(完整版)新高中数学复数讲义.教师版.doc

欢迎阅读复数知识内容一、复数的概念1． 虚数单位i:（1）它的平方等于，即；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i与－1的关系:i就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i．（4）i的周期性：，，，．2． 数系的扩充：复数3． 复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示4． 复数的代数形式:通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．5． 复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数6． 复数集与其它数集之间的关系：7． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，，，那么，二、复数的几何意义1． 复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．复数复平面内的点这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1． 复数与的和的定义：2． 复数与的差的定义：3． 复数的加法运算满足交换律:4． 复数的加法运算满足结合律:5． 乘法运算规则：设，(、、、)是任意两个复数，那么它们的积其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6． 乘法运算律：（1）（2）（3）7． 复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：或者8． 除法运算规则：设复数(、)，除以(，)，其商为（、)，即∵∴由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有:②利用于是将的分母有理化得：原式．∴(点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数．例题精讲1． 复数的概念【例1】 已知为虚数单位），那么实数a，b的值分别为（）A．2，5B．-3，1C．-1．1D．2，【答案】D【例2】 计算：（表示虚数单位）【答案】【解析】 ∵，而（），故【例3】 设，，则下列命题中一定正确的是（　　）A．的对应点在第一象限B．的对应点在第四象限C．不是纯虚数D．是虚数【答案】D【解析】 ．【例4】 在下列命题中，正确命题的个数为（　　）①两个复数不能比较大小；②若是纯虚数，则实数；③是虚数的一个充要条件是；④若是两个相等的实数，则是纯虚数；⑤的一个充要条件是．⑥的充要条件是．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】 复数为实数时，可以比较大小，①错；时，，②错；为实数时，也有，③错；时，，④错；⑤⑥正确．2． 复数的几何意义【例5】 复数（，为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】 由已知在复平面对应点如果在第一象限，则，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．【例6】 若，复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当时，．【例7】 如果复数满足，那么的最小值是（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】 设复数在复平面的对应点为，因为，所以点的集合是轴上以、为端点的线段．表示线段上的点到点的距离．此距离的最小值为点到点的距离，其距离为．【例8】 满足及的复数的集合是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】 复数表示的点在单位圆与直线上（表示到点与点的距离相等，故轨迹为直线），故选D．【例9】 已知复数的模为，则的最大值为_______．【答案】【解析】 ，，故在以为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知的最大值为．【例10】 复数满足条件：，那么对应的点的轨迹是（　　）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】A【解析】 A；设，则有，，化简得：，故为圆．【点评】①的几何意义为点到点的距离；②中所对应的点为以复数所对应的点为圆心，半径为的圆上的点．【例11】 复数，满足，，证明：．【解析】 设复数，在复平面上对应的点为，，由知，以，为邻边的平行四边形为矩形，，故可设，所以．也可设，则由向量与向量垂直知，，故．【例12】 已知复数，满足，，且，求与的值．【答案】；4．【解析】 设复数，在复平面上对应的点为，，由于，故，故以，为邻边的平行四边形是矩形，从而，则；．【例13】 已知，，，求．【解析】 设复数，在复平面上对应的点为，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，记所对应的顶点为，由知，（可由余弦定理得到），故，从而．【例14】 已知复数满足，求的最大值与最小值．【答案】，【解析】 设，则满足方程．，又，故当时，；当时，有．3． 复数的四则运算【例15】 已知，若，则等于（　　）A． B． C． D．4【答案】B【解析】 ．【例16】 计算：．【答案】【解析】 原式．【例17】 已知复数，，则的最大值为（　　）A． B． C． D．3【答案】A，故当时，有最大值．【例18】 对任意一个非零复数，定义集合．（１）设是方程的一个根，试用列举法表示集合．若在中任取两个数，求其和为零的概率；（2）若集合中只有个元素，试写出满足条件的一个值，并说明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】 （1）∵是方程的根，∴或，不论或，，于是．（2）取，则及．于是或取．（说明：只需写出一个正确答案）．【例19】 解关于的方程．【答案】．【解析】 错解：由复数相等的定义得．分析：“，且成立”的前提条件是，但本题并未告诉是否为实数．法一：原方程变形为，．由一元二次方程求根公式得，．原方程的解为，．法二：设，则有，，由②得：，代入①中解得：或，故方程的根为．【例20】 已知，，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围．【答案】．【解析】 ，，对恒成立．当，即时，不等式恒成立；当时，．综上，．【例21】 关于的方程有实根，求实数的取值范围．【答案】【解析】 误：方程有实根，．解得或．析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程根的情况，而该方程中与并非实数．正：设是其实根，代入原方程变形为，由复数相等的定义，得，解得．【例22】 设方程的根分别为，，且，求实数的值．【答案】或．【解析】 若，为实数，则且，解得．若，为虚数，则且，共轭，，解得．综上，或．【例23】 用数学归纳法证明：．并证明，从而．【解析】 时，结论显然成立；若对时，有结论成立，即，则对，由归纳假设知，上式，从而知对，命题成立．综上知，对任意，有．易直接推导知：故有．．【例24】 若是方程（）的解，求证：．【解析】 将解代入原方程得：，将此式两边同除以，则有：，即，，由复数相等的定义得．【例25】 设、为实数，且，则=________．【答案】4【解析】 由知，，即，故，解得，故．【例26】 已知是纯虚数，求在复平面内对应点的轨迹．【答案】以为圆心，为半径的圆，并去掉点和点．【解析】 法一：设（），则是纯虚数，故，即的对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，并去掉点和点．法二：∵是纯虚数，∴（且）∴，∴，得到，设（），则（）∴的对应点的轨迹以为圆心，为半径的圆，并去掉点和点．【例27】 设复数满足，求的最值．【解析】 由题意，，则．设，则．当时，，此时；当时，，此时．【例28】 若，，试求．【答案】【解析】 ∵，∴又知，∴设（），则，∴，即，由复数相等定义得，解得．∴．故．【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：①设（）的共轭复数为，则；；②为实数；③为纯虚数；④对任意复数有；；，特别地有；；．⑤，．，，．以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明．【例29】 已知虚数为的一个立方根，即满足，且对应的点在第二象限，证明，并求与的值．【答案】0；【解析】 法一：，解得：或．由题意知，证明与计算略；法二：由题意知，故有．又实系数方程虚根成对出现，故的两根为．由韦达定理有．．．【点评】利用的性质：，可以快速计算一 些相关的复数的幂的问题．【例30】 若（），求证：设，则有，即，，解得，即．【例31】 设是虚数，是实数，且．（1）求的值及的实部的取值范围；（2）设，求证：为纯虚数；（3）求的最小值．【答案】（1）；的实部的取值范围是；（3）1．【解析】 （1）设，，则，因为是实数，，所以，即．于是，，，所以的实部的取值范围是．（2）．因为，，所以为纯虚数．（3）．因为，所以，故．当，即时，取得最小值．【例32】 对任意一个非零复数，定义集合．（1）设是方程的一个根，试用列举法表示集合；（2）设复数，求证：．【答案】（1）；（2）略【解析】 （1）∵是方程的根，∴或，当时，∵，．∴，当时，∵，∴．∴；（2）∵，∴存在，使得．于是对任意，．由于是正奇数，，∴．【例33】 已知复数，和，其中均为实数，为虚数单位，且对于任意复数，有，．（1）试求的值，并分别写出和用表示的关系式；（2）将作为点的坐标，作为点的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点．当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）这样的直线存在，其方程为或【解析】 （1）由题设，，∴，于是由，且，得，因此由，得关系式．（2）设点在直线上，则其经变换后的点满足，消去，得，故点的轨迹方程为．（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为．∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点仍在该直线上，∴，即，当时，方程组无解，故这样的直线不存在．当，由，得，解得或．故这样的直线存在，其方程为或．课后检测【习题1】 已知，复数的实。