初三数学圆经典例题-26页.pdf

一圆的定义及相关概念之袁州冬雪创作【考点速览】考点 1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形.颠末圆心的每条直线都是它的对称轴. 圆心是它的对称中心.考点 2：确定圆的条件；圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点 3：弦：保持圆上任意两点的线段叫做弦. 颠末圆心的弦叫做直径 . 直径是圆中最大的弦.弦心距：圆心到弦的间隔叫做弦心距.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧. 弧分为半圆，优弧、劣弧三种 .（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形.弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段.（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不克不及再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并毗连圆心和弦的一个端点，得到直角三角形. 如下图：考点 4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在.考点 5点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的间隔为 d，则点与圆的位置关系有三种.点在圆外dr ；点在圆上d=r；点在圆内 dr；【典型例题】例 1 在ABC中，ACB=90,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系，并说明你的来由.例 2已知，如图，CD 是直径，84EOD，AE 交 O 于B，且 AB=OC ，求 A的度数 .例 3 O平面内一点P和O上一点的间隔最小为3cm，最大为 8cm，则这圆的半径是_cm.例4 在 半 径 为5cm 的 圆 中 ， 弦AB CD， AB=6cm ，CD=8cm ，则 AB和 CD的间隔是多少？例 5 如图 , O 的直径AB 和弦CD 相交于点E，已知M A B CD O E B A C AE=6cm ，EB=2cm,30CEA，求 CD的长例 6. 已知： O 的半径0A=1，弦AB、 AC 的长分别为3,2，求BAC的度数例 7. 如图，已知在ABC中，90A，AB=3cm ，AC=4cm ，以点 A 为圆心， AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求 CD的长例 8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB 16cm ，拱高CD 4cm，那末拱形的半径是m. 思考题如图所示 , 已知 O 的半径为10cm，P 是直径AB 上一点 , 弦 CD过点 P,CD=16cm,过点 A 和 B 分别向 CD引垂线AE和 BF,求 AE-BF的值 .二垂径定理及其推论【考点速览】考点 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的两条孤推论 1：平分弦（不是直径）的直径重直于弦，而且平分弦所对的两条孤ACBDA B D C O E C B D A A B D C E P F O 弦的垂直平分线颠末圆心，而且平分弦所对的两条孤平分弦所对的一条孤的直径, 垂直平分弦，而且平分弦所对的另外一条孤推论 2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论1 中的三条可概括为：颠末圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径 )；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例 1 如图 AB 、CD是 O的弦， M 、N 分别是 AB 、CD的中点，且CNMAMN求证： AB=CD 例 2 已知，不过圆心的直线l交 O于 C、D两点， AB是O的直径， AE l于 E，BFl于 F. 求证： CE=DF 例 3 如图所示，O 的直径AB15cm，有一条定长为9cm的动弦 CD在弧 AmB 上滑动（点C与点 A，点 D与 B不重合），且CE CD交 AB于 E，DF CD交 AB于 F.（1）求证： AE BF（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明来由.例 4 如图，在 O内，弦 CD与直径 AB交成045角，若弦O A B C D E F m D A B D C O N M CD交直径 AB于点 P，且 O半径为 1，试问：22PDPC是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明来由.例 5. 如图所示，在O 中，弦AB AC ，弦 BD BA ，AC 、BD交直径 MN于 E、F.求证： ME=NF.例 6. （思考题）如图，1o与2o交于点A，B，过 A 的直线分别交1o，2o于 M,N，C 为 MN的中点， P 为21OO的中点，求证： PA=PC.三圆周角与圆心角【考点速览】考点 1圆心角 ：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数.Eg: 辨别下列各图中的角是不是圆心角，并说明来由.圆周角 ：顶点在圆周上，角双方和圆相交的角叫圆周角.两个条件缺一不成Eg: 断定下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明来由考点 2定理 ：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半Eg: 如下三图，请证明.13. 如图，已知A、B、C、D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，毗连CD、AD A B D C E F M N 1OA B 2OM N C P （1）求证：DB平分ADC；（2）若BE3，ED6，求AB的长14. 如图所示，已知AB为O的直径，CD是弦，且AB CD于点 E毗连AC、OC、BC（1）求证：ACO=BCD（2）若 EB=8cm，CD=24cm，求O的直径15. 如图，在Rt ABC 中， ACB 90， AC 5，CB12，AD是 ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点 E，毗连 DE.（1）求证： AC AE ；（2）求 ACD外接圆的半径 .16. 已知：如图等边ABC内接于O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BDAP，保持CD（1）若AP过圆心O，如图，请你断定PDC是什么三角形？并说明来由（2）若AP不过圆心O，如图，PDC又是什么三角形？为什么？四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角 , 弧, 弦, 弦心距之间的关系定理:EDBAOCA C B D E A O C P B A O C D P B 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论： 在同圆或等圆中, 如果两个圆心角, 两条弧 , 两条弦 , 两条弦心距中, 有一组量相等, 那末它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例 1如图所示，点O是 EPF的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的双方分别交于A、 B 和 C、 D，求证：AB=CD 例2、已知：如图，EF为 O 的直径，过 EF上一点 P作弦AB 、CD ，且 APF= CPF.求证： PA=PC.例 3如图所示，在ABC中， A=72， O截ABC的三条边长所得的三条弦等长，求BOC.例 4如图，O 的弦CB、ED 的延长线交于点A，且BC=DE 求证： AC=AE 例 5如图所示，已知在O 中，弦 AB=CB ， ABC=120，OD AB于 D ，OE BC于 E求证：ODE是等边三角形例 6. 如图所示，已知ABC是等边三角形，以BC为直径的 O分别交 AB 、AC于点 D、E.A B E F OPC12DO A B C OC A E B D O A D E B C ABCODE（1）试说明 ODE 的形状；（2）如图2，若 A=60o ，AB AC ，则的结论是否仍然成立，说明你的来由.例 7 弦 DF AC ，EF的延长线交BC的延长线于点G.（1）求证： BEF是等边三角形；（2）BA=4 ，CG=2 ，求 BF的长 .例8已知：如图，AOB=90 ， C、D是弧 AB 的三等分点，AB 分别交 OC 、OD 于点 E、F.求证： AE=BF=CD.六会用切线，能证切线考点速览：考点 1直线与圆的位置关系图形公共点个数d与 r 的关系直线与圆的位置关系0 dr 相离1 d=r 相切2 dr相交考点 2切线：颠末半径外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线.ABCODEA O B E D C G F 符号语言 OA l 于 A， OA 为半径 l 为 O的切线考点 3断定直线是圆的切线的方法：与圆只有一个交点的直线是圆的切线.圆心到直线间隔等于圆的半径的直线是圆的切线.颠末半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线.（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点 4切线的性质定理：圆的切线垂直于颠末切点的半径.推论 1：颠末圆心且垂直于切线的直线必颠末切点.推论 2：颠末切点且垂直于切线的直线必颠末圆心.（请务必记住切线重要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）1、如图，在矩形ABCD 中，点 O在对角线 AC上，以 OA的长为半径的圆O与 AD 、AC分别交于点E、F，且ACB= DCE (1) 断定直线 CE与 O的位置关系，并证明你的结论；(2) 若 AB=3,BC=4,DE=DC ，求 O的半径lAO2. 如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使BEDC（1）断定直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；3. 如图，已知R t ABC ，ABC 90，以直角边AB为直径作O ，交斜边 AC于点 D，保持 BD （1）取 BC的中点 E，保持ED ，试证明 ED与 O相切（2）在（ 1）的条件下，若AB3，AC 5，求 DE的长；4. 如图，已知AB是 O的直径，点C在 O上，过点 C的直线与 AB的延长线交于点P，AC=PC ， COB=2 PCB.（1）求证： PC是 O的切线；（2）求证： BC=21AB ；5. 如图，在ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分BAD交BC于点E，点O是AB上一点，O过A、E两点 , 交AD于点G，交AB于点F（1）求证：BC与O相切；（2）当BAC=120时，求EFG的度数6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的O颠末点D，E是O上一点，A CBDEOC A O B E D B A C D E G O F F A D E B C O （1）若AED45o 试断定CD与O的关系，并说明来由（2）若AED=60o ,AD=4，求 O半径 .RtACB中，C=90，AC=3cm ，BC=4cm ，以BC为直径作O交AB于点D.（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与O相切？请说明来由.8. 如图，已知ABC内接于O，AC是O的直径，D是AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F（1）求证：EF是O的切线；（2）若AB8，EB2，求O的半径如图，已知 O是 ABC的外接圆， AB为直径，若PA AB ，PO过 AC的中点 M ，求证： PC是 O的切线 .20. 已知：AB是O的弦，ODAB于M交O于点D，CBA BCD EOODCBAFOEDCBA（20题AB交AD的延长线于C（1）求证：ADDC；（2）过D作O的切线交BC于E，若DE2，CE=1，求O的半径20在RtAFD中，F=90，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O过点C，联合AC ，将AFC沿AC翻折得AEC，且点 E恰好落在直径 AB 上.（1）断定：直线FC与半圆O的位置关系是 _；并证明你的结论.（2）若OB=BD=2, 求CE的长20如图所示，AB是O的直径，OD弦BC于点F，且交O于点E，若AEC=ODB（1）断定直线BD和O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8 时，求BD的长20已知：如图，在ABC 中， AB=AC ，以AB为直径的 O分别交 BC 、AC于点 D、E，联合 EB交 OD于点 F（1）求证： OD BE ；（2）若 DE=5，AB=5 ，求 AE的长20. 如图， AB是O的直径，30BAC，M是 OA上一点，过 M作 AB的垂线交 AC于点 N,交 BC的延长线于点 E,直线。