异面直线的距离推荐课件.ppt

距离（二）距离（二）异面直线的距离异面直线的距离2021/8/221ABCA1思考思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？：任意两条异面直线都有公垂线吗？ 有多少条公垂线？有多少条公垂线？已知异面直线已知异面直线AA1和和BC，，直线直线AB与异面直线与异面直线AA1，，BC都垂都垂直相交和两条异面直线都和两条异面直线都垂直相交垂直相交的直线叫做两条异面直线的的直线叫做两条异面直线的公垂线公垂线，公垂线夹在异面直，公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异线间的部分，叫做这两条异面直线的面直线的公垂线段公垂线段2021/8/222定理一定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线任意两条异面直线有且只有一条公垂线存在性：存在性：abPa’αQMβcBA直线直线ABAB就是异面就是异面直线直线a,ba,b的公垂线的公垂线唯一性：唯一性：假如还有直线假如还有直线A A’’B B’’也是也是a,b的公垂线，则的公垂线，则 A’B’⊥ ⊥a A’B’⊥ ⊥b a’//a A’B’⊥ ⊥a’所以所以 A’B’⊥ ⊥平面平面α α 又又AB ⊥ ⊥平面平面α AB//A’B’ 则则 a,b共面共面 矛盾！矛盾！A’B’2021/8/223定理二：定理二：两条异面直线的公垂线段长是分别连两条异面直线的公垂线段长是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。

结两条异面直线上两点的线段中最短的一条abABCD练习：证明定理二练习：证明定理二两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离两条异面直线的距离2021/8/224例例1：课本：课本P50 例例2aa’bA’AdEFlmnθ2021/8/225求异面直线的距离的常用方法：求异面直线的距离的常用方法：（（1 1）） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度2 2）） 转化为求线面间的距离转化为求线面间的距离abαa//平面平面αα（（3 3）） 转化为求平行平面间的距离转化为求平行平面间的距离abαβa//平面平面ββ, b//, b//平面平面αα（（2 2），（），（3 3）可进一步转化为点到平面的距离可进一步转化为点到平面的距离2021/8/226（（4 4）用模型公式）用模型公式（（5 5）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长abEFn2021/8/227例例2：：如图，已知空间四边形如图，已知空间四边形OABC各边及各边及对角线长都是对角线长都是1，，D,E分别是分别是OA,BC的中点，连结的中点，连结DE。

1）求证：）求证：DE是是OA和和BC的公垂线的公垂线2）求）求OA和和BC间的距离间的距离OABCDE2021/8/228例例3：：正方体正方体ABCD——A1B1C1D1中，中，P为为AB中点，中点，Q为为BC中点，中点，AA1=a, O为正方形为正方形ABCD的中心，求的中心，求PQ与与C1O间的距离间的距离ABCDA1B1C1D1OPQ2021/8/229例例4：：已知二面角已知二面角α-l-βα-l-β的大小是的大小是1200，，A,C 且且AB⊥l,CD⊥l⊥l,CD⊥l，，AB=CD=a, AC=2a,求（求（1））BD的长；的长； （（2））BD和和AC所成角的余弦值；所成角的余弦值； （（3））BD和和AC的距离ABCDlαβ2021/8/2210作业：课本作业：课本P51 3,4,5,82021/8/2211。