2023年魅力无穷的完全数.doc

魅力无穷的完全数　　公元前3世纪时，古希腊数学家对数字情有独钟他们在对数的因数分解中，发现了一些奇妙的性质，如有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数；而有的真因数之和居然等于自身，于是发现了完全数6是人们最先认识的完全数发现完全数研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1、2、3之和还等于6，他十分感兴趣地说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念约公元前300年，几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法，被誉为欧几里得定理：“如果2n－1是一个素数，那么自然数2n-1一定是一个完全数并给出了证明公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中，正确地给出了6、28、496、8128这四个完全数，并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明他还将自然数划分为三类：富裕数、不足数和完全数，其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和千年跨一步完全数在古希腊诞生后，吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找可是，一代又一代人付出了无数的心血，第五个完全数没人找到。

后来，由于欧洲不断进行战争，希腊、罗马科学逐渐衰退，一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国，从此，希腊、罗马文明一蹶不振直到1202年才出现一线曙光意大利的斐波那契，青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区，学到了不少数学知识他才华横溢，回国后潜心研究所搜集的数学，写出了名著《算盘书》，成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人，并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星斐波那契没有放过完全数的研究，他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则，可惜没有人共鸣，成为过眼烟云光阴似箭，1460年，还当人们迷惘之际，有人偶然发现在一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第五个完全数33550336这比起第四个完全数8128大了4000多倍跨度如此之大，在计算落后的古代可想发现者之艰辛了，但是，手稿里没有说明他用什么方法得到的，又没有公布自己的姓名，这更使人迷惑不解了发现非一帆风顺在无名氏成果鼓励下，15至19世纪是研究完全数不平凡的日子，其中17世纪出现了小高潮16世纪意大利数学家塔塔利亚小时曾被法国入侵者用刀砍伤舌头，落下了口吃的疾患，后来靠自学成为一位著名数学家。

他研究发现：当n＝2和n=3至39的奇数时，2n-1(2n-1)是完全数17世纪“神数术”大师庞格斯在一本洋洋700页的巨著《数的玄学》中，一口气列出了28个所谓“完全数”，他是在塔塔利亚给出的20个的基础上补充了8个可惜两人都没有给出证明和运算过程，后人发现其中有许多是错误的1603年，数学家克特迪历尽艰辛，终于证明了无名氏手稿中第五个完全数是正确的，同时他还正确地发现了第六个和第七个完全数216(217-1)和218(219-1)，但他又错误地认为222(223-1)、228（229-1）和236（237-1）也是完全数这三个数后来被大数学家费尔马和欧拉否定了1644年，法国神甫兼大数学家梅森指出，庞格斯给出的28个“完全数”中，只有8个是正确的，即当n＝2，3，5，7，13，17，19，31时，2n-1(2n-1)是完全数，同时又增加了n＝67，127和257在未证明的情况下他武断地说：当n≤257时，只有这11个完全数这就是著名的“梅森猜测”梅森猜测”吸引了许多人的研究，哥德巴赫认为是对的；微积分发现者之一的德国莱布尼兹也认为是对的他们低估了完全数的难度1730年，被称为世界四大数学家雄狮之一的欧拉，时年23岁，正值风华茂盛。

他出手不凡，给出了一个出色的定理：“每一个偶完全数都是形如2n-1(2n-1)的自然数，其中n是素数，2n-1也是素数”，并给出了他一直没有发表的证明这是欧几里得定理的逆定理有了欧几里得与欧拉两个互逆定理，公式2n-1(2n-1)成为判断一个偶数是不是完全数的充要条件了欧拉研究“梅森猜测”后指出：“我冒险断言：每一个小于50的素数，甚至小于100的素数使2n-1(2n-1)是完全数的仅有n取2，3，5，7，13，17，19，31，41，47，我从一个优美的定理出发得到了这些结果，我自信它们具有真实性1772年，欧拉因过度拼命研究双目已经失明了，但他仍未停止研究，他在致瑞士数学家丹尼尔的一封信中说：“我已经心算证明n＝31时，230(231-1)是第8个完全数同时，他发现他过去认为n=41和n＝47时是完全数是错误的欧拉定理和他发现的第8个完全数的方法，使完全数的研究发生了深刻变化，可是，人们仍不能彻底解决“梅森猜测”1876年，法国数学家鲁卡斯创立了一种检验素数的新方法，证明n＝127时确实是一个完全数，这使“梅森猜测”之一变成事实，鲁卡斯的新方法给研究完全数者带来生机，同时也动摇了“梅森猜测”。

因数学家借助他的方法发现猜测中n＝67，n＝257时不是完全数在以后1883——1931年的48年间，数学家发现“梅森猜测”中n≤257范围内漏掉了n＝61，89，107时的三个完全数至此，人们前仆后继，不断另辟新路径，创造新方法，用笔算纸录，耗时二千多年，共找到12个完全数，即n＝2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127时，2n-1(2n-1)是完全数笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完全人亦非易事历史证实了他的预言从1952年开始，人们借助高性能计算机发现完全数，至1985年才找到18个，多么可怜！等待揭穿之谜迄今为止，发现的30个完全数，统统都是偶数，于是，数学家提出猜测：存不存在奇数完全数1633年11月，法国数学家笛卡尔给梅森一封信中，首次开创奇数完全数的研究，他认为每一奇完全数必具有PQ2的形式，其中P是素数，并声称不久他会找到，可不仅直到他死时未能找到，而且至今，没有任何一个数学家发现一个奇完全数它成为世界数论又一大难题虽然，谁也不知道它们是否存在，但经过一代又一代数学家研究计算，有一点是明确的那就是如果存在一个奇完全数的话，那么它一定是非常大的。

有多大呢？远的不说，当代大数学家奥尔检查过1018以下自然数，没有一个奇完全数；1967年，塔克曼宣布，如果奇完全数存在，它必须大于1036，这是一个37位数；1972年，有人证明它必大于1050；1982年，有人证明，它必须大于10120；……这种难于捉摸的奇完全数也许可能有，但它实在太大，以至超出了人们能够用计算机计算的范围了对奇完全数是否存在，产生如此多的估计，也是数学界的一大奇闻！关于完全数还有许多待揭之谜，比如：完全数之间有什么关系？完全数是有限还是无穷多个？存在不存在奇完全数？我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了知道“是这样”,就是讲不出“为什么”根本原因还是无“米”下“锅”于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”人们还发现完全数的一个奇妙现象，把一个完全数的各位数字加起来得到一个数，再把这个数的各位数字加起来，又得到一个数，一直这样做下去，结果一定是1例如，对于28，2＋8＝10，1＋0＝1；对于496有，4＋9＋6＝19，1+9＝10，1＋0＝1等等这一现象，对除6外的所有完全数是否成立？一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责以上这些难题，与其它数学难题一样，有待人们去攻克尽管我们现在还看不到完全数的实际用处，但它反映了自然数的某些基本规律探索自然规律，揭开科学上的未知之谜，正是科学追求的目标师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者老师”的原意并非由“老”而形容“师”老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识第 页。