章末检测卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各式正确的是( )A．(sina)′＝cosa(a为常数)B．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－x－6解析：由导数公式知选项A中(sina)′＝0；选项B中(cosx)′＝－sinx；选项D中(x－5)′＝－5x－6.答案：C2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析：y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝a＝1.将点(0，b)代入切线方程，得b＝1.答案：A3．已知某物体运动的路程与时间的关系为s＝t3＋lnt，则该物体在t＝4时的速度为( )A. B.C. D.解析：由s＝t3＋lnt，得s′＝t2＋，所以s′|t＝4＝42＋＝.答案：C4．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝( )A．e2 B．eC. D．ln2解析：f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，f′(x0)＝lnx0＋1＝2⇒x0＝e.答案：B5．函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )A．0f′(3)>0，设A(2，f(2))，B(3，f(3))，则kAB＝，由图象知00；当x>16时，T′<0，所以当x＝16时，T取得最大值，故日产量应定为16件．答案：B9．由函数y＝－x的图象，直线x＝1，x＝0，y＝0所围成的图形的面积可表示为( )A.(－x)dx B.|－x|dxC.－1xdx D．－xdx解析：由定积分的几何意义可知所求图形的面积为S＝|－x|dx.答案：B10．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F所作的功为( )A．10 J B．14 JC．7 J D．28 J解析：W＝F(x)dx＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝(2·32－3)－(2·12－1)＝14 J.答案：B11．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是，则c等于( )A. B.C．1 D.解析：由得x＝0或x＝(c>0)，∴∫0(x2－cx3)dx＝.解得c＝.答案：B12．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，0) B．(－∞，4]C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)解析：2xlnx≥－x2＋ax－3(x>0)恒成立，即a≤2lnx＋x＋(x>0)恒成立，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中，其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．解析：v0＝li ＝li ＝li ＝li ＝v.答案：相等14．函数f(x)＝(x∈[－2,2])的最大值是________．最小值是________．解析：∵f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－，∴f(x)在[－2,2]上的最大值为2，最小值为－2.答案：2 －215．若dx＝3＋ln2，则a的值是________．解析：dx＝(x2＋lnx)＝(a2＋lna)－(1＋ln1)＝(a2－1)＋lna＝3＋ln2.∴∴a＝2.答案：216．若函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知x>0，f′(x)＝1＋，要使函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则需方程1＋＝0在x>0上有解，即x＝－a，所以a<0.答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．解析：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)方法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．方法二：由题意知，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝＝，又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．18．(12分)物体A以速度v＝3t2＋1在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5 m处以v＝10t的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A走过的路程是多少(时间单位为：s，速度单位为：m/s)?解析：设A追上B时，所用的时间为t0，依题意有sA＝sB＋5，即∫t00(3t2＋1)dt＝∫t0010tdt＋5，∴t＋t0＝5t＋5，即t0(t＋1)＝5(t＋1)，t0＝5 s，∴sA＝5t＋5＝130 (m)．19．(12分)已知F(x)＝－1t(t－4)dt，x∈(－1，＋∞)．(1)求 F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．解析：F(x)＝－1(t2－4t)dt＝＝x3－2x2－＝x3－2x2＋(x>－1)．(1)F′(x)＝x2－4x，由F′(x)>0，即x2－4x>0，得－14；由F′(x)<0，即x2－4x<0，得0400时，Q(x)＝－210x＋114 000<30 000.综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该公司生产400件产品，其最大利润为30 000元．21．(12分)设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax(a>0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立的a的值．解析：(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x>0，所以f′(x)＝－2x＋a＝－.由于a>0，所以f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞)．(2)由题意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，要使e－1≤f(x)≤e2对x∈(1，e)恒成立．只要解得a＝e.22．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x1，x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．解析：(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d.∴d＝－d.∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)．∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c.又当x＝1时，f(x)取得极值－2，∴即解得∴f(x)＝x3－3x.(2)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝±1.当－11时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．因此，f(x)在x＝－1处取得极大值，且极大值为f(－1)＝2.(3)证明：由(2)知，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减，且f(x)在区间[－1,1]上的最大值为M＝f(－1)＝2，最小值为m＝f(1)＝。
