长微分公式的推导比较困难, 比如北京大学《数学分析》是先 导出弧长积分公式后，再导出弧长微分公式的. 这里我们将直接证明“以直代曲”公式(2), 这个证明仅仅应用了微分中值定理而不涉及积分理论.命题命题 2. 设曲线 为光滑曲线, 则此曲线的弧长微分可由公式(1)确bxaxfy),(定. 证明证明: 只需证明“以直代曲”公式(2)成立. 首先我们给出光滑曲线切线的一个性质.对于光滑曲线, 它的切线的方向沿曲线连续的变化, 即在上连)(xfy )(xf ],[ba续, 从而在上一致连续, 因此, 只要足够小, 则对任意],[bax)()(xxfxf也足够小, 即曲线在任意两点和处切线],[bax)(xfy ))(,(xfx))(),((xxfxx的夹角(取锐角) 足够小.如图 4, M 为, N 为,在在上任取个分点, ))(,(xfx))(,(xxfxx MN1n, 其中, 对应的坐标为, 则NM,,M,MM10nLiMnifii,, 1 , 0))(,(K. 根据微分中值xxxnL10定理, 弦的斜率可表示为1iiMM, 1MM)( 1i iiiifK i弦的斜率可表示为: . 因此, 若设为与MNxxxfK)(MNi1iiMM的夹角(取锐角), 则当足够小时, 也都足够小, 并且MNxi(10)inicosMMMN101ii(11))cos()MM(MN)cos()MM(1101ii1101iiininiinini不妨设 , 则 (12)21cosiMN2MM101iini令 则 的极限存在且与分点的取法无关, 即可求, 0MMmax1iii ni 01iiMM MN长. 所以, 由(11)式可得:(13))cos(MN(MN)cos(MNiiii 从而可得: 证毕.1MNMN lim 0x参考文献 [1] 同济大学数学教研室主编， 《高等数学》上册（第六版）,高等教育出版社，2006.12 [2] 北京大学数学系沈燮昌编， 《数学分析》第二册，高等教育出版社，1986. 4。