2 电动习题 郭硕鸿 第二章.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑2 电动习题 郭硕鸿 第二章 其次章 静电场 1.一个半径为R 容率?， （1）计算束缚电荷的体密度和面密度； （2）计算自由电荷的体密度； （3）计算球外和球内的电势； （4）求该带电介质产生的静电场总能量 解；（1） ??r的电解质球，极化强度为P?k2r，电 ?1p?prer?ker r束 缚 电 荷 的 体 密 度 为 ： ??p?1?21?21k????p??2(rpr)??2(rk)??2 r?rr?rrr?????R?r???k????p n?(p2?p1)???p 2RR 束缚电荷的面密度由公式： k??得：?p (2) 由第一章第九题得： ???(1??p?0??k??)?f??f??p??0??(???0)r2 （3）由于球内电荷为球对称分布，所以电场具有球对称性 对球内用高斯定理有： ?k12?k4?r 4?rD??v?fdV?????r2rsin?d?d?dr???? 002 ??kDkkr?D??E???E内?(?-?0)r?(?-?0)r(?-?0)r2? 对球外用高斯定理有 4?r2D???fdV??v?k1?k12?k?4?R dV?rsin?d?d?dr=???0r2???0?r2???0???kRD?kR?kRr?D??E???E?外(?-?0)r2?0?0(?-?0)r2?0(?-?0)r3??外?? Q4??0r= Rr?kR (???0)?0r?内R ?内??Edr??Edr+?E外drr??Rr?kdr???(???0)rR??kR?kkR?ln??(ln?) ?(???0)r?0(?-?0)?-?0r?0（4）由题意得： 球外有 ??kR? E?r（???0）?0r2 ???kR? D??0E?r2（???0）r 球内有 ?E?k? r(???0)r ???k? rD??E?（???0）r1??1R?W??D?EdV??220（?K???0） 2111dV+?r22?K2R21?R(???0)?0r4dV ? =1?4?2（?K???0?K???0） 21??R01dr+?4?2（?K???0） 2R2?0??R1dr 2r=2?（ ）2?RR?K??R=2（??????0???0?）2（1+?） ?02. 在平匀外电场中放置半径为R0的导体球，使用分开变量法求以下两种处境的电势： （1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差?0；（2）导体球上带总电荷Q。

解：（1）以球心为圆点，以外电场E方向建立球坐标系，此题 的 定 解 问 题 ?： ???????? ?2??0(1)(2)(3)?R??R?R0??0??0?E0Rcos?由于此问题具有轴对称,从(1)得通解 由?R??=?0?E0Rcos?得 ?0?E0Rcos?=?anRnPn(cos?) n?0?bn???(aR?n+1)Pn（cos?Rn?0?nn）(R?R0) a0??0 a1??E0 ? an?0(?n0 , 1) ????0?E0Rcos?+?由?R=R0bnP(cos?)（R?R0） n+1nRn?0??0得 ?R?R?0??0?E0R0cosθ??bnP(cos?)??0 n+1nn?0R0?bnP??0??0?E0R0cos??b0?(?0??0)R0?n+1nn=0R0 b1?E0R30 bn?0(n?0,1) (R?R0) (?0??0)R0E0R30?=?0?E0Rcos?+?cos?2RR(2) 建立同样的坐标系，定解问题为： ??2??0???R????0?E0Rcos?????ds??Q?s?R????0???R?R0?(1)(2)(3)(4) 重复第一问的过程，得到 由条件（3）得： (?0??0)R0E0R30?=?0?E0Rcos?+?cos?2RR ????2 ???Rds???RRd? = ??(?0??0)R0E0R30?E0cos???23cos??d? 2?R?RR??2 ?=????E2R30?0R?2E0R??cos?d???(?0??0)R0d? =?4?R0(?0??Q0)??? 0 ?Q0?4??R??0 00代入上式代替?0得 ?=?EQE30?0Rcos?+4???0R02cos?（R>R0） 0RR23. 场平匀介质球的中心置一点电荷Qf，球的电容率?球外为真空，试用分开变量法求空间电势，把结果与用高斯定理结果相对比。

解：由题意得定解问题 ???2??Qf?1??R0)???(r?c)(R??2?2?0(R?R?0)??1?R?0?有限值???2R???0??1???2R=R0?????1???2??R?0?RR?R0 对(1)设?1??0??1? ?Qf0?4??R 那么， (1)(2)(3)(4)(5)(6) — 5 —。