学习目标 1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.5.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．知识点一 三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹标准方程＋＝1(a>b>0)－＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率01准线方程x＝－决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小知识点二 待定系数法求圆锥曲线标准方程1．椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．也可将椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当<0时，焦点在y轴上，当<0时，焦点在x轴上．另外，与已知双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．2．抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值．知识点三 直线与圆锥曲线有关的问题1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．2．直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝或 ，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出． 类型一 圆锥曲线定义的应用例1 已知点M(2,1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．反思与感悟 应用定义解决问题时，需紧扣其内涵，注意限制条件是否成立，然后得到相应的结论．跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )A．直线 B．圆C．双曲线 D．抛物线类型二 圆锥曲线性质的应用例2 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．反思与感悟 圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到解题中去．跟踪训练2 双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A．2 B. C. D.类型三 直线与圆锥曲线的位置关系问题例3 已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使·为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．跟踪训练3 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P在C上且其横坐标为1，以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切．(1)求p的值； (2)设l与x轴交点为E，过点E作一条直线与抛物线C交于A，B两点，求线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围． 1．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )A．y＝与y2＝x B．y＝x与＝1C．y2－x2＝0与|y|＝|x| D．y＝lg x2与y＝2lg x2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝13．设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝14．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________．5．直线y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为________．1．离心率的几种求法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的方法．(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几何性质和定义，建立参数之间的关系．2．圆锥曲线中的有关最值问题在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略(1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理．(2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解．如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用基本不等式等求解．答案精析题型探究例1 8－解析 如图，设点B为椭圆的左焦点，点M(2,1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a＝4，|BM|＝＝，所以(|AM|＋|AC|)最小值＝8－.跟踪训练1 D例2 解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交得的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.跟踪训练2 C例3 解 假设在x轴上存在点M(m,0)，使·为常数．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入椭圆方程x2＋3y2＝5，消去y整理，得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.则所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.将上式整理，得·＝＋m2＝＋m2＝m2＋2m－－.注意到·是与k无关的常数，从而有6m＋14＝0，解得m＝－，此时·＝.②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为A(－1，)，B(－1，－)，当m＝－时，亦有·＝.综上，在x轴上存在定点M(－，0)，使·为常数．跟踪训练3 解 (1)因为以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切，所以圆的半径为p，即|FP|＝p，所以FP⊥x轴，又点P的横坐标为1，所以焦点F的坐标为(1,0)，从而p＝2.(2)由(1)知抛物线C的方程为y2＝4x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的垂直平分线与x轴的交点D(x0,0)，则由|DA|＝|DB|，y＝4x1，y＝4x2，得(x1－x0)2＋y＝(x2－x0)2＋y，化简得x0＝＋2，①设直线AB的方程为x＝my－1，代入抛物线C的方程，得y2－4my＋4＝0，由Δ>0得m2>1，由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2，代入①得x0＝2m2＋1>3，故线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围是(3，＋∞)．当堂训练1．C 2.A 3.B 4.2x－y－15＝0 5.3。
