初中数学九年级上册《一元二次方程》热门应用题.docx

一元二次方程的热门应用题一、面积问题例 1 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮， 他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 15 米 3 的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多 2 米．现已知购买这种铁皮每平方米需 20 元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？解：设这种运输箱底部宽为 x 米，就长为（ x+2 ）米．依题意，得 x（ x+2 ）×1=15．化简，得 x2+2x-15=0 ．解之，得 x1=3， x2=-5 （不合题意，舍去） ． 所以这种运输箱底部长为 5 米，宽为 3 米．由长方体绽开图知，购买的矩形铁皮面积为（ 5+2 ）×（ 3+2 ） =35（米 2）．故购回这张矩形铁皮要花 35×20＝ 700 元钱． 点评：此题要深刻懂得题意中的已知条件，弄清各数据的相互关系，布列方程，并正确打算一元二次方程根的取舍问题．解决此类问题要善于运用转化的思想方法，将实际问题转化为数学问题．二、数字问题两个数的和等于 6,积等于 8,求这两个数 .三、销售利润问题例 2 某种新产品进价是 120 元，在试销阶段发觉每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系：（ 1）请你依据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销量削减的数量（件）之间的关系．（ 2）在不转变上述关系的情形下，请你帮忙商场经理策划每件商品定价为多少元时， 每日盈利可达到 1 600 元？解：（ 1）由表格中数量关系可知：该产品每件售价上涨 1 元，其日销量就削减 1 件．（ 2）设每件产品涨价 x 元，就销售价为（ 130+x）元， 日销量为（ 70-x ）件．由题意，得［ （ 130+x） -120］（ 70-x） =1 600 ，解得 x1=x2=30， 130+30=160 （元）．答：每件商品定价为 160 元时，每日盈利达到 1 600 元．点评：随着市场经济的日益富强，市场竞争更是激烈．因此， “销售问题 ”仍将是人们关注的焦点，仍会被搬上中考试卷．这不仅较好地锤炼了同学分析问题、解决问 题的才能，而且让同学们真正体会到数学的珍贵价值．值 得说明的是，第（ 2）小题仍可以用表格中其它两组数据列出方程，结果相同，同学们不妨试一试．四、旅行消费问题例 3 （南通市）据 5 月 8 日《南通日报》报道：今年“五一 ”黄金周期间，我市实现旅行收入再创历史新高， 旅行消费出现多样化，各项消费所占比例如下图所示，其中住宿消费为 3 438.24 万元．（ 1）求我市今年 “五一 ”黄金周期间旅行消费共多少亿元？旅行消费中各项消费的中位数是多少万元？（ 2）对于 “五一 ”黄金周期间的旅行消费， 假如我市 要达到 3.42 亿元的目标，那么， 到 的平均增长率是多少？解：（ 1）由图知，住宿消费为 3 438.24 万元，占旅行消费的 22.62％， 所以消费共 3 438.24 ÷22.62％＝ 15 200（万元） =1.52（亿元）．所以交通消费为 15 200 ×17.56％＝ 2 669.12（万元）．所以我市今年 “五一 ”黄金周期间旅行消费中各项消费的中位数是（ 3 438.24＋ 2 669.12） ÷2＝ 3 053.68（万元）．（ 2）设 到 旅行消费的年均增长率为 x，就 1.52（ 1+x ） 2=3.42．得 x1=0.5=50 ％， x2=-2.5（舍去）．所以 到 旅行消费的平均增长率为 50％．点评：此题考查通过统计图猎取信息的才能及用方程的思想解决实际问题的才能． 第（ 2）小题求年平均增长率，因此属增长率问题．在解答这类题时应当把握其基本关系式：结果量＝（１＋增长率） n×基础量；结果量＝（ 1-降 低率） n×基础量（其中 n 为增长或降低次数） ．五、节省与环保问题例 4 （宜昌课改试验区）我国人均用纸为 28 公斤， 每个中学毕业生离校时大约有 10 公斤废纸；用 1 吨废纸造出来的再生好纸，所能节省的造纸木材相当于 18 棵大树， 而平均每亩森林只有 50 至 80 棵这样的大树．（ 1）如我市 中学毕业生中环保意识较强的 5 万人，能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（ 2）宜昌市从 初开头实施自然林爱护工程，到 初成效显著，森林面积大约由 1 374.094 万亩增加到 1 500.545万亩．假设该地区年用纸量的 15% 可以作为废纸回收利用，并且森林面积年均增长率保持不变，请你按宜昌市总人口为 415 万人运算：在从 初到 初这一年度内，我市新增加的森林面积与因废纸回收利用所能爱护的森林面积之和最多可能达到多少亩（精确到 1 亩）？解：（ 1）5 万名中学毕业生废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数为5×104×10÷1 000 ×18÷80=112.5（亩）．（ 2）设 到 初我市森林面积年均增长率为 x， 就 1 374.094（ 1+x ） 2=1 500.５ 45．故 x1=0.045=4.5% ， x2=-2.045 （舍去）．所以 初到 初全年新增森林面积：1500.545 ×104×（ 1+4.5％） 2×4.5％ ≈ 737 385（亩）．又全市回收废纸所能爱护的森林面积最多为415×104×28×１ 5％ ÷ 1 000 × 18÷ 50≈ 6（2亩75）．新增森林面积和爱护森林面积之和为：737 385+6 275=743 660 （亩）．点评：此例不仅考查了同学们解答实际应用问题的才能，仍对同学们发扬节省精神、增强环保意识起到潜移默化的北作用． A 东六、航海问题某军舰以 20 节的速度由西向东航行 ,●一艘电子侦察船以 30 节的速度由南向北航行 ,它能侦察出四周 50 海里 B〔包括 50 海里 〕范畴内的目标 .如图 ,当该军舰行至 A 处时 ,电子侦察船正位于 A 处的正南方向的 B 处,瓶 AB=90 海里 .假如军舰和侦察船仍按原先速度沿原方向连续航行 ,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰 .假如能 ,最早何时能侦察到 .假如不能 ,请说明理由 .七、 图表信息应用问题单一图象信息的应用问题：例 1．美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某市城区近几年来通过拆旧房，植草、栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，如图 1，（ 1）依据图中供应的信息，回答以下问题：底的绿地面积为 公顷；比 底增加了 公顷；在 、 、 这三年中绿地面各增加最多的一年是 ；（ 2）为了满意城市进展的需要， 方案在 底使绿地面积达到 72.6 公顷，试求 、 两年绿地面积的年平均增长率；解析： 环境爱护是当今社会的一个热点点问题； 此题主要考查在阅读、 懂得、读图的基础上用一元二次方程解决实际问题的才能； 仔细观看图象从中猎取有用的信息是解题的关键；解：（ 1） 60， 4， 2004；（ 2 ）设平均增长率为 x ，由题意得60〔1x〕272.6 ，即〔1 x〕21.21 ； x112,1 x 1.1, x10.1, x22.1（不合题意舍去） ；答：略；多个图象信息的应用问题：例 2．某开发区为改善居民的住房条件，第年都新建一批 住 房 ， 人 均 住 房 面 积 逐 年 增 加 （ 人 均 住 房 面 积该区住房面积=该区人口总数，单位：平方米/ 人 ），该开发区 至 ，每年年底人口总数和人均住房面积统计结果如图 2（ 1），（ 2）请依据上面两图所供应的信息解答下面问题：（ 1）该区 2004 和 2005 两年中哪一年比上年增加的住房面积多？多增加了多少？（ 2）由于经济进展的需要，估计 底，该区居民将增加2 万人，住房面积要达到 13 平方米 /人，试求 2006 和 2007这两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？ 解析：由于此题是两个图象的组合，所以应把两个图形结合起来猎取猎取信息；解：（ 1） 比 增加住房面积 20×10-18 ×9.6=27.2； 比 2005增加住房面积 18×9.6-17 ×9=19.8 ；多增加了： 27.2-19.8=7.4（万平方米） ；（ 2）设住房总面积的年平均增长率应达到 x,由题意得：220（0 1 x）13 〔20 2〕， 即 20（0 1x）2286， 解 得 ：（1x）21.43 ，x1 0.196, x22.196（不合题意舍去） ；所以 2006 和 2007 这两年该区住房总面积的年平均增长率应达到 19.6% ；一元二次方程应用新题型一、条件探求型例 1 要建一个面积为 150m2 的长方形养鸡场，为了节省材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为 am，另三 边用竹篱笆围成，假如篱笆的长为 35m．（ 1）求鸡场的长与宽各是多少？（ 2）题中，墙的长度 a 对题目的解起着怎样的作用？ 分析：第（ 2）小题着眼于作为条件显现的常数 a，探索这一条件对题目的解有何影响，需依据第（ 1）小题的结 果进行争论．解：（ 1）设平行于墙的一边长为 xm，就另一边的长为35 x ， 2依据题意，得 35 x x2150 ，解得 x1=15， x2=20．当 x=15 时， 35 x10 ；当 x=20 时， 35 x15 ．2 2 2答：略．（ 2）由题意可知： 当 a<15 时， 此题无解； 当 15≤a<20时，此题只有一个解；当 a≥20 时，此题有两解．二、方案设计型例 2 某中学有一块长为 am，宽为 bm的矩形场地，方案在该场地上修筑宽都为 2米的两条相互垂直的道路， 余下的四块矩形小场地建成草坪．（ 1）如图 1，请分别写出每条道路的面积（用含 a 或含 b 的代数式表示） ；（ 2）已知 a∶ b=2∶ 1，并且四块草坪的面积之和为 312m2，试求原先矩形场地的长与宽各为多少米？（ 3）在（ 2）的条件下，为进一步美化校内，依据实际情形，学校打算对整个矩形场地作如下设计（要求同时 符合下述两个条件） ：条件①：在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃（花圃各边必需分别与所在草坪的对角线平行） ，并且其中有两个花圃的面积之差为 13m2；条件②：整个矩形场地（包括道路、草坪、花圃）为轴对称图形．请你画出符合上述设计方案的一种草图（不必说明画法与依据），并求出每个菱形花圃的面积．解：（ 1）这两条道路的面积分别为 2am2 与 2bm2．（ 2）设 b=xm，就 a=2xm， 依题意，得2x·2x - （ 2x+4x-4 ）＝ 312． 整理，得 x -3x-154=0 ，解得 x1=14， x2=-11 （舍去）． 所以 b=14，a=2x=28 ．即矩形的长为 28m，宽为 14m．（ 3）符合设计方案的一种草图如图 。