高考数学第一轮复习教案 专题9不等式.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑高考数学第一轮复习教案 专题9不等式 专题九 不等式 一、考试内容： 不等式．不等式的根本性质．不等式的证明．不等式的解法．含十足值的不等式． 二、考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌管两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简朴的应用． （3）掌管分析法、综合法、对比法证明简朴的不等式． （4）掌管简朴不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 三、命题热点 高考对该片面主要从以下几个方面测验：一元二次不等式、一元二次不等式组和简朴的线性规划问题、根本不等式的应用等高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽一致，但总的趋势是难度在下降；试卷中没有不等式解答题，通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层测验那么在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中测验 四、学识回想 1. 不等式的根本概念 （1） 不等（等）号的定义：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b. （2） 不等式的分类：十足不等式；条件不等式；冲突不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的根本性质 （1）a?b?b?a（对称性） （2）a?b,b?c?a?c（传递性） （3）a?b?a?c?b?c（加法单调性） （4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） （5）a?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减） （6）a.?b,c?0?ac?bc （7）a?b,c?0?ac?bc（乘法单调性） （8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘） (9)a?b?0,0?c?d?ab?cd（异向不等式相除） (10)a?b,ab?0?11（倒数关系） ?ab（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法那么） （12）a?b?0?na?nb(n?Z,且n?1)（开方法那么） 3.几个重要不等式 （1）若a?R,那么|a|?0,a2?0 （2）若a、b?R?,那么a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号） （3）假设a,b都是正数，那么 ab?a?b.（当仅当a=b时取等号） 2极值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P,那么： 1假设P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○ 2假设S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. ○ 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. (4)若a、b、c?R?,那么a?b?c3?abc（当仅当a=b=c时取等号） 3ba(5)若ab?0,那么??2（当仅当a=b时取等号） ab(6)a?0时，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a （7）若a、b?R,那么||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| 4.几个出名不等式 （1）平均不等式： 假设a,b都是正数，那么 a?ba2?b2（当仅当 ?ab??.1122?ab2a=b时 取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）： 2222a?ba?ba?ba?b22更加地，ab?(（当a = b时，()?)??ab） 2222a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c时取等) 33??22?...?an??幂平均不等式：a12?a221(a1?a2?...?an)2 n注：例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2). 1111111常用不等式的放缩法：①???2???(n?2) nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n②n?1?n?1n?n?1?12n?1n?n?1?n?n?1(n?1) （2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;那么2222222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)2?(a1?a2?a3???an)(b12?b2?b3??bn)aaaa当且仅当1?2?3???n时取等号b1b2b3bn （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1?x2),有 f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2) )?.22那么称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法 对比法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法）. 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax>b解的议论； 2 ②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的议论. （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么 f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ○1 ?f(x)?0????定义域 f(x)?g(x)??g(x)?0??f(x)?g(x)? ○2f(x)?g(x)??g(x)?0??f(x)?0f(x)?0 ○3或??g(x)?02???f(x)?[g(x)]?f(x)?0? f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)]（4）.指数不等式：转化为代数不等式 af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x) af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb（5）对数不等式：转化为代数不等式 ?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?（6）含十足值不等式 1应用分类议论思想去十足值； ○2应用数形思想； ○ 3应用化归思想等价转化 ○ g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)? g(x)?0?|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同时为0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x) 注：常用不等式的解法举例（x为正数）： ①x(1?x)2?1124 ?2x(1?x)(1?x)?()3?2232722x2(1?x2)(1?x2)123423②y?x(1?x)?y? ?()??y?2232792类似于y?sinxcosx?sinx(1?sinx)，③|x?1|?|x|?|1|(x与1同号，故取等)?222xxx 7、二元一次不等式（组）与简朴线性规划问题 (一)二元一次不等式表示的区域 对于直线Ax?By?C?0(A>0) 当B>0时, Ax?By?C?0表示直线Ax?By?C?0上方区域; Ax?By?C?0表示直线Ax?By?c?0的下方区域. 当B<0时, Ax?By?C?0表示直线Ax?By?C?0下方区域; Ax?By?C?0表示直线Ax?By?c?0的上方区域. （二）线性规划 (1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次 不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达成最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数. 另外留神：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. (2)一般地，求线性目标函数性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. (3)那么，得志线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由全体可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影片面表示的三角形区域.其中可行解（x1,y1）和（x2,y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解务必首先要看它们是否在可行 (4)用图解法解决简朴的线性规划问题的根本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z=0，画出直线l0. 3.查看、分析，平移直线l0，从而找到最优解. 4.结果求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应切实建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数. 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 结果，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际处境求得最优解. 五、典型例题 例1 在ΔABC中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证： ??≤B＜. 32这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件启程，去推证出关于 另一(些)量的不等关系.虽说此题测验的是对数、三角函数、不等式的一些相关根基学识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要纯熟掌管对数、三角函数及不等式的学识，在这里根据题意激活学识也是必不成少的. 2 简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA·tgc?tgB=tgA·tgc tgB=tg(π-(A+C))=-∴tgA+tgC=tgB(tgB－１) ∵tgA+tgC≥2tgA?tgC=2tgB 即 tgB-1≥2 ∴tgB≥3 ∵B≥ 2 2 tgA?tgC 1?tg2B? ?? 3这里，抓住了tgB=tgA·tgC这一相等关系及tgB=- 2 tgA?tgC隐含关系.通过tgA+tgC 1?tgA?tgC≥2tgA?tgC这一恒成立的不等式得出关于tgB的不等式，求解即得结论. b)“不等”向“相等”的转化. ⅰ)由实数理论知：若a≥b且a≤b那么必有a=b，这是由“不等”变为“相等”的典型 22 模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)≤0及隐含条件(x-y)≥0可以导出(x-y)２＝0 ⅱ)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y＞0?y＞-x可含y=-x+t，这里t＞0，从而把x,y的“不等”关系转化为某种“相等”关系. ２ 例2 已知a、b、c?R，函数f(x)=ax＋bx+c，g(x)=ax+b，当-1≤x≤1时，f(x)≤1 (1)证明：｜c｜≤｜ (2)证明：当｜x｜≤1时，｜g(x)｜≤2 (3)设a＞0，当｜x｜≤1时，g(x)的最大值是2，求f(x). 此题综合了函数、方程、不等式的学识。