第2章-平稳过程习题答案.doc
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第二章 平稳过程1．指出下面所给的习题中，哪些是平稳过程，哪些不是平稳过程？（1）设随机过程，t>0，其中具有在区间中的均匀分布解：∵ 该随机过程的数学期望为∴ 该随机过程不是平稳过程2）设随机过程在每一时刻的状态只取0或1数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对任意固定的t有其中解：∵ 该随机过程的数学期望为（常数）该随机过程的自相关函数为： 结果与t无关∴ 该随机过程是平稳随机过程3）设是独立同分布的随机序列，其中的分布列为1-1，j=1,2,…P定义 ，试对随机序列，讨论其平稳性解：∵ ∴ （常数）又因为随机序列的自相关函数 m为自然数∵ 即∴ 该随机过程不是平稳过程4）设随机过程，其中为正常数，是相互独立的随机变量，且A服从在区间[0，1]上均匀分布，而服从在区间[0，2]上的均匀分布解：∵ （常数）而自相关函数为：∴ 该随机过程是平稳随机过程5）设随机过程，其中在区间中服从均匀分布解：随机变量的概率密度为∴ 不是常数∴ 该随机过程不是平稳过程6）设有随机过程，而随机向量的协旗阵为解：∵ 当时不是常数∴ 该随机过程不是平稳随机过程。
7）设有随机过程，其中X，Y，Z是相互独立的随机变量，各自的数学期望为0，方差为1解：∵ （常数）自相关函数 ∴ 该随机过程不是平稳随机过程8）设有随机过程（随机变量），则解：∵ （常数）∴ 该随机过程是平稳随机过程2．设随机过程，其中U是在[0，2π]上均匀分布的随机变量试证（1）若，而，而是平稳过程；（2）若，而，而不是平稳过程证明：（1）∵ 该随机过程的数学期望为（常数）∴ 是平稳随机过程2）∵ 的数学期望为 不是常数∴ 不是平稳过程3．设随机过程其中是常数，A与Φ是独立随机变量Φ服从在区间（0，2π）中的均匀分布A服从瑞利分布，其密度为设随机过程，其中B与C是相互独立正态变量，且都具有分布N（0，）1）试证是平稳过程证明：对于随机过程的数学期望为 （常数）自相关函数∴ ∴ 该随机过程为平稳随机过程2）用本章例4说明Y(t)是平稳过程证明：∵ 根据例4，随机过程Y(t)是平稳随机过程4．设S(t)是周期为T的周期函数，而是在区间（0，T）上的均匀分布的随机变量，随机过程称为随机相位周期过程试问X(t)是否为平稳过程，又问它是否具有各态历经性解：∵ （周期函数性质）∴ 常数 又 ∵ ∴ 的周期也为T。
∴ ∴ 是平稳随机过程再讨论随机过程X(t)的各态历经性∵ 5．设是随机相位周期过程，它的一个样本函数如下图所示周期和振幅都是常数，相位是区间（0，）上的均匀分布，求解：根据上图，得则 6．随机过程其中A和Φ是相互独立的随机变量，而Φ在区间（0，2π）上均匀分布，试问X(t)是否具有各态历经性解：∵ （常数）===∴该平稳过程具有数学期望各态历经性下面讨论相应函数的各态历经性令 （固定）由于A与相互独立，则有 令则有∴ 该平稳过程不具备自相关函数各态经性7．随机过程 其中A和B号均值为零不相关的随机变量，且试证明X（t）具有数学期望各态历经性，而无相关函数各态历经性解：（常数）== ∵ 该随机过程是平稳随机过程 现证数学期望各态历经性 当时∴该平衡过程具有数学期望各态历经性 （利用均方极限的性质4）即自相关函数无各态历经性8．设平稳过程的相关函数，其中A，a都是正常数；而，试问对数学期望 是否具存各态历经性解： （L′hospital法则）即平稳随机过程具有∴ 平稳随机过程关于数学期望具有各态历经性9．设和是相互独立的平稳随机过程，证明也是平稳随机过程。
证明：∵ （常数） 与无关∴ 随机过程 也是平稳随机过程10．设平稳过程和相互独立令，试求的自相关函数解：∵ 都是平稳过程∴ （常数），（常数） ∴ 11．平稳过程的相关函数为度求均方值解：根据平稳过程自相关函数的性质有13．设有随机过程其中是相互独立随机变量，而A的均值为2，旗为4；在（-）上服从均匀分布；在（-5，5）上服从均匀分布，试求的自相关函数，并问是否平稳以及是否具有各态历经性解：∵（常数） ∴该随机过程具有平稳性又∵∴该平稳过程关于数学期望具有各态历经性又∵∴该随机过程不具有相关函数各态历经性14：设有随机过程其中平稳过程和仅随机变量V三者相互独立，且，又EV=2，DV=9试求Z（t）的数学期望， 和相关函数解：∵∴∴∴ ∵ ∴ ∴ 15：设X（t）是雷达的发射信号，遇到目标的回波信号为，是信号返回时间，回波信号必然伴有噪声，记为N（t），于是接收机收到的全信号为假定X（t）和N（t）平稳相关1）求互相函数；（2）若N（t）的数学期望为零，且与X（t）相互独立，求解：（1）先求互相关函数（2）∵X（t）与N（t）相互独立，且∴16：设有两个平稳过程其中为常数，而是在（0，2π）上均匀分布的随机变量，试求与。
解：∵ 17．设是独立同分布随机过程，且，试问是否为平稳过程？又是否均方连续.解：（常数） 这与t无关∴ 该随机过程是平稳随机过程又因为在点不连续，根据定理不均匀连续18．设是平稳过程（1）若存在T>0 使得 ，则对固定的t有 （提示：）证明：根据概率论中的契比雪夫不等式有∵ 是平稳过程 故 ∴ ∵ 存在T>0， 使得，则对上式T>0. [证毕]（2）若可导，则证明：∵ （3）若可导，则是平稳过程，且它的相关函数证明：∵ 是平稳过程，故 （常数），而 ∴ （常数）又 ∵ 19．设和是平稳相关随机过程若和满足微分方程其中a是非零常数，则它们的数学期望满足：证明：两边同时取数学期望有：即 因为，是平衡随机过程，则（常数），（常数）∴ 即20．设是平稳过程，且，试求随机变量的数学期望和方差.解：∵ 21．设复随机过程其中是在上均匀分布的随机变量，而常数，试求的相关函数，并讨论其平稳性解：∵ ==（常数）随机过程是平稳过程22．设X（t）是数学期望为零的平稳正态过程，又，求证证明：显然= 其中= 令====上面的证明同时也说明是平稳随机过程。
[证毕]23．（1）下列函数哪些是功率谱密度，哪些不是？为什么？ 解：根据功率谱密度的性质，功率谱密度是实的，非负的偶函数，所以，，不是功率谱密度，而是功率谱密度2）对上面的正确功率谱密度表达式计算自相关函数和均方值解：∵ ∴ 自相关函数为而均方值为24．已知平均过程的功率谱密度为求的均方值解：∵ 25．试说明下图所示函数不可能是某个平稳过程的自相关函数解：如果自相关函数在连续，则它必在T上连续，但在该题中自相关函数在连续，但它并不在（-∞，+∞）上连续故该图所示的函数不可能是某个平稳过程的自相关函数26．已知下列平稳过程的自相关函数，试求的功率谱密度1）解： ∵ ∴ ∴ 同理 ∴ （2）解：∵ （3）解：∵==（4） 其中a>0解：∵===而 27：已知下列平稳过程的功率谱密度，试分别求的自相关函数 （1） 解：（2）解： （3）解：=（4）解：论 则 当时 由于是偶函数 （5）其中 解： （6） 解： = 28：记随机过程 其中是平稳过程，为区间（0，2π）上均匀分布的随机变量，为常数，且和是相互独立的，论的自相关函数为，功率谱密度为试证：（1）是平稳过程且它的自相关函数（2）的功率谱密度为证明：（1）先证是平衡过程 （常数） 是平稳随机过程，且（2） （利用Fourier变换的性质）29：如下图所示系统中，若输入的平稳过程，输出为 ，试求的谱功率为 解 = (利用Fourier变换的性质)30：设平稳过程为 其中a是常数，是在（0，2π）均匀分布的随机变量，Ω是具有分布密度为偶函数的随机变量，且与Ω相互独立，试证的功率谱密度为：证明：根据相关函数的定义有： 31：若二个随机过程 ，， 其中A（t）和B（t）是相互独立数字期望为零的平稳过程，且有相同的自相应函数。
试证：是平稳过程，而和都不是平稳过程证明： 与有关，不是平稳过程同理可证也不是平稳过程理证是平稳过程因为（常数）===（与t无关）∴是平稳随机过程32．设平稳过程和是平稳相关的，试证：证明：∵∴∴，33．设和是两个不相关的平稳过程，数字期望分别为都不为零，定义，试求互谱密度和解：∴向=∴=34．设复随机过程是平稳的，试证：（1）自相关函数满足2）的谱功率是实函数证明：∵∴∴（1）式成立又∵==即∴是实函数35．如果一个均值为零的平稳过程（-∞
